（人教A版）2025-2026学年必修一高一数学上册期末专题强化练习02 不等式恒成立、能成立问题（解析版）

第第页强化专题2不等式恒成立、能成立问题在解决不等式恒成立、能成立的问题时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理，数学运算等素养．一、“Δ”法解决恒成立问题例1若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】讨论和两种情况，即可求解.【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．【小结】(1)如图①一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))(2)如图②一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))二、数形结合法解决恒成立问题例2当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范围．【详解】令y＝x2＋mx＋4.∵y<0在[1,2]上恒成立．∴x2＋mx＋4＝0的根一个小于1上，另一个大于2.如图，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m＋4<0，,4＋2m＋4<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋5<0，,2m＋8<0.))∴m的取值范围是{m|m<－5}．【小结】结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，区间端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．三、分离参数法解决恒成立问题例3若不等式x2+ax+1≥0在x∈[－2，0）时恒成立，则实数a的最大值为（

）A．0B．2C．D．3【答案】B【分析】用分离参数法分离参数，然后用基本不等式求最值后可得结论．【详解】不等式x2+ax+1≥0在时恒成立，即不等式在时恒成立.，当且仅当，即x=－1时，等号成立，所以a≤2，所以实数a的最大值为2.故选：B．【小结】通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．四、主参换位法解决恒成立问题例4已知，不等式恒成立，则的取值范围为___________.【答案】【分析】设，即当时，，则满足解不等式组可得x的取值范围．【详解】，不等式恒成立即，不等式恒成立设，即当时，所以，即，解得或故答案为：【小结】转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．五、利用图象解决能成立问题例5当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________．【答案】{m|m>－5}【详解】记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)一定有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.【小结】结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决．六、转化为函数的最值解决能成立问题例6若存在x∈R，使得eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)≥2成立，求实数m的取值范围．【详解】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立，∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2，∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}．【小结】能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范围．【过关训练】1．若关于x的不等式的解集是R，则m的取值范围是（

）A．（1，+∞）B．（0，1）C．（1，1）D．[1，+∞）【答案】A【分析】分和两种情况求解【详解】当时，，得，不合题意，当时，因为关于x的不等式的解集是R，所以，解得，综上，m的取值范围是（1，+∞），故选：A2．若集合则实数的取值集合为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分，两种情况求解即可【详解】当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足，解得；综上，的取值范围是．故选：B．3．若，，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】分两种情况讨论：和，解出实数的取值范围，即得.【详解】对，，当时，则有恒成立；当时，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.4．“，”的充要条件是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】“，”等价于,解不等式求得答案.【详解】“，”等价于，即，故“，”的充要条件是，故选：B5．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】当时，该不等式成立，当时，根据二次函数开口方向及判别式列不等式解决二次不等式恒成立问题.【详解】当时，该不等式为，成立；当时，要满足关于的不等式对任意恒成立，只需，解得，综上所述，的取值范围是，故选：A.6．已知关于的不等式对任意恒成立，则有（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题意可得，由二次函数的性质求出在上的最小值即可【详解】因为关于的不等式对任意恒成立，所以，令，，所以当时，取得最小值，所以故选：A7．若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由题知对任意的恒成立，进而求，最值即可得答案.【详解】解：因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为当，，所以，，即m的取值范围是故选：A8．若两个正实数满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题意，结合基本不等式求得的最小值为，把不等式有解，转化为，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，正实数满足，则，当且仅当时，即时，等号成立，即的最小值为，又由不等式有解，可得，即，解得或，即实数的取值范围为.故选：C.9．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】依据题意可将题目转换为非p命题为真的补集，即“，恒成立”对应a取值集合的补集，进一步只需限制端点小于等于0即可求解【详解】由题意，当时，不等式有解，等价于“，恒成立”为真时对应a取值集合的补集若，恒成立为真命题，需满足，且，解得．因此p命题成立时a的范围时故选：A．10．若关于的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】构造函数，若不等式在区间内有解，可得函数在区间内的最大值大于0即可，根据二次函数的图象和性质可得答案．【详解】令，则函数的图象为开口朝上且以直线为对称轴的抛物线，故在区间上，（4），若不等式在区间内有解，则，解得，即实数的取值范围是.故选：B．11．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】用分离参数法变形为，然后利用基本不等式求得函数的最值，得参数范围．【详解】时，不等式可化为；令，则，当且仅当时，等号成立，综上所述，实数a的取值范围是．故选：A．12．设函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为_____________.【答案】【分析】整理可得在上恒成立，根据x的范围，可求得最值，分析即可得答案.【详解】解：由题意，可得，即，当时，，所以，即在上恒成立，故需，令，则在上单调递增，所以当时，有最小值为2，则有最大值为，则，实数的取值范围是，故答案为：.13．已知关于的不等式．(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【详解】（1）若对任意实数，不等式恒成立，即恒成立则关于的方程的判别式，即，解得，所以实数的取值范围为．（2）不等式，可看成关于的一次不等式，又，所以，解得且，所以实数的取值范围是．14．设函数．(1)若对于，恒成立，求的取值范围；(2)若对于，恒成立，求的取值范围．【详解】（1）对于，恒成立，即对于恒成立，即对于恒成立．令，，则，故，所以的取值范围为．（2）对于，恒成立，即恒成立，故恒成立，令，则，解得，所以的取值范围为．期末巩固练习卷1.若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为对任意，有恒成立，所以，因为，所以，所以，故选：B2.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】当时，不等式成立；当时，不等式恒成立，等价于．综上，实数的取值范围为．故选：B．3.若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，令，则，即，所以实数的取值范围是．故选：D．4.对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】当，即时，恒成立，满足题意.当时，则有，解得：综上，实数的取值范围是，故选：B5.已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.6.若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C7.，则的取值范围为__________．【答案】【详解】由题设，可得.故答案为：8.已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是________.【答案】【详解】由题意得，“，”是真命题，则对恒成立，在区间上，的最小值为，所以，即a的取值范围是.故答案为：9.已知关于的不等式．(1)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)（1