2023年高一数学必修必修二知识点整合

必修一

第一章集合与函数概念

1.1集合的含义与表达

集合元素的三大特性：确定性、互异性、无序性。

一般，集合用大写字母表达，集合元素用/」与字母表达。

假如a是集合A的元素，就说。属于集合A,记作。eA。

假如。不是集合A的元素，就说。不属于集合A,记作。任A。

非负整数集（自然数集）N整数集N•或N+

整数集Z有理数集Q实数集R

集合的两种表达方式：列举法,描述法。

1.2集合间的基本关系

①一般地，对于两个集合A,B,假如集合A中任意一种元素都是集合B中的元素，

我们就说这两个集合有包括关系，称集合A为B的子集。

记作：（或82A）读作：A含于B（或B包括A）。

②假如两个集合所含的元素完全相似，那么我们称这两个集合相等。

Venn图法表达集合。

空集的定义：不含彳不可元素的集合称为空集。

空集的性质：空集是一切集合的子集。空集是任何非空集合的真子集。

子集的定义：对于两个集合A与B,若然任何属于A的元素也属于B,我们就说A是

B的子集。

真子集的定义：假如A是B的子集，并且B中至少有一种元素不属于A,那么集合A

叫做集合B的真子集。

1.3集合的基本运算

交集、并集、全集、补集。

一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素构成的集合，称为A与B的交集。

记作：ACIB。读作：A交B。

其含义用符号表达为：AC\B={x\xEA,SjceB].

用Venn图表达如下：厂

一般地，由所有属于集合A或属于集合BB勺元素所构成的集合，称为集合A与B的

并集。

记作：AUB.读作：A并B.

其含义用符号表达为：A[^B={x\xeA^eB}

用Venn图表达如下:

AB

补集：一般地，设S是一种集合，A是S的一种真子集，由S中所有不属于A的元素

构成日勺集合,叫做子集A在S中的补集记作［sA.读作A在S中日勺补集。

1.4函数的概念

(1)设A、B是非空的数集,假如按照某个确定的对应关系，，使对于集合A中时任

意一种数x,在集合B中均有唯一确定时数和它对应，那么就称f：A-B为从集合A

到集合B的一种函数.

记作：片,WA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫

做函数值，国数值的集合伏刈代A｝叫做的数的值域.

注意：

①”麦氏对'是函数符号，可以用任意的字母表达，如"bpW"；

②函数符号>中日勺4M表达与x对应的函数值，一种数，而不是f乘x.

(2)构成函数日勺三要素：定义域、值域、对应关系。

(3)区间的概念

①区间的)分类：升区间、闭区间、半开半闭区间；

②无穷区间；

③区间时数轴表达.

(4)求函数定义域叼措施：

1)假如f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.

A-B为从集合A到集合B的一种映射。

记作V:A-B"。

阐明：

(1)这两个集合有先后次序，A到B8勺映射与B到A的映射是截然不一样的，其中

f表达详细的对应法则，可以用多种形式表述.

(2)"均有唯一"什么意思？

包括两层意思：一是必有一种；二是只有一种，也就是说有且只有一种的意思.

1.7的款的单调性

增函数：一般地，设函数y=f(x)的)定义域为I,假如对于定义域I内的)某个区间D内

的任意两个自变量XI,X2,当X1<X2时,均有f(Xi)<f(X2),那么就说f(x)在区间D上是增

函数。

减函数：一般地，设函数y二f(x用勺定义域为I，假如对于定义域I内口勺某个区间D内

的任意两个自变量Xl,X2,当X1>X2时，均有f(Xi)<f(>：2),那么就说f(x)在区间D上是增

函数。

注意：

1)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。

2)必须是对于区间D内的任意两个自变量X1,X2；当X1<X2时，总有f(Xi)<f(X2)o

函数单调性的定义：假如函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函

数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的)单调区间。

判断函数单调性的环节：

①任取X1,X2GD,且X1<X2。

②作差f(Xl)-f(X2)o

③变形(一般是因式分解和配方)。

④定号(即判断差f(Xi)-f(X2的正负)。

⑤下结论(即指出函数f(X)在给定的区间D上的单调性)。

1.8函数的最大最小值

(1)最大(小)值定义：一般地，设函数y=/(X)的定义域为I,假如存在实数M满

足：

1)对于任意的，均有f(x)<=(>=)M;

2)的/6/，使得/(%)=M.

