《实际问题与一元二次方程（第一课时）》课件

第二十一章

一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程（第1课时）

传染病，一传十,

十传百……

【想一想】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？1.能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。学习重点：学会找作为列方程依据的等量关系.学习难点：建立方程模型来解决实际问题.

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？你能解决这个问题吗？列一元二次方程解决实际问题知识点第2轮•••小明12x第1轮第1轮传染后人数x+1.小明第2轮传染后人数x(x+1)+x+1.【思考】不要忽视小明的二次传染【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人.传染源记作小明，其传染示意图如下：根据示意图，列表如下：

传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人.列方程x+1+x(x+1)=121.化简得x2+2x-120=0(x-10)(x+12)=0

x1=10,x2=-12(舍).答:平均一个人传染了________个人.10注意:一元二次方程的解有可能不符合题意，所以舍去.有更简单的方法解这个方程吗？列方程x+1+x(x+1)=121.提取公因式(x+1)(x+1)=121(x+1)2=121

x+1=±11一定要进行检验

x1=10,x2=-12(舍)【想一想】如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少人患流感?第一轮传染后的人数第二轮传染后的人数第三轮传染后的人数(1+x)1

(1+x)2

【分析】(1+x)3第2种做法

以第2轮传染后的人数121为传染源,传染一次后就是:121(1+x)=121(1+10)=1331（人）.第1种做法

以1人为传染源,3轮传染后的人数是:(1+x)3=(1+10)3=1331(人).传染源新增患者人数本轮结束患者总人数第一轮11∙x=x1+x第二轮

1+x(1+x)x1+x+(1+x)x=第三轮

第n轮【思考】如果按这样的传染速度，n轮后传染后有多少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过n轮传染后共有(1+x)n

人患流感.(1+x)2(1+x)2∙x(1+x)2+(1+x)2∙x=例1

某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:设每个支干长出x个小分支,则1+x+x2=91.即x2+x-90=0.解得

x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)答:每个支干长出9个小分支.列一元二次方程解传播问题素养考点11.在分析引例和例1中的数量关系时它们有何区别？每个树枝只分裂一次，每名患者每轮都传染.【思考】2.解决这类传播问题有什么经验和方法？（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.建立一元二次方程模型实际问题分析数量关系设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检验运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳】电脑勒索病毒的传播非常快，如果开始有6台电脑被感染，经过两轮感染后共有2400台电脑被感染.

每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑.答：每轮感染中平均一台电脑会感染19台电脑.

依题意得

6+6x+6x(1+x)=2400.6(1+x)²=2400例2

一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？列一元二次方程解相互类问题素养考点2解：设这个小组共x人，根据题意列方程，得

x(x-1)=72.化简，得

x2-x-72=0.

解方程，得

x1=9，x2=-8（舍去）.答：这个小组共9人.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，求全组有多少名同学？解：全组有x名同学，根据题意，得x（x-1）=182.解得

x1=14，x2=-13（不合题意，舍去）.答：全组有14名同学.1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（

）A．9人 B．10人 C．11人 D．12人C2.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（）A．4

B．5

C．6

D．7C1.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（）A.x2=1980B.

x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=1980D基础巩固题2.有一根月季，它的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（）

A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)²=73B3.早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为（）？A.10B.9C.8D.7D1.为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有111个人参与了传播活动，则n=______.10能力提升题2.某校初三各班进行篮球比赛（单循环制），每两班之间共比赛了6场，求初三有几个班？解：初三有x个班，根据题意列方程，得化简，得x2-x-12=0.解方程，得x1=4，x2=-3（舍去）.答：初三有4个班.3.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？传染源本轮分裂成有益菌数目本轮结束有益菌总数第一轮第二轮第三轮分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌6060x60(1+x)60(1+x)60(1+x)x解：设每个有益菌一次分裂出x个有益菌60+60x+60(1+x)x=24000x1=19，x2=-21（舍去）.因此每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为24000×(1+19)=480000.1.传播问题有几种情况？传播问题的这两种情况有什么区别？2.列方程解应用题的步骤有哪些？列一元二次方程解应题与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性.传播问题数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2数字问题相互问题1相互问题2关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数.甲和乙握手与乙和甲握手在同一次进行，所以总数要除以2.甲送乙照片与乙送甲照片是要两张照片，故总数不要除以2.步骤类型1.增长率问题:增长率是指增长数与基准数的比,即

.设基准数为a,平均增长率为x,则第一次增长后的值为

,连续两次增长后的值为

.

