《一元二次方程》课件

第二十一章

一元二次方程21.1一元二次方程

1.认识并掌握一元二次方程的概念及一般形式，理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题2.通过课堂活动，经历探索一元二次方程的过程，让学生体会方程是刻画现实生活的模型.3.发展学生的合作交流意识，体验与他人合作的重要性，增强学好数学的信心。学习重点：一元二次方程的概念.学习难点：一元二次方程的理解和列一元二次方程解决实际

问题.1.含有

的等式叫做方程.2.我们学过的方程有

、

、

、

，其中

、

、

都是整式方程.3.使方程左右两边相等的

的值叫做这个方程的解.未知数一元一次方程二元一次方程三元一次方程分式方程一元一次方程二元一次方程三元一次方程未知数

要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？设雕像下部高xm，依题意得方程x2=2(2-x)整理，得

x2+2x-4=0【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？100cm50cm3600cm2

一元二次方程的概念知识点1【分析】

设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为(100-2x)cm,宽为(50-2x)cm.

根据方盒的底面积为3600cm2,得整理，得（100-2x）（50-2x）=3600x2-75x+350=0x100cm50cm3600cm2问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?整理，得

x2-x=56.

学生活动

【探究方程的定义】【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？区别特点（1）这两个方程的两边都是整式；（2）都只含一个未知数x；（3）它们的未知数的最高次数都是

2次的.未知数最高次数为2

一元二次方程的定义像上述两个方程式这样的等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程（必须满足三个特征）.

【想一想】是一元二次方程吗？答：不是.等号左边含有分式；化简整理后，未知数的最高次数为3次.例1下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数整理x2-3x+2=0a≠0A.

B.3x2-5xy+y2=0C.（x-1）（x-2）=0

D.ax2+bx+c=0素养考点1一元二次方程的识别方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．三个条件：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.必须同时满足，缺一不可．判断下列方程是否为一元二次方程？(2)

x3+x2=36(3)

x+3y=36(5)

x+1=0(1)

x2+x=36(4)(6)(7)(8)例2a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2-x=2x2(2)(a－1)x|a|+1－2x－7=0.解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.利用一元二次方程的定义求字母的值素养考点2方法总结：根据未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．方程(2a-4)x2－2bx+a=0.（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解：（1）当

2a-4≠0，即a≠2时是一元二次方程.（2）当a=2且b≠0时是一元一次方程.

一般地,任何一个关于x

的一元二次方程，经过整理，都可以化为ax2+bx+c=0

的形式,我们把ax2+bx+c=0

(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.

一元二次方程的一般形式知识点2一元二次方程的一般形式ax2

+bx+c=0(a≠

0)二次项系数一次项系数常数项二次项一次项【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数.当a=0时，ax2+bx+c=0当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0

一元二次方程bx+c=0（一元一次方程）ax2+c=0ax2+bx=0ax2=0一元一次方程一元二次方程一般式相同点不同点【思考】一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？Ax+b=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)整式方程，只含有一个未知数未知数最高次数是1未知数最高次数是2例

将方程3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.

解：

去括号，得3x2-3x=5x+10

整理，得3x2-8x-10=0其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.一元二次方程一般形式的有关概念素养考点方法点拨（1）一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.（2）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的.（3）指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符号.将下列方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数、常数项：（1）5x2-1=4x;(2)4x2=81解：(1)把5x2-1=4x化为一般形式5x2-4x-1=0，二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1.(2)把4x2=81化为一般形式4x2-81=0，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81．（3）4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-3解：(3)把4x(x+2)=25化为一般形式4x2+8x-25=0

，二次项系数为4，一次项系数为8，常数项为-25．(4)把(3x-2)(x+1)=8x-3化为一般形式3x2-7x+1=0

，二次项系数为3，一次项系数为-7，常数项为1．

一元二次方程解的概念知识点3使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.例已知关于x的一元二次方程(m-1)x2＋3x-5m＋4=0有一个根为2，求m.

分析:

一个根为2，即x=2,只需把x=2代入原方程.

解：依题意把x＝2代入原方程，得4（m-1）+6-5m+4=0,整理，得

-m+6=0,

解得

m=6.素养考点利用一元二次方程的解确定字母的值方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：依题意把x=3代入原方程，得

32+3a+a=0

9+4a=0，整理，即.1.已知一元二次方程x2+k-3=0有一个根为1，则k的值为（

）A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4B2.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（

）解析：设房价定为x元.依题意，得A.（180+x-20）（50-）=10890B.（x-20）（50-）=10890C.x（50-）-50×20=10890D.（x+180）（50-）-50×20=10890（x-20）（50-）=10890B一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；（一元）最高次数是2.（二次）一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；解（根）使方程左右两边相等的未知数的值.定义判断等号两边都是整式，只含一个未知数且未知数的最高次数是2的方程1.等号两边都是整式,只含有

未知数(一元),并且未知数的最高次数是

(二次)的方程,叫做一元二次方程.

3.一元二次方程的一般形式是

,其中

是二次项,

是二次项系数;

是一次项,

是一次项系数;____

是常数项.

4.将方程6x2=5x-3化成一般形式是

,其中二次项是

,一次项系数是

,常数项是

.

5.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的

.

6.在-4,-3,-2,-1,2,3中,属于方程x2+x-6=0的根的是

.

一个

2①④

ax2+bx+c=0(a≠0)

ax2

a

bxbc6x2-5x+3=0

6x2

-53根-3,21.一元二次方程的识别【例1】

下列方程中,是关于x的一元二次方程的是(

)C.ax2+bx+c=0

D.x2+2x=x2-1解析:选项A中的方程,整理后符合一元二次方程的概念;选项B中的方程,因为分母中含有未知数,不是整式方程,所以它不是一元二次方程;选项C中若a=0,则未知数的最高次数低于2,因此,不能确定该方程是不是一元二次方程;选项D中的方程化简后二次项系数为0,是一个一元一次方程,故只有A中的方程满足一元二次方程的各种条件.答案:A点拨:判断一个方程是不是一元二次方程,首先把方程化简成一般形式,再看未知数是否只有一个,再次看未知数的最高次数是不是2,最后注意看是不是整式方程,以上条件只要有一个不满足,该方程就不是一元二次方程.另外,当方程中含有字母系数(即参数)时,应区分未知数和字母.如若说“关于x的方程……”,则表明x是未知数,而方程中其他字母均是常数.2.一元二次方程的根的应用【例2】

已知关于x的一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一个解是0,求实数m的值.分析:根据方程的解的意义可知,当x=0时,方程左右两边相等,此题即是求当x=0时m的值.解:将x=0代入方程中,得(m-2)×02+3×0+m2-4=0,整理得m2=4.根据平方根的意义知m=±2.因为方程为关于x的一元二次方程,所以m-2≠0,即m≠2.故m的值为-2.点拨本题一定要注意,当方程是一元二次方程时,二次项系数不为0这一前提条件,即m-2≠0.678123451.若关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是一元二次方程,则实数m的取值范围是(

)A.任意实数 B.m≠-1C.m>1 D.m>0答案答案关闭B678123452.某公园里有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图).原空地一边减少了1m,另一边减少了2m,剩余空地的面积为18m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为xm,则可列方程为(

)A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0答案解析解析关闭根据题意,剩余的长方形空地的长为(x-1)m,宽为(x-2)m,故可列出方程为(x-1)(x-2)=18.答案解析关闭C67812345答案