那么，称M是函数)，=f(x)的最大值。

(2)运用函数单调性来判断函数最大(小)值的措施。

①配措施②换元法③数形结合法

1.9函数的奇偶性

偶函数的定义：一般地，对于函数/*)时定义域内的任意一种无，均有

f(-x)=f(x)，那么/(x)就叫做偶函数。

奇函数的定义：一般地，对于函数/(X)的定义域的任意一种X,均有

f(-x)=-f(x)，那么/(九)就叫做奇函数.

注意：

1)函数是奇函数或是偶函数称为函数R勺奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质。

2）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一种必要条件是，对于定义域内H勺

任意一种工，则-X也一定是定义域内的一种自变量（即定义域有关原点对称）。

3）偶函数的图象有关），轴对称；奇函数的图象有关原点对称。

偶函数在有关原点对称的区间上单调性相反；奇函数在有关原点对称的区间上单调性

一致。

第二章基本初等函数

2.1指数与指数幕的运算

“次方根：一般地，若X"，则x叫做a的〃次方根，其中">1,且"WN*,当

n为偶数时，a的"次方根中，正数用后表达，假如是负数，用-标表达，标叫做根

式."为奇数时,d的）〃次方根用符号〃■表达，其中〃称为根指数,a为被开方数。

+F%为奇数，。的〃次方根有一个，为加

〔〃为偶数，〃的〃次方根有两个,为土加

常化物［〃为奇数，。的〃次方根只有一个，为加

“为负数:<

1〃为偶数，〃的欹方根不存在.

零的n次方根为零，记为桁=0

正数的分数指数幕的）意义为：

an=\[cF(a>0,m,n£N")

正数的定负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相似.

一丝1

即：an=——(a>0jn,neN')

规定：0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数累无意义.

阐明：规定好分数指数幕后，根式与分数指数幕是可以互换的，分数指数幕只是根式

的一种新的写法，而不是〃'"=W"…。川(。＞0)

由于整数指数幕，分数指数靠均故意义，因此，有理数指数事是故意义时,整数指数

幕的运算性质，可以推广到有理数指数幕，即：

(1)ar-as=a,¥s(a＞0,r,5eQ)

(2)S)S"(a＞O,rs€0)

(3)(aby^a'br(Q＞^b＞O,reQ)

一般来说，无理数指数幕是一个无理数)是一种确定的实数，有理数指

数幕的性质同样合用于无理数指数幕.无理指数幕的意义，是用有理指数幕的局限性近似值

和过剩近似值无限地迫近以确定大小.

四则运算的次序是先算乘方，再算乘除，最终算加减，有括号的先算括号的。

整数鬲日勺运算性质及运算规律扩充到分数指数鬲后，其运算次序仍符合我们此前R勺四

则运算次序。

2.2指数函数及其性质

指数函数的定义：一股地，函数y=优(。＞0且a)叫做指数函数，其中x是自

变量，函数的定义域为R。

从图上看丁="(。＞1)与)，="(0＜。＜1)两函数图象的特性。

指数函数)，=优(。>0且。Hl),当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.

图象特性函数性质

a>10<6/<1a>1Q<a<1

向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R

图象有关原点和y轴不对称非奇非偶函数

函数图象都在X轴上方函数的值域为R+

函数图象都过定点(0,1)a0=l

自左向右，自左向右，

增函数减函数

图象逐渐上升图象逐渐下降

在第一象限内的)图

在第一象限内的图

xx

象纵坐标都不不小于A>0,a>1x>Q,a<1

象纵坐标都不小于1

1

在第二象限内的图

在第二象限内的图

象纵坐标都不不小于x<0,ax<1x<0,ax>1

象纵坐标都不小于1

1

运用函数的单调性，结合图象还可以看出：

(1)在［4加上"(6=优(。>0日。)值域是"(a)"(砌或"(。)"(则:

(2)若"0,贝依x)wl"(x)取遍所有正数当且仅当x$R;

