专题08 几何中动角问题的三种考法 初中数学人教版（2024）七年级上册（解析版）

目录专题08几何中动角问题的三种考法目录A·重难点题型分类题型1：求值问题………………1题型2：定值问题………………11题型3：角度之间数量关系问题………………20题型4：存在性问题……………30B·能力提升………………………41知识梳理知识梳理1.角的平分线一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图.重难点题型分类重难点题型分类【题型1：求值问题】【例1】如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（注：本题旋转角度最多180°．）（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过t秒后，∠AON=______度（用含t的式子表示），若OM恰好平分∠BOC，则t=______秒（直接写结果）．（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过t秒后，∠AOC=______度（用含t的式子表示）若OC平分∠MON，求t为多少秒？（3）若（2）问的条件不变，那么经过秒OC平分∠BOM？（直接写结果）【答案】（1）3t，5；（2）30+6t，5；（3）经过703秒OC平分【分析】（1）根据图形和题意得出∠AON=15°，再除以每秒速度，即可得出t；（2）根据图形和题意得出∠CON=45°，再根据转动速度从而得出答案；（3）分别根据转动速度关系和OC平分∠BOM画图即可．【详解】（1）∠AON=3t∵∠AOC=30°∴∠BOC=150°∵OM平分∠BOC，∠MON=90°∴∠COM=75°∴∠CON=15°∴∠AON=∠AOC−∠CON=30°−15°=15°解得：t=15°÷3°=5秒（2）∠AOC=30+6t∵∠MON=90°，OC平分∠MON∴∠CON=∠COM=45°∴∠AOC−∠AON=∠CON=45°∴30+6t−3t=45解得：t=5秒（3）如图：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM由题可设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t∴∠COM=∠BOC=∵∠BOC+∠AOC=180°30+6t解得：t=70答：经过703秒OC平分∠BOM【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．【变式1-1】如图（1），∠BOC和∠AOB都是锐角，射线OB在∠AOC内部，∠AOB=α，∠BOC=β．（本题所涉及的角都是小于180°的角）(1)如图（2），OM平分∠BOC，ON平分①当α=40°，β=70°时，∠COM=______，∠CON=______，∠MON=______；②∠MON=______（用含有α或β的代数式表示）．(2)如图（3），P为∠AOB内任意一点，直线PQ过点O，点Q在∠AOB外部：①当OM平分∠POB，ON平分②当OM平分∠QOB，ON平分（∠MON的度数用含有α或β的代数式表示）(3)如图（4），当α=40°，β=70°时，射线OP从OC处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线OQ从OB处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，那么多少分钟时，【答案】(1)35°(2)12α(3)8分钟或48分钟时，∠MON=40°【分析】（1）根据角平分线的定义判断即可；（2）①根据∠MON=12∠POB+∠POA（3）分OP在∠AOB的外部和内部两种情况讨论，在外部时根据旋转的时间乘以速度等于∠POA+∠AOB+∠BOC，在内部时可以判断∠POM=35°，∠MON=∠POM−PON=40°．【详解】（1）解：①∵OM平分∠BOC，ON平分当α=40°，β=70°时，∠COM=12∠CON=12∠MON=∠CON−COM=②∠MON=∠CON−COM=故答案为：35°（2）解：①OM平分∠POB，ON平分∴∠MON=12②∵OM平分∠QOB，ON平分∴∠MON=12故答案为：12α（3）解：根据题意∠POQ=∠BOC=β∵OM平分∠POQ，∴∠POM=如图1所示，当OP在∠AOB的外部时，∵∠AON+∠PON=∠AOB+∠BOC+∠COP−∠MON，∴∠AON+35°=70°+40°+5t∴∠AON=35°+5t∵ON平分∠AOP，∴∠AON=1∴35+5t=55+5t解得t=8；如图2所示，当OP在∠AOB的外部时，∵∠MON的度数是40°，∠MON=∠PON+POM∴∠PON=5°∵ON平分∠AOP，∴∠POA=2∠PON=10°∴∠POC=∠BOC+∠AOB+∠AOP=120°则OP旋转了360°−120°=240°∴240÷5=48分即48分钟时，∠MON的度数是40°；如图3，当OP在∠AOB的内部时，∵∠MON=∠POM−∠PON即40°=35°−∠PON∴∠PON=−5°此情况不存在；如图4所示，当OP在∠AOB的外部时，∵∠MON=∠AOP−∠POM−∠AON，∴70°+40°−360°−∴110−360+5t−35=110−360+5t∴5t−250=150，解得t=80（舍去）；综上所述，8分钟或48分钟时，∠MON=40°．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，掌握角平分线的意义是解题的关键．【变式1-2】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转．（1）如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON’+∠COM’的值；（2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求∠BOC（3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动,点M、N的速度比是2:1，在运动过程中始终有CM=2BN，求BCAC=【答案】（1）600；（2）；（3）.【详解】试题分析：（1）先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=140°计算即可得解；（2）设旋转时间为t，表示出∠BON、∠COM，然后列方程求解得到∠AOC、∠BOC的关系，再整理即可得解；（3）设运动时间为t，点M、N的速度分别为2v、v，然后表示出CM、BN，再列出方程求解即可．