专题07 线段上动点问题的三种考法 初中数学人教版（2024）七年级上册（解析版）

目录专题07线段上动点问题的三种考法目录A·重难点题型分类题型1：求值问题………………1题型2：存在性问题……………7题型3：定值问题………………14B·能力提升………………………22知识梳理知识梳理1.如图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做线段AB的中点.类似地，还有线段的三等分点，四等分点等。重难点题型分类重难点题型分类【题型1：求值问题】【例1】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律．(1)【特例感知】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，−2，则A，B两点之间的距离为_____________，线段(2)若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b．①【分类讨论】若a>b>0，则A，B两点之间的距离为：AB=a−b；若a>0>b，则A，B两点之间的距离为：AB=a−b；若0>a>b，则②【类比探究】线段AB的中点表示的数为_____________；(3)【综合运用】若数轴上点A，点B表示的数分别为8，−2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当P，Q相遇时，停止运动，设运动时间为t秒（t>0），点①P，Q两点之间的距离为_____________；（用含②若点M为PA的中点，点N为QB的中点，线段MN的长度为_____________．（用含t的代数式表示）【答案】(1)10,3(2)a−b，a+b(3)10−5t，10−2.5t【分析】（1）根据两点间的距离公式和线段中点的计算方法解答即可；（2）①根据两点间的距离公式的计算方法解答；②根据线段中点的计算方法解答；（3）①根据路程=时间×速度和两点间的距离公式得到PQ=8−2t−−2+3t【详解】（1）解：若数轴上点A，点B表示的数分别为8，−2，则则A，B两点之间的距离为：8−−2=10，线段故答案为：10，3；（2）解：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，①若a>b>0，则A，B两点之间的距离为：AB=a−b；若a>0>b，则A，B两点之间的距离为：AB=a−b；若0>a>b，则故答案为：a−b；②线段AB的中点表示的数为：a+b2故答案为：a+b2（3）解：若数轴上点A，点B表示的数分别为8，−2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当P，Q相遇时，停止运动，设运动时间为t秒（t>0），点①P，Q两点之间的距离为：故答案为：10−5t；②∵点M为PA的中点，点N为QB的中点，∴M表示的数为：8+8−2t2=8−t，N表示的数为：∴线段MN的长度为：8−t−−2+1.5t故答案为：10−2.5t．【点睛】本题考查了列代数式，解题的关键是弄清楚点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离．【变式1-1】如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，AB表示点A和点B之间的距离，且a、b满足a+62(1)填空：a=_____，b=_____；(2)若点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点N从点B出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，点P、Q分别为AM、BN的中点，设运动时间为t秒（0≤t≤9）；①问运动时间为多少时，点M与点N重合？②在运动过程中，点P和点Q能重合吗？如果能，请求出t值，如果不能，请说明理由；③增加点O为原点，若OP=NQ，求t的值．【答案】(1)−6，12(2)①运动时间为6秒时，点M与点N重合；②点P与点Q不能重合，理由见解析；③t=4【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；（2）①根据点M与点N重合可得AM+BN=AB，据此建立一元一次方程，解方程即可求解；②根据AP+BQ=AB建立方程，解方程得出t=12，根据0≤t≤9，即可得出结论；③若OP=NQ，则t−6=【详解】（1）解：∵a+62∴a+6=0，b−12=0，∴a=−6，b=12；故答案为：−6，12；（2）解：①依题意，得：AM=2t，BN=t，AB=12−−6∵点M与点N重合，∴AM+BN=AB，即2t+t=18，解得t=6，答：运动时间为6秒时，点M与点N重合；②点P与点Q不能重合，理由如下：∵P、Q分别为AM、BN的中点，∴AP=12AM=t∴当点P与点Q重合时，∴AP+BQ=AB，即t+1解得t=12，∵0≤t≤9，∴t=12不符合题意，舍去，∴点P与点Q不能重合；③由②可知：NQ=12t若OP=NQ，则t−6=∴t=4或t=12（舍去），∴t的值为4．【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，线段中点的计算，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．【变式1-2】如图，在数轴上点A表示−2，点B表示6．P、Q为数轴上两点，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，点Q到达原点后，立即以原来的速度返回向右运动．设点P的运动时间为t秒．(1)用含有t的代数式表示点P表示的数为；(2)当t为何值时，PQ=6；(3)在运动过程中，若P、Q、B三点中恰有一点为另外两点所连线段的中点，求t的值．【答案】(1)−2−t(2)2或10(3)83或16【分析】（1）数轴上点A表示−2，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，列代数式即可得到答案；（2）根据t的取值范围，分0≤t≤3和t>3两种情况列方程求解即可；（3）根据t的取值范围，0≤t≤3、3<t≤6、t>6三种情况分别列方程求解即可．