(3)对于指数函数f(x)=。'(〃>0且awl),总有/⑴=〃；

(4)当。>1时，若/<%，则/G)</'(々)。

2.3对数

对数的定义：一般地，若〃=N(〃>0,且。wl)，那么数X叫做以a为底/V的对

数，记作x=log.N,a叫做对数的底数，/V叫做真数。

在对数的概念中，要注意：

(1)底数的限制。>0,且"1(2)，=Nolog.N=x

指数式0对数式幕底数一。一对数底数

指数-X-对数幕一N-真数

阐明：对数式log,N可看作一记号，表达底为。(。>0,且。，1),幕为AZ的指

数工表达方程〃=N(〃>0,且〃H1)的解。也可以看作一种运算，即已知底为a(a

>0,且aHl)寻为/V,求鬲指数B勺运算.因此，对数式log.N又可看鬲运算时逆运算。

两类对数：

①以10为底的对数称为常用对数，log］。N常记为lgN.

②以无理数”2.71828…为底的对数称为自然对数，log,N常记为InN后来解题

时，在没有指出对数的底的状况下，都是指常用对数,如100的对数等于2,即

lgl(X)=2.

2.4对数及其性质

1的对数是零，负数和零没有对数

又掇时性质logd=l。>0且aHl

i=N

假如。＞0且aHl,M＞。，N＞0,那么：

(1)log”MN=log.M+log“N

M

(2)loga—=logjw-lognyv

(3)log"=〃log“MsR)

换底公式：

。>0,且。工1,c>0,且eWl,/?>0

1Rbg加

log，。

一般地，我们把函数y=log-E(。＞0且。wl)叫做对数函数，其中工是自变量，函数

时定义域是(0,+8)。

对数函数H勺性质：

图象的特性函数区T性质

(1)图象都在y轴的右边(1)定义域是(0,+OO)

(2)函数图象都通过(1,0)点(2)1时对数是0

(3)从左往右看，当。＞1时，图象逐

(3)当。＞1时，)，=log：是增函数，当

渐上升，当0＜。＜1时，图象逐渐下

0＜a＜1时，y=log.x是减函数.

降.

(4)当a>1时

(4)当。＞1时，函数图象在(1,0)

X>1,则log“x>0

点右边的纵坐标都不小于0,在(1,0)

0<X<1,logax<0

点左边的纵坐标都不不小于0.当0＜。

当0<a<1时

＜1时，图象恰好相反，在(1,0)点右

X>1,则log<zr<0

边的纵坐标都不不小于0,在(1,0)点

0<X<1,\oga%<0

左边的纵坐标都不小于0.

4>10<a<1

图

象

(1)定义域(0,+8)；

性(2)值域R;

质(3)过点(1,0)，即当x=l,y=0;

（4）在（0,+8）上是增函数在（0,+8）是上减函数

反函数：当一种函数是一一映射时,可以把这个函数日勺因变量作为一种新的函数自变

量，而把这个函数的自变量作为新的函数时因变量，我们称这两个函数为反函数.

同底的指数函数和对数函数互为反函数。

2.5幕函数

一般地，形如y=f（X£R）的函数称为幕函数,其中X是自变量，a是常数.

如），=/,），=/,），=J；等都是幕函数，鬲函数与指数函数，对数函数同样,都是基

本初等函数.

£

），=/3

>二工y=xy=x2y=/

定义域RRR{x\x>0}{x\x^0}

奇偶性奇奇奇非奇非偶奇

在第I在第I象在第I象在第I象在第I象限在第I象限

象限单限单调递限单调递限单调递单调递增单调递减

调增减增增增

性

定点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)

幕函数性质

（1）所有的事函数在（0,+8）均有定义，并且图象都过点（1,1）（原因：

lv=l）。

（2）x>0时，用函数B勺图象都通过原点，并且在［0,+8］上，是增函数（从左往右

看，函数图象逐渐上升)。

尤其地，当大工>1时，xe(O,l),y=f的图象都在y=A•图象的下方，形

状向下凸越大，下凸的程度越大。

当a<l时，x£(O,l),)，=/时图象都在y=x的图象上方，形状向上凸，。越

小，上凸的程度越大。

(3)a<0时，幕函数的图象在区间(0,+8)上是减函数。

在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在)，轴的)右方无限迫近y轴正半轴，当x慢慢

地变大时，图象在x轴上方并无限迫近工轴的正半轴。

第三章函数的应用

3.1方程的根与函数的)零点

函数零点的概念：

对于函数y=f(x)(xeD),把使/(x)=0成立的实数x叫做函数y=/(x)(xeD)

的零点.