试题解析：解：（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，∵∠AOB=140°，∴∠BON′+∠COM′=140°-80°=60°；（2）设旋转时间为t，则∠BON=∠BOC-10t°，∠COM=∠AOC-30t°，∵∠COM=3∠BON，∴∠AOC-30t°=3（∠BOC-10t°），∴∠AOC=3∠BOC，∴∠BOC∠AOB（3）设运动时间为t，则CM=AC-2vt，BN=BC-vt，∵CM=2BN，∴AC-2vt=2（BC-vt），∴AC=2BC，∴BCAC考点：1、角的计算；2、两点间的距离.【变式1-3】已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O按顺时针方向以每秒20°的速度旋转，同时射线OB绕点O按逆时针方向以每秒40°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤30秒）（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数．（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到120°时，求t的值．（3）如果让射线OA改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得∠AOB=30°，请直接写出t的值．【答案】（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝720°−20t；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或28.5【分析】（1）分四种情况，分别求出∠MOA的度数，即可；（2）当∠AOB第二次达到120°时，射线OB在OA的左侧，∠AOM与∠BON重叠部分为∠AOB，故有等量关系∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°，列方程求解可得t．（3）OA、OB都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到30°时，即OB差30°追上OA，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次达到30°时，即OB追上OA且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，OB再走一圈差30°追上OA，路程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，OB再次追上且超过30°，路程差为（180＋360＋30）°，此时求出的t已接近30，故不需再求第五次．【详解】解：（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝720°−20t，（2）当∠AOB第二次达到120°时，如图1，得：∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°∴20t＋40t−120＝180，解得t＝5；（3）如图2，当∠AOB第一次达到30°时，OB比OA多转了（180−30）°，得：40t−20t＝180−30解得：t＝7.5如图3，当∠AOB第二次达到30°时，OB比OA多转了（180＋30）°，得：40t−20t＝180＋30解得：t＝10.5当∠AOB第三次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360−30）°，得：40t−20t＝180＋360−30解得：t＝25.5当∠AOB第四次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360＋30）°，得：40t−20t＝180＋360＋30解得：t＝28.5综上所述，t＝7.5或10.5或25.5或28.5时，∠AOB＝30°．【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用．第（3）题转化为追及问题来思考，可把每次∠AOB达到30°的分类计算方法更统一且好理解．【题型2：定值问题】【例1】已知，如图1，OB，OC分别为定角（大小不会发生改变）∠AOD内部的两条动射线，∠AOC+∠BOD=180°，∠AOB+∠COD=40°．（1）求∠AOD的度数；（2）如图2，射线OM,ON分别为∠AOB,∠COD的平分线，当∠BOC绕着点O旋转时，∠MON的位置也会变化但大小保持不变，请求出∠MON的度数；（3）如图3，OE,OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB=∠COF=110°，OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF．当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由．【答案】（1）110°；（2）90°；（3）∠POQ的大小不变为130°．【分析】（1）由∠AOC+∠BOD=180°，可得∠AOB+∠COD+2∠BOC=180°，从而可求解∠BOC=70°,从而可得∠AOD的大小；（2）由射线OM，ON分别为∠AOB，∠COD的平分线，求解∠BOM+∠CON=20°，从而可得∠MON的度数为（3）先求解∠COE=∠BOF=40°，再证明∠DOE+∠AOF=40°，结合角平分线的性质求解∠DOP+∠AOQ=12(∠DOE+∠AOF)=20°【详解】解：（1）∵∠AOC+∠BOD=180°，∴∠AOB+∠COD+2∠BOC=180°∵∠AOB+∠COD=40°，∴∠BOC=70°∴∠AOD=∠AOB+∠COD+∠BOC=110°（2）∵射线OM，ON分别为∠AOB，∠COD的平分线，∴∠BOM=12∴∠BOM+∠CON=∴∠MON=∠CON+∠BOM+∠BOC=20°+70°=90°∴∠MON的度数为90°．（3）∠POQ的大小不变为130°．理由如下：∵∠EOB=∠COF=110°，∠BOC=70°，∴∠COE=∠BOF=110°−70°=40°，∴∠COE+∠BOF=∠COD+∠DOE+∠AOB+∠AOF=80°，∵∠AOB+∠COD=40°∴∠DOE+∠AOF=40°∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF∴∠DOP+∠AOQ=∴∠POQ=∠DOP+∠AOQ+∠AOD=20°+110°=130°【点睛】本题考查的是角平分线的性质，角的和差运算，掌握以上知识是解题的关键．