【详解】（1）解：在数轴上点A表示−2，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，∴点P表示的数是−2−t，故答案为：−2−t；（2）当0≤t≤3时，点P表示的数是−2−t，点Q表示的数是6−2t，则(6−2t)−(−2−t)=6，解得t=2；当t>3时，点P表示的数是−2−t，点Q表示的数是2(t−3)，则2(t−3)−(−2−t)=6，解得t=10所以当PQ=6时，t的值是2或103（3）当0≤t≤3时，点P表示的数是−2−t，点Q表示的数是6−2t，∵点B表示的数是6，∴点Q是线段PB的中点，则QB=PQ，2t=6−2t−(−2−t))，解得t=8当3<t≤6时，点P表示的数是−2−t，点Q表示的数是2(t−3)，∵点B表示的数是6，∴点Q是线段PB的中点，则QB=PQ，12−2t=2(t−3)−(−2−t))，解得t=16当t>6时，点P表示的数是−2−t，点Q表示的数是2(t−3)，∵点B表示的数是6，∴点B是线段PQ的中点，则QB=PB，2(t−3)−6=6−(−2−t))，解得t=20；综上，若P、Q、B三点中恰有一点为另外两点所连线段的中点，t的值是83或16【点睛】此题主要考查数轴上两点间的距离、一元一次方程的应用，读懂题意和分类讨论是解题的关键．【变式1-3】如图，数轴上的点O是数轴上的原点，点A表示数10，点P是线段OA上一动点，沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（0≤t≤10）(1)线段BA的长度为____，当t=3时，点P所表示的数是____；(2)求动点P所表示的数（用含t的代数式表示）；(3)在运动过程中，当PB=2时，求运动时间t．【答案】(1)5，6(2)当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t；当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20－2t(3)t的值为1.5或3.5或6.5或8.5【分析】（1）根据B是线段OA的中点，即可得到结论，根据路程=速度×时间即可得到结论；（2）当0⩽t⩽5时，动点P所表示的数为点P运动的路程；当5⩽t⩽10时，动点P所表示的数为20−点P运动的路程；（3）分0⩽t⩽5与5⩽t⩽10两种情况进行讨论，根据PB=2列方程，求解即可．【详解】（1）解：∵B是线段OA的中点，∴BA=1当t=3时，点P所表示的数是2×3=6，故答案为：5，6；（2）解：当0⩽t⩽5时，动点P所表示的数是2t，当5⩽t⩽10时，动点P所表示的数是20−2t；（3）解：由（1）可得：B表示的数为：5，①当0⩽t⩽5时，动点P所表示的数是2t，∵PB=2，∴|2t−5|=2，∴2t−5=2，或2t−5=−2，解得t=3.5，或t=1.5；②当5⩽t⩽10时，动点P所表示的数是20−2t，∵PB=2，∴|20−2t−5|=2，∴20−2t−5=2，或20−2t−5=−2，解得t=6.5，或t=8.5．综上所述，所求t的值为1.5或3.5或6.5或8.5．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键．【题型2：存在性问题】【例1】在数轴上，点A，B，C表示的数分别是−6，10，1．点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速度也向右运动．(1)运动前线段AB的长度为________；(2)当运动时间为多长时，点A和线段BC的中点重合？(3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段AB=12AC【答案】(1)16(2)23(3)存在，272或【分析】本题考查了实数与数轴的知识点，解题的关键是熟练的掌握实数与数轴的相关知识点．（1）根据两点间的距离公式即可求解；（2）先根据中点坐标公式求得B、C的中点，再设当运动时间为t秒长时，点A和线段BC的中点重合，根据路程差的等量关系列出方程求解即可；（3）设运动时间为y秒，分两种情况：①当点A在点B的左侧时，②当点A在点B的右侧时时，列出方程求解即可．【详解】（1）解：运动前线段AB的长度为10−−6（2）解：设当运动时间为t秒长时，点A和线段BC的中点重合，依题意有−6+3t=10−1解得t=23故当运动时间为234秒长时，点A和线段BC（3）解：存在，理由如下：设运动时间为y秒，当点A在点B的左侧时，若满足线段AB=1AC=2依题意有3y+−6解得y=133×13当点A在点B的右侧时，，若满足线段AB=1依题意有AC=2BC=2×10−1解得y=253×综上所述，符合条件的点A表示的数为272或63【变式1-1】已知数轴上点A，B对应的数字分别是−5和4，点P为数轴上的一点，对应的数是x．(1)若点P在线段AB上，且满足AP=2BP，求x．(2)若点P到A，B的距离之和为13，求x．(3)若点P从原点出发向右运动，与此同时点A，B也一并向右运动，点A，P，B的运动速度分别是每秒4个单位，2个单位，1个单位．是否存在某一时刻t，使得其中一点是另外两个点的中点．若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)1(2)−7或6(3)t的值为1或145或【分析】（1）由P在线段AB上，且AP=2BP，得x+5=24−x，解方程求出x（2）先计算出AB=9，可知点P在AB上不符合题意，再分两种情况，一是点P在线段BA的延长线上，则−5−x+4−x=13；二是点P在线段AB的延长线上，则x+5+x−4=13，解方程求出相应的x的值即可；（3）根据题意，点A、P、B表示的数分别为−5+4t、2t、4+t，再分三种情况讨论，一是PA=PB，则2t−−5+4t=4+t−2t；二是AP=AB，则−5+4t−2t=4+t−−5+4t；三是BP=BA，则4+t【详解】（1）解：根据题意得x+5=24−x解得x=1，∴x的值是1．（2）解：AB=4+5=9，当点P在线段AB上，则PA+PB=9，不符合题意；当点P在线段BA的延长线上，则−5−x+4−x=13，解得x=−7；当点P在线段AB的延长线上，则x+5+x−4=13，解得x=6，综上所述，x的值为−7或6．（3）解：存在，根据题意，点A、P、B表示的数分别为−5+4t、2t、4+t，当PA=PB时，如图1，则2t−−5+4t解得t=1；当AP=AB时，如图2，则−5+4t−2t=4+t−−5+4t解得t=14当BP=BA时，如图3，则4+t−2t=−5+4t−解得t=13综上所述，t的值为1或145或13【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、线段的和差关系及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题及一元一次方程的应用是解题的关键．【变式1-2】如图所示，已知数轴上两点M、N对应的数分别为−8、4，点P为数轴上任意一点，