函数零点B勺意义：

函数y=/*)B勺零点就是方程/(A)=0实数根,亦即函数)，=f(x)的图象与x轴交

点的横坐标.

即：方程f(x)=0有实数根o函数)，=f(x)的图象与x轴有交点o函数y=f(x)

有零点.

函数零点的)求法：

求函数)，=/*)的零点：

①(代数法)求方程/(X)=0的实数根。

②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)，=/(幻的图象联络起

来，并运用函数的性质找出零点。

二次函数的零点：

二次函数y=ar2+bx+c(a羊0).

(1)△>0,方程依之+版+。=o有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交

点，二次函数有两个零点.

(2)△=(),方程♦+公+《•=()有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x

轴有一种交点，二次函数有一种二重零点或二阶零点.

(3)△<0,方程ax'+-+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函

数无零点.

3.2用二分法求函数的近似解

二分法，又称分半法，是一种方程式根的近似值求法。对于区间［a,b］上持续不停且

f(a)-f(b)<0的函数y=f(x),通过不停地把函数f(x)的零点所在的区间一^为二，使区间的

两个端点逐渐迫近零点，进而得到零点近似值的措施叫做二分法。

注意事项：

定区间，找中点，中值计算两边看。

同号去，异号算，零点落在异号间。

周而复始怎么办？?精确度上来判断。

3.3几类不一样增长的函数模型

x

在区间(0,+8)上，尽管函数y=a(a>1),y=log(,x(。>1)和广x”

(〃>0)都是增函数，但它们的增长速度不一样，并且不在同一种"档次"上。伴随x的

增大，y=，(。>1)B勺增长速度越来越快，会超过并远远不小于y=V(〃>0)的增

长速度，而y=log,x(。>1)得增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一种xc,当

x>xo时,就有logqX</</。

3.4函数模型的应用实例

数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型,它把实际问题中某些事物的重要特性和

关系抽象出来，并用数学语言来体现，这一过程称为建模，是解应用题的关健。数学模型

可采用多种形式，如方程(组)，函数解析式，图形与网络等。

运用给定函数模型或建立确定时函数模型处理实际问题的措施；

(1)根据题意选用恰当的函数模型来描述所波及的数量之间的关系；

(2)运用待定系数法，确定详细函数模型；

(3)对所确定的函数模型进行合适的评价；

(4)根据实际问题对模型进行合适的修正.

必修二

第一章直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。尤其地，当直线与x轴平

行或重叠时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°<a<180°

（2）直线H勺斜率

①定义：倾斜角不是90。的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常

用k表达。即旦=tana。斜率反应直线与轴的倾斜程度。

当aw，,90。）时，k>0;当a£（90°,180°）时，2<0;当°=90,时，々不存

在。

②过两点的直线的斜率公式：k=三二&（内0%2）

々一不

注意下面四点：（1）当用=当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;

（2）%与A乃日勺次序无关；（3）后来求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求

得；

（4）求直线B勺倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程

①点斜式：3一必二攵。-阳）直线斜率攵，且过点（x，y）

注意：当直线的斜率为0,时，k=0,直线的方程是尸〃。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表达.但因/

上每一点的横坐标都等于M,因此它的方程是x=M。

②斜截式：y=kx+b,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式：———=AA|（司力占,凹"K）直线两点（x，y）,卜,必）

④截矩式：-+2=1

ab

其中直线/与X轴交于点3,0）与轴交于点（0力），即/与X轴、），轴的截距分别为a,b。

⑤一般式：Ax+By+C=0（A,8不全为0）

注意：6各式的合用范围②特殊的方程如：

平行于x轴的直线：>，=人（b为常数）；平行于y轴的直线：x（d为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

