《线段的运算》课件

6.2.2线段的比较与计算第2课时线段的运算第六章几何图形初步1.理解线段等分点的意义;能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.2.会用尺规作图的方法进行线段的和差运算.

在直线上画出线段AB=a

，再在

AB的延长线上画线段BC=b，线段

AC就是

与

的和，记作

AC=

.如果在

AB上画线段

BD=b，那么线段AD就是

与

的差，记作AD=

.

ABCDa+ba–babbaba+baba–b线段的和、差、倍、分学生活动

【一起探究】如图，点B，C在线段AD

上则AB+BC=____；

AD–CD=___；BC＝___–___=___–

___.ABCDACACACABBDCD如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使AB=2a–b.abAB2a–b2ab

在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ABMABM

如图，点M

把线段AB分成相等的两条线段AM

与BM，点M

叫做线段AB

的中点.类似的，还有线段的三等分点、四等分点等.线段的三等分点线段的四等分点AaaMBM

是线段AB

的中点.

点M,N

是线段AB

的三等分点：AM=MN=NB=___AB(或AB=___AM=___MN=___NB)333NMBA素养考点1利用中点求线段的长度例1若AB=6cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?解：因为

C是线段AB的中点，因为D是线段CB的中点，

所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5(cm).ACBD如图，点C是线段AB

的中点，若AB=8cm，则AC=

cm.4ACB如图，下列说法，不能判断点C

是线段AB

的中点的是(

)A.AC=CBB.AB=2ACC.AC+CB=AB

D.CB=AB

ACBC如图，线段AB=4cm，BC=6cm，若点D

为线段AB的中点，点E

为线段BC

的中点，求线段DE

的长.ADBEC答案：DE的长为5cm.例2如图，B,C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E,F分别是AB,CD的中点，且EF=24，求线段AB,BC,CD的长．FECBDA素养考点2利用比例或倍分关系求线段的长度分析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC=2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.FECBDA解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，因为

E,F分别是AB,CD的中点，所以所以EF=BE+BC+CF=因为EF=24，所以6x=24,解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.

求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.归纳总结如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=CD，线段AB,CD的中点E,F之间距离是10cm，求AB，CD的长．FEBDCA分析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC

=6xcm，因为E,F分别是AB，CD的中点，所以EF=AC–AE–CF=所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.FEBDCA

所以

例3

A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（）A．1cmB．9cmC．1cm或9cm

D．以上答案都不对解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之间上，故AC=AB–BC=1cm；

当点C在AB的延长线上AC=AB+BC=9cm．C方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：

点在某一线段上；

点在该线段的延长线.素养考点3需要分类讨论的问题已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（）A．21cm或4cm B．20.5cmC．4.5cm D．20.5cm或4.5cmD1.已知线段AB=6cm，延长AB

到C，使

BC=2AB，若D为AB

的中点，则线段DC

的长为________.CADB15cm2.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是–3，1，若BC=5，则AC=_________．9或13.如图：AB=4cm，BC=3cm，如果点O是线段AC

的中点．求线段OB

的长度．ABCO解：因为

AC=AB+BC=4+3=7(cm)，

点O

为线段AC

的中点，

所以OC=AC=×7=3.5(cm)，

所以

OB=OC–BC=3.5–3=0.5(cm)．4.已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．DACBMAD=10x=20．解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,所以

AD=AB+BC+CD=10x.因为M是AD的中点，所以

AM=MD=5x，所以BM=AM–AB=3x.因为BM=6，即3x=6，所以

x=2.

故CM=MD–CD=2x=4，线段的运算中点和与差思想方法方程思想分类思想课前•自主预习1.画一条线段等于已知线段画一条线段等于已知线段AB,可以先用________量出线段AB的长度,再画一条等于这个长度的线段.也可以先用________画直线l,再用________在直线l上截取CD=AB.在数学中,我们常限定用无刻度的直尺和________作图,这就是尺规作图.

2.比较两条线段的长短比较两条线段的长短,可用刻度尺分别测量出它们的________来比较,或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较.

刻度尺

直尺

圆规

圆规

长度

3.基本事实基本事实:两点的所有连线中,______最短.简单说成:_________________.连接两点的线段的________,叫作这两点间的距离.

4.线段的和、差在直线上作线段AB=a,再在AB的延长线上作线段BC=b,线段AC就是a与b的________,记作AC=________.设线段a>b,如果在线段AB上作线段BD=b,那么线段AD就是a与b的________,记作AD=________.

5.线段中点点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB,点M叫作线段AB的________.类似地,还有线段的三等分点、四等分点等.

线段

两点之间,线段最短

长度

和a+b差a-b中点

课堂•互动理解1.线段的长短比较典例1为了比较线段AB和线段CD的长短,把线段CD移到线段AB上,使点C与点A重合.(填“>”“=”或“<”)(1)当点D落在线段AB上,且点D与点B不重合时,AB________CD;

(2)当点D与点B重合时,AB________CD;

(3)当点D落在线段AB的延长线上时,AB________CD.

>=<解析:(1)如图,当点D落在线段AB上,且点D与点B不重合时,AB>CD;(2)如图,当点D与点B重合时,AB=CD;(3)如图,当点D落在线段AB的延长线上时,AB<CD.举一反三如图,已知AN=BM,则下列选项正确的是(

)A.AM>BNB.AM<BNC.AM=BND.AM,BN的大小关系与点M,N的位置有关C2.线段的和、差典例2如图,在操作课上,同学们按老师的要求操作:①作射线AM;②在射线AM上顺次截取AC=CD=a;③在射线DM上截取DE=b;④在线段EA上截取EB=c,发现点B在线段CD上.由操作可知,线段AB=(

)

A.a+b-c B.a+b+cC.2a+b+c D.2a+b-cD解析:因为AC=CD=a,所以AD=2a.因为DE=b,所以AE=2a+b.因为BE=c,所以AB=2a+b-c.举一反三如图,点C为线段AB上的一点,若AB=7,BC=3,则AC=(

)

A.10 B.7

C.5

D.4D3.线段的中点、等分点典例3如图,M,P,N三点在直线l上.(1)尺规作图:在线段PN的延长线上作NB=NP,在线段NP的延长线上作PA=2PN;(2)若AM=PM+8,PA=20,求MN的长.解:(1)根据题意,作图如下:则点A,B就是所求的点.(2)设NP=x,则PA=2x.因为PA=20,所以2x=20.解得x=10,因为PA=AM+PM=20,AM=PM+8,所以PM+8+PM=20,解得PM