其对应的数为x．(1)MN的长为______；(2)当点P到点M、点N的距离相等时，求x的值；(3)数轴上是否存在点P，使点P到点M、点N的距离之和是20？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；(4)如果点P以每秒1个单位长度的速度从点M出发沿数轴向右运动，同时点Q从点N出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达点M时，点P与Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒t>0．当点P、点Q与点M三个点中，其中一个点到另外两个点的距离相等时，请直接写出t的值．【答案】(1)12(2)x=−2；(3)存在，x的值为−12或8；(4)t的值为4或6或3或4.8．【分析】本题主要考查了数轴上两点距离以及一元一次方程的应用，（1）根据数轴上两点距离公式求解即可；（2）根据题意结合数轴上两点距离公式列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值；（3）可分为点P在点M的左侧和点P在点N的右侧，点P在点M和点N之间三种情况计算；（4）分三种情况：当PM=QM时，当PQ=PM时，当QM=QP时，分别列出方程解答即可．掌握数轴上两点之间的距离表示方法以及进行分类讨论是解题关键．【详解】（1）解：MN的长为4−−8故答案为：12；（2）解：根据题意得：x−−8解得x=−2；（3）解：①当点P在点M的左侧时．根据题意得：−8−x+4−x=20，解得x=−12．②P在点M和点N则x−−8方程无解，即点P不可能在点M和点N之间．③点P在点N的右侧时，x−−8解得x=8．∴x的值是−12或8；（4）解：t秒后，点P表示的数是−8+t，点Q表示的数是4−2t，当PM=QM时，−8+t−解得t=4或t=12（舍去）；当PQ=PM时，−8+t−解得t=6或t=3；当QM=QP时，4−2t−解得t=4.8或t=0（舍去）；综上，t=4或6或3或4.8．【变式1-3】如图所示，点O表示数轴的原点，M点在原点的左侧，所表示的数是m，N点在原点的右侧，所表示的数是n，并且关于x的多项式m+1x

(1)求线段MN的长；(2)动点P从点M出发，沿线段MN运动，到达N点停止，速度是12个单位长度/秒，点A为线段PO的中点，设运动时间为t秒，请用含有t的式子表示线段OA(3)在（2）的条件下，是否存在t值，使线段OA的长度是14【答案】(1)MN=5(2)12−(3)存在，1或3【分析】（1）根据关于x的多项式m+1x4−3xn−1−7是三次二项式得到m=−1，n=4，得到M点所表示的数是（2）当点P在线段MO上时，PO=1−12t，由中点的定义即可得到线段OA的长；当点P在线段ON上时，PO=（3）分点P在线段MO上和点P在线段ON上两种情况，列方程求解即可．【详解】（1）∵关于x的多项式m+1x∴m+1=0，n−1=3，解得m=−1，n=4，∴M点所表示的数是−1，N点所表示的数是4，∴MN=1+4=5；（2）当点P在线段MO上时，PO=1−1

∵点A为线段PO的中点，∴AO=1当点P在线段ON上时，PO=1

∵点A为线段PO的中点，∴AO=1∴线段OA的长为12−1（3）当点P在线段MO上时，12−1当点P在线段ON上时，14t−1故存在t值，当t=1或t=3时，线段OA的长度是14【点睛】此题考查了一元一次方程的应用、列代数式、数轴上两点之间的距离、线段的中点等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．【变式1-4】已知数轴上A，B两点对应数分别为−2和4，P为数轴上一动点，对应数为x．(1)若P为线段AB的三等分点，求P点对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使P点到A点、B点距离之和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动，它们的速度分别为1个单位长度/分、2个单位长度/分和1个单位长度/分，则经过多长时间其中一个点到另外两个点的距离相等．【答案】(1)0或2(2)x=−4或x=6(3)2分或5分或8分【分析】（1）根据题意结合图形即可解决问题；（2）分点P在线段AB的左边或右边两种情况来解答，列出方程即可解决问题．（3）设运动时间为t分，根据题意得：t分后点A对应的数为−2−t，点P对应的数为−t，点B对应的数为4−2t，然后分三种情况，列出方程即可解决问题．【详解】（1）解：∵点A、B的对应的数分别为−2，4，∴AB=6，∵P为线段AB的三等分点，∴点P对应的数为0或2；（2）解：存在．设点P对应的数为x，∵P点到A点、B点距离之和为10，∴点P在A点的左侧或B点的右侧，∴−2−x+4−x=10或x+2+x−4=10，解得：x=−4或x=6；（3）解：设运动时间为t分，根据题意得：t分后点A对应的数为−2−t，点P对应的数为−t，点B对应的数为4−2t，∵点A和点P的速度相同，∴点P始终为点A的右侧，当点P到点A，B的距离相等，即PA=PB时，−t−−2−t解得：t=2；当点B点A，点P的距离相等，即AB=BP时，4−2t−解得：t=5；当点A到点B，点P的距离相等，即AB=AP时，−2−t−解得：t=8∴经过时间2分或5分或8分时，其中一个点到另外两个点的距离相等．【点睛】本题主要考查了一元一次方程在数轴方面的应用问题；解题的关键是深刻把握题意，明确命题中的数量关系，正确列出方程．【题型3：定值问题】【例1】如图，已知数轴上点A表示的数为9，点B表示的数为-6，动点P从点A出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0(1)数轴上点P表示的数为（用含t的式子表示）(2)当t为何值时，AP=2BP？