（-）平行直线系

平行于已知直线A）x+8°），+Co=O（4,8。是不全为0的常数）时直线系：

A/+综），+。=0（C为常数）

（二）过定点的直线系

（i）斜率为攵的直线系：V-%=攵（工一%），直线过定点（司,为）；

（ii）过两条直线/1：4x+4y+G=0,/2：42工+与），+。2=。日勺交点时直线系方

程为

（4工+4），+。1）+乩岳・+与），+。2）=0（义为参数），其中直线4不在直线系中。

（6）两直线平行与垂直

当:y=+4，，2：》=k?x+包时，

/.//L4<=>k.1=ki,aMI*b4,;LI工1，0=IJ=—1

注意：运用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

I、:4工+4y+G=0/2:A2X+与），+。2=0相交

交点坐标即方程组JA'+BI+G=0时一组解。

A2X+B2y+C2=0

方程组无解=/J〃2；方程组有无数解。人与，2重叠

(8)两点间距离公式：设4(司,凹)，8(9,)0是平面直角坐标系中的两个点，

22

则I阴=7(x2-x,)+(y2-y,)

(9)点到直线距离公式：一点P(x0,y0)至I」直线4:Ax+By+C=0的距离

|A%+B)b+C

"二互+M

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。

第二章圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的)距离等于定长时点的)集合叫圆,定点为圆心，定长为圆

的半径。

2、圆B勺方程

(1)原则方程(工一。)2+(>-〃『=/，圆心(〃/),半径为r;

(2)一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

当。2+七2-4尸>0时，方程表达圆,此时圆心为卜冬__|),半径为析iF

当。2+七2-4/二。时，表达一种点；当。2+七2一4/vo时，方程不表达任何图

形。

(3)求圆方程的措施：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一种圆需要三个独立条件，若运用圆的原则方

程，

需求出a,b,r;若运用一般方程,需规定出D,E,F;

此外要注意多运用圆的几何性质：如弦的中垂线必通过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种状况，基本上由下列两种措施判断：

（1）设直线/：Ar+By+C=O,圆。：（％-々）2+（”42=户，圆心到/的距离

为“二丝丝g,则有〃＞厂0/与。相离；d=/与C相切；

dA2+B?

4＜厂0/与。木目交

（2）设直线/:Ar+8y+C=0,圆C:（x—。》+（），—〃》=/，先将方程联立消元，得到

一种一元二次方程之后，令其中的鉴别式为△,则有

△vOo/与。相离;△=（）=/与C相切;—Oo/与。相交

注：假如圆心的位置在原点,可使用公式总0+»。=产去解直线与圆相切的问题，其中

（%,%）表达切点坐标，「表达半径。

（3）过圆上一点的切线方程：

2

①圆x2+y2=r,圆上一点为（xo,y0）,则过此点的切线方程为+丁儿=/（书本命

题）.

②圆/a尸+伙Z?尸二户,圆上一点为例，刀，则过此点的切线方程为例-列优7万仅r"伙

勿二/（书本命题的推广）.

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确

定。

设圆G：（“一4）2+（丁一4）2=/，。2：（彳一々2）2+G-2＞=R?

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当d>R+/•时两圆外离，此时有公切线四条;

当d=R+r时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条,内公切线一条；

当R--<dvR+厂时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当"二|R-r|时，两圆内切，连心线通过切点，只有一条公切线；

当d<|R|时，两圆内含；当。=0时，为同心圆。

第三章立体几何初步

(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其他各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公

共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的原则分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表达：用各顶点字母,如五棱柱ABCOE-A万或用对角线的端点字母，如五棱

柱AD

几何特性：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行

且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

定义：有一种面是多边形，其他各面都是有一种公共顶点的三角形，由这些面所围成的几

何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的原则分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表达：用各顶点字母，如五棱锥尸-

几何特性：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点

到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一种平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

分类：以底面多边形的边数作为分类的原则分为三棱态、四棱台、五棱台等

表达：用各顶点字母，如五棱台A万。力E

几何特性：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥B勺顶点

(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其他三边旋转所成的曲面所围成B勺

几何体

几何特性：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开

图是一种矩形.

