《分式方程》课件

第十五章

分式

15.3分式方程

15.3.1分式方程

1.通过使学生经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。2.通过使学生探究分式方程解法的过程，让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性，提升学生思维的深度认知。3.通过使学生运用所学解分式方程的过程，让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系，进一步提高学生的运算能力。学习重点：解分式方程的基本思路和解法.学习难点：理解解分式方程时可能无解的原因.

一艘轮船在静水中的最大航速为20km/h,它沿江以最大航速顺流航行100km所用时间,与以最大航速逆流航行60km所用时间相等,江水的流速为多少?解:设江水的流速为vkm/h，

根据题意，得

这样的方程与以前学过的方程一样吗？为要解决导入中的问题，我们得到了方程．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？分式方程的概念知识点1学生活动一

【一起探究】

方程

与上面的方程有什么共同特征？追问1：分母中都含有未知数．分式方程的概念：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分式方程的特征：分母中含有未知数.注意：我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．你能再写出几个分式方程吗？追问2：下列式子中，属于分式方程的是

，属于整式方程的是

（填序号）．（2）（1）（3）你能试着解分式方程吗？解分式方程知识点2问题1：这些解法有什么共同特点？问题2：学生活动二

【一起探究】总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？（2）怎样去分母？（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？（4）这样做的依据是什么？想一想（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．（2）利用等式的性质，可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．归纳总结例

解分式方程即解得则得到，方程两边同乘各分母的最简公分母

你得到的解是分式方程的解吗？检验：把v=6代入分式方程得：左边=

右边=左边=右边，所以v=6是原方程的解.追问：解分式方程：

是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解．问题3：你得到的解是分式方程的解吗？该如何验证呢？追问1：上面两个分式方程的求解过程中，同样是去分母将分式方程化为整式方程，为什么整式方程的解是分式方程的解，而整式方程x＋5=10的解

却不是分式方程的解？追问2：原因：

在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．检验的方法主要有两种：（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．显然，第(2)种方法比较简便！回顾解分式方程与的过程，你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？

问题4：基本思路：将分式方程化为整式方程.一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．指出下列方程中各分母的最简分母，并写出去分母后得到的整式方程.①②解：①最简公分母2x(x+3)，去分母得x+3=4x；

②最简公分母x2–1，去分母得2(x+1)=4；例1

解下列方程：解分式方程素养考点1解：方程的两边同乘以x(x–2)，

得2x=3x–6

解得：x=6检验：当x=6时，x（x–2）≠0.

所以，原方程的解是x=6.解下列方程：解：方程的两边同乘以2x(x+3)，

得(x+3)=4x解得：x=1

检验：当x=1时，2x（x+3）≠0.

所以，原方程的解是x=1.例2解方程解含有整式项的分式方程素养考点2解：方程两边同乘

得

=3.

化简，得

=3.

解得

=1.

检验：当

=1时，

=0，

因此x

=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.解分式方程的思路：分式方程整式方程去分母解分式方程的一般步骤:1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程.2.解这个整式方程.3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.4.写出原方程的解.一化二解三检验解分式方程的一般步骤：归纳总结分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（）A.2(x–8)+5x=16(x–7)B.2(x–8)+5x=8C.2(x–8)–5x=16(x–7)D.2(x–8)–5x=8解析：原方程可以变形为，两边都乘以2（x–7）得2(x–8)+5x=8×2(x–7),即2(x–8)+5x=16(x–7).A易错易混点拨：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，没有添括号．(因分数线有括号的作用）(3)把整式方程的解代入最简公分母后的值为0，不舍掉.方法点拨

B

D

3.已知关于x的方程

有增根，求该方程的增根和k的值.解：去分母，得3x+3–（x–1）=x2+kx，

整理，得x2+（k–2）x–4=0.因为有增根，所以增根为x=0或x=1.当x=0时，代入方程得–4=0，所以x=0不是方程的增根；当x=1时，代入方程，得k=5，所以k=5时,方程有增根x=1.4.解方程:解：方程可化为：得解得x=–3，经检验：x=–3是原方程的根.解分式方程整式方程x=ax=a是分式方程的解x=a不是分式方程的解最简公分母不为0最简公分母为0去分母解整式方程检验分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.学前温故新课早知1.方程的解:使方程

的未知数的值叫做方程的解.

2.解方程:求

的过程叫做解方程.

3.解一元一次方程的一般步骤是:去分母,去括号,

,合并同类项,

.

左右两边相等

方程的解

移项

未知数系数化为1学前温故新课早知3.解分式方程的基本思想解分式方程的基本思想是将分式方程化为

,具体做法是“

”,即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.

未知数

B整式方程

去分母

学前温故新课早知A.x-4=2(x+1)-3 B.x-4=2(x+1)-3(x+1)C.(x-4)(x+1)=2-3(x+1) D.(x-4)(x+1)=2(x+1)-3(x+1)5.分式方程的验根方法解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值

,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解

原分式方程的解.

A不为0不是

分析:分式方程的常用解法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,把分式方程化为整式方程求解.分式方程的解法【例题】

解下列分式方程:解:(1)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2+4=(x+1)(x-1),解得x=-3.检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,所以x=-3是原分式方程的解.故原分式方程的解是x=-3.(2)方程两边同乘x(x+1)(x-1),得2(x-1)+3(x+1)=4x.化简,得5x+1=4x,解得x=-1.检验:当x=-1时,x(x+1)(x-1)=0,则x=-1不是原分式方程的解,故原分式方程无解.1234567答案解析解析关闭A,D是整式方程,B不是方程,只有C是分式