(3)若M为AP的中点，N为BP的中点，点P在运动的过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)9−5t.(2)t=2或t=6(3)答案见解析【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；（3）分情况讨论，①当点P在A，B两点之间时，②当点P运动到点B的左侧时，根据线段中点的性质，分别计算MN，即可求解．【详解】（1）数轴上点A表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为tt>0则数轴上点P表示的数为9−5t故答案为：9−5t（2）AP=5t，BP=9−5t+6∵AP=2BP，∴5t=2×15−5t，∴5t=30−10t或5t=10t−30解得t=2或t=6，∴当t=2或t=6时，AP=2BP；（3）①当点P在A，B两点之间时，如图1所示.MN=②当点P运动到点B的左侧时，如图2所示.MN=综上可知，当点P在运动过程中，线段MN的长度为定值152【点睛】本题考查了数轴动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．【变式1-1】【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0+3t；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是0−2t．【探究】已知数轴上A,B两点表示的数分别为a,b，且a,b分别为−4,8．(1)如图1，若点P和点Q分别从点A,B同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；②当P,Q两点之间的距离为4时，则t的值为_______．(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，M,N分别是线段AP,BP的中点，则在运动过程中，线段MN的长度是否为定值？若是，请直接写出线段MN的长度；若不是，请说明理由．【答案】(1)①−4−2t，8−6t；②4或2(2)线段MN的长度为定值，6【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数；②由①可求出PQ=|−4−2t−8+6t|，再根据PQ=4，即得出|−4−2t−8+6t|=4，解出t即可；（2）由M，N分别为线段AP，BP的中点，即得出MP=12AP【详解】（1）①点P表示的数是−4−2t，点Q表示的数是8−6t，故答案为：−4−2t，8−6t；②因为点P表示的数为−4−2t，点Q表示的数为8−6t，∵PQ=|−4−2t−8+6t|∴|−4−2t−8+6t|=4，解得：t=4或2；（2）（2）线段MN的长度为定值，MN的长度为6．∵M，N分别为线段∴AM=MP=1∴MN=MP+PN=1∵AB=8−(−4)=12，∴MN=1【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键．【变式1-2】已知数轴上A、B两点对应的数分别为−1和−5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A、点B的距离相等，写出点P对应的数；(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和是8？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由；(3)若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，MNAB【答案】(1)点P对应的数是−3(2)存在点P，x的值是1或−7，理由见解析(3)MNAB为一个定值，定值是【分析】（1）由“点P到点A、点B的距离相等”列方程可解得答案；（2）分P在A右侧和P在B左侧两种情况，分别列方程可解得答案；（3）利用x表示出m，n，从而表示出MN，再代入计算即可．【详解】（1）解：根据题意可知点P只能在点A、点B之间，即：−1−x=x−−5解得x=−3，∴点P对应的数是−3．（2）解：存在点P，使点P到点A、点B的距离之和是8，理由如下：当P在A右侧时，x−−1解得x=1，当P在B左侧时，−1−x+−5−x解得x=−7，∴x的值是1或−7．（3）解：MNAB∴A为PM的中点，B为PN的中点，∴x+m2=−1，∴m=−2−x，n=−10−x，∴MN=−2−x∵AB=−1−−5∴MNAB∴MNAB为一个定值，定值是2【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点的距离公式和中点表示的数与两个端点表示的数的关系．【变式1-3】如图1，在数轴上，A，B两点所表示的数分别是−6，4，点P以每秒3个单位的速度从点A向右运动，同时点Q以每秒1个单位的速度从点B向左运动，设运动时间为1．(1)当t=1时，求P，Q两点之间的距离；(2)当点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时，求运动时间t；(3)如图2，将长度为2的线段MN(点M在点N的左侧)放在数轴上，点M表示的数为1，在点P，Q出发的同时，线段MN以每秒a个单位的速度向右运动，在整个运动过程中，是否存在某段时间，点P到线段MN中点的距离与点Q到线段MN中点的距离的和是一个定值，若存在，求出a的值和该过程持续的时长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6(2)114或(3)存在：a的值为1，该过程持续的时长为3秒【分析】本题考查了两点之间的距离，一元一次方程的应用，掌握两点间的距离公式是解题的关键．（1）根据两点之间的距离公式求解；（2）根据“点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时”列方程求解；（3）根据“点P到线段MN中点的距离与点Q到线段MN中点的距离的和是一个定值”列式求解．