【变式1-1】已知将一副三角尺（直角三角尺OAB和OCD）的两个顶点重合于点O，∠AOB=90°，∠COD=30°（1）如图1，将三角尺COD绕点O逆时针方向转动，当OB恰好平分∠COD时，求∠AOC的度数；（2）如图2，当三角尺OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角尺OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．【答案】（1）∠COB=75°；（2）不变．∠MON=60°【分析】（1）根据OB平分∠COD，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可；（2）根据角平分线的性质，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可．【详解】解：（1）∵OB平分∠COD∴∠COB=1∴∠AOC=∠AOB−∠COB=90°−15°=75°；

图1

图2（2）不变．∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD∴∠NOD=12∴∠MON=∠NOD+∠COD+∠COM====【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关键．【变式1-2】如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM，ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）（1）当t=2时，∠MON=，∠AON=；（2）当0<t<12时，若∠AOM=3∠AON−60°．试求出t的值；（3）当0<t<6时，探究∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值，问：t【答案】（1）144°，66°；（2）107秒或10秒；（3）当0＜t＜103时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值是1；当10【分析】（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论；（2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值；（3）分两种情况，分别计算∠BON、∠COM和∠MON的度数，代入可得结论．【详解】解：（1）由题意得：当t=2时，∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°，故答案为：144°，66°；（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s）当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）如图所示，①当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=107②当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，综上，t的值为107（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，∴15t+90+12t=180，解得t=103如图所示，①当0＜t＜103时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，∴∠BON−∠COM+∠AOC∠MON②当103＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，∴∠BON−∠COM+∠AOC∠MON综上所述，当0＜t＜103时，∠BON−∠COM+∠AOC∠MON的值是1；当103【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．【变式1-3】已知将一副三角板（∠AOB=90°,∠COD=30°）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置．（1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，∠BOD=_______度；如图2，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC=_______度；（2）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．（3）当三角板OCD从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线OM平分∠AOC、射线ON平分∠BOD（∠AOC≤180°,∠BOD≤180°），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时∠MON的度数是多少）．【答案】（1）60，75；（2）∠MON=60°，理由见详解；（3）①当0°<α<180°时，∠MON=60°；②当α=180°时，∠MON=60°或120°，③当180°<α<240°时，∠MON=120°；④当α=240°时，∠MON=120°或60°；⑤当240°<α<360°时，∠MON=60°【分析】（1）由题意易得∠COD=30°,∠AOB=90°，然后根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；（2）由题意易得∠MOC=12∠AOC,∠NOD=12（3）设旋转角度为α，根据题意可得：∠COD=30°,∠AOB=90°，①当0°<α<180°时，②当α=180°时，即∠AOC为平角，③当180°<α<240°时，④当α=240°时，则∠BOD=180°，⑤当240°<α<360°时，然后进行分类求解即可．