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几

何体

几何特性：①底面是一种圆；②母线交于圆锥日勺顶点；③侧面展开图是一种扇形。

(6)圆台：定义：用一种平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

几何特性：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一种弓

形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

几何特性：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向背面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反应了物体上下、左右的位置关系，即反应了物体的高度和长度；

俯视图反应了物体左右、前后的位置关系，即反应了物体的长度和宽度；

侧视图反应了物体上下、前后的位置关系，即反应了物体的高度和宽度。

❸・摩罗•紫

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点：①本来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

②本来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为本来的二分之一。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积曰勺和。

（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，.为斜高，1为母线）

S直棱柱侧面枳=chS圆柱侧=2MzS正极椎侧面积=S圆锥侧面枳=Ttrl

S正极台侧面枳=5（。+c2）"S圆台侧面枳=（/+玲就

S圆柱表=2勿，(〃+/)s网推表=mG+/)S圆台表=»(/+〃+R/+*)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

V柱=50%柱=Sh=兀广h

2

%=；(S'+府+S)h%台=；(S+氐+S)/z=g»(/+rR+R)h

4、空间点、直线、平面的位置关系

(1)平面

①平面的概念：A.描述性阐明；B.平面是无限伸展的;

②平面B勺表达：一般用希腊字母a、0、丫表达，如平面a(一般写在一种锐角内)；

也可以用两个相对顶点8勺字母来表达，如平面BC。

③点与平面的关系：点A在平面a内，记作Aea;点A不在平面a内,记作A^a

点与直线的)关系：点A的直线/上，记作：力£/;点力在直线/外，记作/《

直线与平面的关系：直线/在平面a内，记作/<=a；直线/不在平面a内，记作

(2)公理1:假如一条直线的两点在一种平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面

内。

(即直线在平面内，或者平面通过直线)

应用：检查桌面与否平；判断直线与否在平面内

用符号语言表达公理1:

(3)公理2:通过不在同一条直线上的三点，有且只有一种平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定

一平面。

公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的根据②它是证明平面重叠的根据

(4)公理3:假如两个不重叠的平面有一种公共点，那么它们有且只有一条过该点B勺公共

直线

符号：平面和相交,交线是记作

a0a,anB=ae

符号语言：PwAA=AB=l,Pel

公理3时作用：

①它是鉴定两个平面相交的措施。

②它阐明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要根据。

(5)公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行

(6)空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义：不一样在任何一种平面内的两条直线

②异面直线性质：既不平行，又不相交。

③异面直线鉴定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角：直线ab是异面直线，通过空间任意一点。，分别引直线a'iia,

b'wb,则把直线a'和〃所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。两条

异面直线所成角的范围是(0°,90。］,若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条

异面直线互相垂直。

阐明：(1)鉴定空间直线是异面直线措施：①根据异面直线的定义；②异面直线的鉴定

定理

(2)在异面直线所成角定义中，空间一点O是任取时，而和点O时位置无关。

②求异面直线所成角环节：

A、运用定义构造角，可固定一条,平移另一条,或两条同步平移到某个特殊的位置，顶

点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、运用三角形来求角

(7)等角定理：假如一种角时两边和另一种角的两边分别平行，那么这两角相等或互

补。

(8)空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内一有无数个公共点.

直线不在平面内［相文一一只有一个公共点.

(或直线在平面外)(平行一一投有公共点.

三种位置关系的符号表达：auaaDa=Aalia

(9)平面与平面夕间的位置关系：平行——没有公共点；allB

相交一有一条公共直线。anp=/7

5、空间中的平行问题

(1)直线与平面平行的鉴定及其性质

线面平行B勺鉴定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。

线线平行=线面平行

线面平行的性质定理：假如一条直线和一种平面平行，通过这条直线的平面和这个平面相

交，

那么这条直线和交线平行。线面平行=线线平行

(2)平面与平面平行的鉴定及其性质

两个平面平行的鉴定定理

(1)假如一种平面内的两条相交直线都平行于另一种平面，那么这两个平面平行

(线面平行一面面平行)，

(2)假如在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。

(线线平行一面面平行)，

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行，

两个平面平行的性质定理

(1)假如两个平面平行，那么某一种平面内的直线与另一种平面平行。(面面平行一线

面平行)

(2)假如两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。(面面平行一线线

平行)

7、空间中的垂直问题

(1)线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂

直。

②线面垂直：假如一条直线和一种