【详解】（1）解：依题意得：点P表示的数为：−6+3t，点Q表示的数为：4−t，当t=1时，点P表示的数为：−3，点Q表示的数为：3，∴PQ=−3−3=6，即P、（2）解：由题意得：−6+3t−解得：t=114或答：点P到原点O的距离比点Q到原点O的距离大1时，运动时间为114或1（3）解：存在：a的值为1，该过程持续的时长为3秒．∵将长度为2的线段MN(点M在点N的左侧)放在数轴上，点M表示的数为1，∴点N表示的数为3，∴MN的中点表示的数为2，∴MN移动t秒的中点表示的数为：at+2，又∵点P表示的数为：−6+3t，点Q表示的数为：4−t，∴点P到线段MN中点的距离为−6+3t−at+2点Q到线段MN中点的距离为4−t−at+2∴3−at−8∴含t的项要抵消，去绝对值后绝对值内的各式取其本身或其相反数，∴3−a+−1−a①当3−a+−1−a=0则3−at−8则当2≤2t≤8即1≤t≤4，4−1=3，所以a的值为1，该过程持续的时长为3秒．②当3−a=−1−a时，此时无解．综上所述：a的值为1，该过程持续的时长为3秒．【变式1-4】如图，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足a+9+(1)a=_______；b=______；(2)动点P，Q分别从点A，点B同时出发，沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度．①几秒时，点P与点Q距离2个单位长度？②动点P，Q分别从点A，点B出发的同时，动点R也从原点O出发，沿着数轴向右匀速运动，速度为每秒nn>1个单位长度．记点P与点R之间的距离为PR，点A与点Q之间的距离为AQ，点O与点R之间的距离为OR．设运动时间为t秒，请问：是否存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3+AQ【答案】(1)−9，5；(2)①8秒或6秒；②n=6时，定值为35．【分析】（1）由绝对值和平方的非负性可得答案；（2）①用含t的代数式表示P，Q表示的数，再根据“两点距离2个单位长度”列出方程，可得答案；②用含t的代数式表示出PR、OR、AQ，代入7PR−4OR3+AQ化简变形，再令t的系数为0，即可得出n值和【详解】（1）解：∵a+9+∴a+9=0，b−5∴a+9=0，b−5=0，∴a=−9，b=5，故答案为：−9，5；（2）解：①P表示的数是：−9+3t，Q表示的数是：5+t，由题意得：−9+3t−5+t=2，即∴2t−14=2或2t−14=−2，解得t=8或t=6，即8秒或6秒时，点P与点Q距离2个单位长度；②存在n的值，使得在运动过程中，7PR−4OR3∵P表示的数是：−9+3t，Q表示的数是：5+t，R表示的数是：nt，∴PR=nt−−9+3t=nt−3t+9，OR=nt，∴7PR−4OR3+AQ∴当n−6=0时，7PR−4OR3即当n=6时，7PR−4OR3【点睛】本题考查绝对值和平方的非负性，列代数式，数轴上两点间的距离，整式加减的应用，一元一次方程的应用等，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示出PR、OR、AQ．能力提升能力提升一、单选题1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段AB=20cm，O是线段AB上的中点，P、Q是线段AB上的动点，点P沿A→B→A以4cm/s的速度运动，点Q沿B→A以2cm/s的速度运动．若P、Q点同时运动，当OP=OQA．0s、10s或53s B．0C．0s、103s、203s或10s D．0【答案】C【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为ts，分别表示出OP和OQ的长，再结合OP=OQ列出方程，求出t【详解】解：∵线段AB=20cm，O是线段AB∴AO=1设运动时间为ts，则BQ=2t∴AQ=AB−AQ=20−2t∴OQ=AQ−AO∵点P沿A→B→A以4cm/s∴分两种情况讨论：①当点P沿A→B运动时，点P到达点B需要时间20÷4=5s当0≤t≤5时，AP=4tcm∴OP=AO−AP∵OP=OQ，∴10−4t∴10−4t=10−2t或10−4t=2t−10，解得：t=0或t=10②当点P沿B→A运动时，此时5≤t≤10，BP=4t−20，∴AP=AB−BP=20−4t−20∴OP=AP−AO∵OP=OQ，∴30−4t∴30−4t=10−2t或30−4t=2t−10，解得：t=10或t=20∴综上所述，当OP=OQ时，运动时间为0s、103s、20故选：C．2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段AB=24cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度向点B运动，M为AP的中点，N为①运动4s后，MN=12②在点P运动过程中，2BM−BP值随着点P位置的变化而变化；③当AN=6PM时，运动时间为2.4sA．①② B．②③ C．①②③ D．①③【答案】D【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出AP,PB的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可．【详解】解：运动4s后，AP=2×4=8∵M为AP的中点，N为BP的中点，∴AM=MP=1∴MN=MP+PN=12cm设运动t秒，则AP=2t,PB=24−2t(0≤t<12)，∵M为AP的中点，N为BP的中点，∴AM=PM=1∴BM=AB−AM=24−t,PB=24−2t(0≤t<12)，∴2BM−BP=2(24−t)−(24−2t)=24，∴2BM−BP的值不变，故②错误；∵AN=AP+PN=2t+(12−t)=12+t,PM=t，∴12+t=6t，解得：t=12故选：D．二、填空题3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）如图，已知线段AB=21cm，AO=5cm，半径OM=3cm，当点M在AB的上方，且∠MOB=60°时，点M绕着点O以每秒30°的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段BA向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为【答案】4.75或1.3【分析】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段AB上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可．