2.李师傅家的超市今年4月盈利3000元,6月盈利3630元.若从4月到6月,每月盈利的平均增长率都相同,则这个平均增长率是(

)A.10.5% B.10% C.20% D.21%3.降低率问题:设基准数为a,平均下降率为x,则第一次下降后的值为

,连续两次下降后的值为

.

4.某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元,则平均每次降价的百分率约为

.

a(1+x)

a(1+x)2Ba(1-x)a(1-x)25.9%1.增长率问题【例1】

某省为改善农村饮用水问题,省财政部门对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助.第一年,A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资,第三年该市计划投资“改水工程”1176万元.(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率.(2)从第一年到第三年,A市三年共投资“改水工程”多少万元?分析:设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x,则第三年该市计划投资“改水工程”600(1+x)2万元.解:(1)设A市投资“改水工程”的年平均增长率是x,则600(1+x)2=1

176,解得x=0.4或x=-2.4(不合题意,舍去).所以A市投资“改水工程”的年平均增长率为40%.(2)A市三年共投资600+600(1+40%)+1

176=2

616(万元),所以A市三年共投资“改水工程”

2

616万元.点拨:(1)中这类方程用直接开平方法解更简单,不要再整理为一般形式.检验是列方程解决实际问题的必需步骤,要检验求出的根是不是原方程的根,是否符合题意.2.经济利润问题【例2】

某批发商以每件50元的价格购进800件T恤.第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售.根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售,清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.(1)填表(不需要化简).(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元,那么第二个月的单价应为多少元?分析:(1)由“第二个月单价降低x元”知第二个月的单价为(80-x)元,销售量为(200+10x)件,清仓时的销售量为总数量减去前面两个月的销售量,即800-200-(200+10x);(2)销售额-成本=利润,由“获利9

000元”建立方程得80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9

000,化简后求解即可.解:(1)80-x,200+10x,800-200-(200+10x);(2)根据题意,得80×200+(80-x)(200+10x)+40[800-200-(200+10x)]-50×800=9

000.整理,得x2-20x+100=0,解这个方程得x1=x2=10.当x=10时,80-x=70>50.答:第二个月的单价应为70元.点拨:利润问题中,常见的等量关系是:总利润=总售价-总成本,或总利润=每件商品的利润×数量.解答利润问题,关键要搞清楚降价前后的单价和销售量,尤其是如何用含降价(一般就是所求的未知数x)的代数式表示相应的销售量,再根据题目中的等量关系列方程即可.6123451.随着新能源电动汽车的快速增加,某市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设,已知到2023年底,该市约有3.5万个充电桩,根据规划到2025年底,全市的充电桩数量将会达到5.04万个,则从2023年底到2025年底,全市充电桩数量的年平均增长率为(

)A.10% B.15% C.20% D.25%答案解析解析关闭设全市充电桩数量的年平均增长率为x,根据题意得3.5(1+x)2=5.04,解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去),∴全市充电桩数量的年平均增长率为20%.故选C.答案解析关闭C6123452.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.当每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,则平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是(

)A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15答案答案关闭A6123453.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,商店想在月销售成本不超过1万元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为(

)A.60元

B.80元C.60元或80元 D.以上都不对答案解析解析关闭设销售单价应定为x元,则[500-10(x-50)](x-40)=8

000.解得x1=60,x2=80.当x=60时,[500-10(x-50)]×40=16

000>10

000,不合题意,舍去;当x=80时,[500-10(x-50)]×40=8

000<10

000,故销售单价应定为80元.