【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为21−5−3当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为21−5+3综上所述，点N的速度为4.75cm/s故答案为：4.75或1.3．4．（23-24七年级上·河南郑州·期末）在数轴上，O为原点，点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且AB=18．动点M从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，动点N从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动．设运动时间为t秒，当点O，M，N中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，t的值为．【答案】32【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，由点A，B之间的关系，可得出点B对应的数为−15，当运动时间为t秒时，动点M对应的数为3t−15，动点N对应的数为5t+3，分点O是线段MN的中点及点M是线段ON的中点两种情况考虑（由点N在点O，M的右边，可得出只有这两种情况），根据中点到另外两点的距离相等，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【详解】解：∵点A对应的数为3，点B在点A的左侧，且AB=18，∴点B对应的数为−15．当运动时间为t秒时，动点M对应的数为3t−15，动点N对应的数为5t+3．当点O是线段MN的中点，即0<t<5时，0−3t−15解得：t=3当点M是线段ON的中点，即t>5时，3t−15−0=5t+3−3t−15解得：t=33．综上所述，t的值为32故答案为：32三、解答题5．（24-25七年级上·云南临沧·期末）在数轴上，点O为原点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a、b满足a+32(1)求线段AB的长；(2)若A、B两点分别以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，经过多少秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10？(3)点P为射线BA上的一个点，且不与A、B两点重合，M为线段的PA的中点，N为线段的PB的中点，当点P在射线BA上运动时，线段MN的长度是否会发生改变？若不变，求出MN的长度，若改变，请说明理由．【答案】(1)AB=12；(2)经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10；(3)线段MN的长度不会发生改变，MN的长度为6；【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点的距离公式，一元一次方程的应用，线段的中点以及和差计算，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键．（1）根据平方和绝对值的非负性，求出a、b的值，再根据数轴上两点的距离公式求解即可；（2）设经过t秒后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为9−3t，再根据数轴上两点的距离公式列方程求解即可；（3）由线段中点可知MP=12AP，NP=12BP，分两种情况讨论：当点P在A、【详解】（1）解：∵a+32∴a+3=0，b−9=0，∴a=−3，b=9，∴AB=−3−9（2）解：设经过t秒后，点A表示的数为−3−2t，点B表示的数为9−3t，∵点B在点A的右侧，∴9−3t−−3−2t解得：t=2，∴经过2秒，点B在点A的右侧且两点之间的距离为10；（3）解：∵M为线段PA的中点，N为线段PB的中点，∴MP=12AP当点P在A、B两点之间运动时，MN=MP+NP，即MN=1当点P在点A左侧运动时，MN=NP−MP，即MN=1∴综上所述，线段MN的长度不会发生改变，其值为6．6．（24-25七年级上·浙江台州·期末）定义：若点A，B，C在同一直线上，且AB=mAC，则dABC=m．例如AB=6，AC=3，则(1)如图1，O为数轴的原点，点P，Q表示的数分别为4和−2，则dOPQ(2)如图2，已知线段AB=12cm，点P从点A出发向右运动，点Q从点B出发向左运动，若点P运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为①请用含有t的代数式分别表示dAPB和d②当t为何值时，dAQB③若线段PQ的中点为M，直接写出dAMB=1【答案】(1)2(2)①dAPB=t12，dAQB=12−2t120<t<6或【分析】本题考查了数轴上两点距离，线段的和差，一元一次方程的应用；（1）根据题意可得OP=4,OQ=2，即OP=2OQ，根据定义，即可求解；（2）①根据题意得出AP=t,AB=12，AQ=12−2t②根据题意列出方程，解方程，即可求解．③分情况讨论求得AM的长，根据dAMB=13可得【详解】（1）解：①O为数轴的原点，点P，Q表示的数分别为4和−2，∴OP=4,OQ=2，即OP=2OQ∴d（2）解：①依题意，AP=t,AB=12，AQ=12−2t0<t<6或∴dAPB=APAB②∵d∴12−2t12−解得：t=2或18；③P,Q相遇时，t=12÷当0<t≤4时，P,Q都在线段AB上，如图所示，∵AP=t，AQ=12−2t∴PQ=AQ−AP=12−2t−t=12−3t∴PM=∴AM=AP+PM=t+6−∵d∴6−解得：t=4当4<t<6时，如图所示，P,Q都在线段AB上，如图所示，∵AP=t，AQ=12−2t∴PQ=AP−AQ=t−12+2t=3t−12∴PM=∴AM=AP−PM=t−∵d∴6−解得：t=4（舍去）Q点的速度大于P的速度，当t>6时，当M点在A点的右侧时，如图所示，∵AP=t，AQ=2t−12∴PQ=AP+AQ=t+2t−12=3t−12∴PM=∴AM=AP−PM=t−∵d∴6−解得：t=4（舍去）当M点在A点的左侧时，如图所示，∵AP=t，AQ=2t−12∴PQ=AP+AQ=t+2t−12=3t−12∴PM=∴AM=PM−AP=∵d∴12解得：t=20．综上所述，t的值为4或20．7．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）【问题背景】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BP向左运动，其中一点到达点A【问题探究】（1）点C，D的速度分别是1cm/s，①若AP=8cm，当动点C，D运动了2s时，求CD②若经过t秒，点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求t的值；【问题解决】（2）动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD=3AC，求【答案】（1）①8cm；②t=3；（2）【分析】本题考查了线段上动点问题、线段中点的有关计算、一元一次方程的实际应用．（1）①先根据线段的和差计算BP，再根据运动时间得出CP、BD，然后根据线段的和差即可得出答案；②先根据运动时间得出CP=t,BD=2t，再根据线段的中点得出AP=2CP,BP=2BD，然后根据AB=18列方程求解即可得出答案；（2）设运动时间为t，则PC=t,BD=3t，得出BD=3PC，再根据线段的和差及等量代换得出PB=3AP，从而得出答案．【详解】（1）①∵AB=18,AP=8∴BP=AB−AP=10∵C，D运动了2∴CP=2,BD=2×2=4∴CD=CP+BP−BD=2+10−4=8cm②根据题意得，CP=t,BD=2t∵点C为AP的中点，点D为BP的中点∴AP=2CP,BP=2BD∴2t+2×2t=18∴t=3；（2）设运动时间为t，则PC=t,BD=3t∴BD=3PC∵PD=3AC∴PB=PD+BD=3PC+3AC=3∴AP=18．（23-24七年级上·全国·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：AB=m,CD=n，且m，n满足m−4+n−82=0，点M，

(1)求线段AB,CD的长；(2)线段AB以每秒4个单位长度向右运动，线段CD以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，MN=4，求此时线段BC的长；(3)若BC=24，将线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，在线段AB向右运动的某一个时间段t内，始终有MN+AD为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．【答案】(1)线段AB的长是4，线段CD的长是8(2)10或2；(3)当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论；（2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是x−2，点N表示的数是y+4，运动后点M表示的数是x−2+24=x+22，点N表示的数是y+4+6=y+10，由MN=4解得x−y=−8或x−y=−16，运动后BC=x+24−（3）根据题意分类讨论于是得到结果．【详解】（1）解：∵m−4+∴m−4=0，n−8∴m=4，n=8，∴AB=4，CD=8，即线段AB的长是4，线段CD的长是8；（2）解：设直线l为数轴，∵AB=4，CD=8，∴MB=12AB=2设点B表示的数为x，点C表示的数为y,∵点M，N分别为AB,CD中点．∴点M表示的数是x−2，点N表示的数是y+4，运动后点M表示的数是x−2+24=x+22，点N表示的数是y+4+6=y+10，∵MN=4，∴x+22−解得，x−y=−8或x−y=−16运动后BC=∴BC=x−y+18=即线段BC的长为10或2；（3）解：∵BC=24，AB=4，CD=8，∴MN=BC+12AB+∵线段CD固定不动，线段AB以每秒4个单位速度向右运动，∴运动t秒后，MN=30−4t，AD=当0≤t<7.5时，MN+AD=30−4t+36−4t=66−8t；当7.5≤t≤9时，MN+AD=4t−30+36−4t=6；当t>9时，MN+AD=4t−30+4t−36=8t−66；故当7.5≤t≤9时，MN+AD为定值，定值为6．【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．9．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足a+2+

(1)a=______，b=______，c=______．(2)点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当PB=2PO时，点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，求点Q的运动速度；（注：点(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段OB上时，分别取AP和OB的中点E，F．请问：AB−OPEF的值是否随着时间t【答案】(1)−2，1，7(2)点Q的运动速度是487cm(3)不变，值为2【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得a，c的值，结合b是最小的正整数，即可得b的值；（2）先求出点Q，此时CQ=8，再进行分类讨论，当点P在OB上时或当点P在AO上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；（3）易得AP=2t，OP=2t−2，根据线段之间的和差关系得EF=AB−AE−BE=52−t【详解】（1）解：因为a+2所以a=−2，c=7因为b是最小的正整数，所以b=1；（2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，∴点Q表示的数是−1，此时CQ=7−−1由PB=2PO，可分两种情况：①当点P在OB上时，得OP=1此时AP=AO+OP=2+1∴点P运动的时间为73∴点Q的运动速度=8÷7②当点P在AO上时，得PO=OB=1，此时AP=AO−PO=2−1=1，∴点P的运动时间是1÷2=1∴点Q的运动速度=8÷1综上，点Q的运动速度是487cm/（3）解：不变，理由如下：设运动时间为t秒，此时AP=2t，OP=2t−2，∵点E是AP的中点，∴AE=t，∵点F是OB的中点，OB=1，∴BF=1∴EF=AB−AE−BF=3−t−12=∴AB−OPEF【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．10．（24-25七年级上·江西九江·阶段练习）如图，点C,D,E都在直线AB上，C是线段AB的中点，E是线段CB的中点，CE=4．

(1)当点D在线段AC上且AD:DC=1:3时，求DC和AB的长．(2)若P是直线AB上的动点，动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动，运动时间为t秒．①已知另一动点Q从点E出发，以2个单位长度/秒的速度沿着EA的方向同时运动．是否存在PB=QB？若存在，求出此时运动的时间t；若不存在，请说明理由．②当动点P在线段AC上运动时，M,N分别是线段AC和BP的中点，试判断AB−CP与线段MN之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)DC=6，AB=16(2)①t=125或t=20【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键．（1）根据中点，得CB=2CE=8，AB=2CB=16，根据AD:DC=1:3，得DC=6；（2）①存在，当P、Q相遇时，BP=16−3t，BQ=4+2t，得16−3t=4+2t，解得t=125；当P、Q相遇后，BP=3t−16，BQ=4+2t，得3t−16=4+2t，解得t=20；②根据中点，得AM=CM=4，【详解】（1）解：∵E是线段CB的中点，CE=4．∴CB=2CE=8，∵C是线段AB的中点，∴AC=CB=8，∴AB=2CB=16，∵点D在线段AC上且AD:DC=1:3，∴DC=3

（2）解：①存在，当P、Q相遇时，∵AP=3t，∴BP=16−3t，∵BP=BQ，∴16−3t=4+2t，解得t=12当P、Q相遇后，∵BP=3t−16，∴3t−16=4+2t，解得t=20；故t=125或

②AB−CP=2MN，理由：∵M,N分别是线段AC和BP的中点，AC=8，∴AM=CM=1∵BM=AB−AM=12，∴MN=BM−BN=12−1∵CP=AC−AP=8−3t，∴AB−CP=16−8+3t=3t+8，∴AB−CP=2MN．

11．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起了对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行以下操作探究：操作一：（1）折叠数轴，若数1表示的点与数−1表示的点重合，则数−2表示的点与数______表示的点重合，数a表示的点与数______表示的点重合；操作二：（2）折叠数轴，数−2表示的点与数6表示的点重合，回答以下问题：①数2023表示的点与数______表示的点重合；②数轴上A、B两点之间的距离为20，其中点4在B的左侧，若A、B两点折叠后重合，则点A表示的数是______，点B表示的数是______；③在②的条件下，若数轴上点M表示的数是m，经折叠与点N重合，则点N到点B的距离______；操作三：（3）在数轴上剪下10个单位长度（从−2到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1:2:2，则折痕处对应的点所表示的数是______．【答案】（1）2，−a；（2）①−2019；②−8，12；；③m+8；（3）2或3或4【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键．（1）判断出折痕为原点，由此即可得；（2）①先求出折痕为数2表示的点，再求出数2023表示的点与折痕点的距离，然后利用数轴的性质求解即可得；②先求出点B表示的数大于4，再求出点A,B到折痕点的距离均为10，然后利用数轴的性质列出式子计算即可得；③设点N表示的数是n，先数轴上点M表示的数是m，经折叠与点N重合求出n，再根据数轴的性质求解即可得；（3）如图（见解析），分三种情况：CE:EF:DF=1:2:2、EF:CE:DF=1:2:2和DF:CE:EF=1:2:2，先求出CE,CF的长，再利用数轴的性质求出点E,F表示的数，由此即可得．【详解】解：（1）∵折叠数轴，数1表示的点与数−1表示的点重合，∴折痕为原点，∴数−2表示的点与数2表示的点重合，数a表示的点与数−a表示的点重合，故答案为：2，−a．（2）①∵折叠数轴，数−2表示的点与数6表示的点重合，∴折痕为数−2+62∴数2023表示的点与折痕点的距离为2023−2=2021，∴折叠数轴，与数2023表示的点重合的点表示的数是2−2021=−2019，故答案为：−2019；②∵点4在点B的左侧，∴点B表示的数大于4，∵数轴上A,B两点之间的距离为20，A,B两点折叠后重合，∴点A,B到折痕点的距离均为202∴点A表示的数为2−10=−8，点B表示的数2+10=12，故答案为：−8，12；③设点N表示的数是n，∵数轴上点M表示的数是m，经折叠与点N重合，∴m−2=2−n或2−m=n−2，解得n=4−m，∵点B表示的数12，∴点N到点B的距离为12−4−m故答案为：m+8．（3）如图1，当CE:EF:DF=1:2:2时，∵CD=8−−2∴CE=11+2+2CD=∴点E表示的数为−2+2=0，点F表示的数为−2+6=4，∴折痕处对应的点所表示的数是0+42如图2，当EF:CE:DF=1:2:2时，∵CD=8−−2∴CE=21+2+2CD=∴点E表示的数为−2+4=2，点F表示的数为−2+6=4，∴折痕处对应的点所表示的数是2+42如图3，当DF:CE:EF=1:2:2时，∵CD=8−−2∴CE=21+2+2CD=∴点E表示的数为−2+4=2，点F表示的数为−2+8=6，∴折痕处对应的点所表示的数是2+62综上，折痕处对应的点所表示的数是2或3或4．12．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