【详解】解：（1）由题意得：∠COD=30°,∠AOB=90°，∴∠BOD=∠AOB−∠COD=60°，∵OB恰好平分∠COD，∴∠BOC=1∴∠AOC=∠AOB−∠BOC=75°；故答案为60，75；（2）∠MON的度数不发生变化，理由如下：∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，∴∠MOC=1∵∠COD=30°,∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°−∠COD=60°，∴∠MOC+∠NOD=30°，∴∠MON=∠MOC+∠NOD+∠COD=60°；（3）设旋转角度为α，根据题意可得：∠COD=30°,∠AOB=90°，∵射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，∴∠MOC=1①当0°<α<180°时，如图所示：∴∠MON=∠MOC+∠NOD−∠BOC=1②当α=180°时，即∠AOC为平角，可分为：当点M在OB上，如图所示：∴∠MOD=∠BOC+∠COD=120°，∴∠MON=1当点M在BO的延长线时，如图所示：∴∠MON=180°−∠BON=120°；③当180°<α<240°时，如图所示：∴∠AOC+∠CON+∠BON+∠AOB=360°，∴2∠MOD+30°解得：∠MOD+∠CON=90°，∴∠MON=∠MOD+∠CON+∠DOC=90°+30°=120°；④当α=240°时，则∠BOD=180°，如图所示：∴当ON平分在∠BOD的左边时，则∠MON=60°，当ON平分在∠BOD的右边时，则∠MON=120°；⑤当240°<α<360°时，如图所示：∴∠MOD=∠COM−30°,∠AON=∠BON−90°，∴∠MON=∠AOD−∠AON+∠MOD【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平角的意义，熟练掌握角平分线的定义及平角的意义是解题的关键．【题型3：角度之间数量关系问题】【例1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．（1）若∠DCE=35°，∠ACB=°；（2）猜想：①∠ACE与∠BCD的大小有何关系？②∠ACB与∠DCE的大小有何关系？并分别说明理由；（3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD=α（0°＜α＜90°），①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出α的值；若不能说明理由，②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE=21°时，转动了多少秒？【答案】（1）145；（2）①∠ACE=∠BCD，见解析，②∠ACB+∠DCE=180°，见解析；（3）①能，54°，②23秒【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比∠ACD+∠ECB减少的部分，所以若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为180°-35°=145°；（2）①利用同角的余角相等，即可求解；②由于∠ACD=∠ECB=90°，重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE=180°；（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB=4x，∠DCE=x，利用∠ACB与∠DCE互补得出即可；②设当∠DCE=21°时，转动了t秒，根据∠BCD+∠DCE=90°，列方程可得结论．【详解】（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE=35°，∴∠ACB=180°-35°=145°，故答案为：145；（2）①∠ACE=∠BCD，∵∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BCD；②∠ACB+∠DCE=180°，理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180°．∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB，∴∠ACB+∠DCE=180°，即∠ACB与∠DCE互补；（3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，∴设∠ACB=4x，∠DCE=x，∵∠ACB+∠DCE=180°，∴4x+x=180°，解得：x=36°，∴α=90°-36°=54°；②设当∠DCE=21°时，转动了t秒，∵∠BCD+∠DCE=90°，∴3t+21=90°，t=23°，答：当∠DCE=21°时，转动了23秒．【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，一元一次方程的应用等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．【变式1-1】已知O是直线AB上的一点，∠COD=90°,OE平分∠BOC．(1)如图1，射线OC,OD在直线AB的同侧．①若∠AOC=28°,∠DOE=______；若∠AOC=32°,∠DOE=______度；②猜想∠AOC与∠DOE之间的数量关系；③若∠AOC=30°,∠BOC的内部有一射线OG，射线OG将∠BOC分为1∶4两部分，求∠DOG的度数；(2)如图2，射线OC,OD在直线AB的异侧，判断∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由．【答案】(1)①14°；16°；②∠AOC=2∠DOE；③60°或30°(2)相同，理由见解析【分析】（1）①先求出∠BOC=152°，根据OE平分∠BOC得到∠COE=76°，即可得到∠DOE=∠COD−∠COE=14°，同理可得当∠AOC=32°时，∠DOE=16°；②猜想∠AOC=2∠DOE，根据∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC即可得到∠COE=∠BOE=90°−12∠AOC，由∠COD=90°③分OG在OD左侧和OG在OD右侧两种情况，分别进行求解即可；（2）根据∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC即可得到∠COE=∠BOE=90°−12∠AOC，由∠COD=90°本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角．【详解】（1）解：①∵∠AOC=28°,∴∠BOC=180°−∠AOC=152°，∵OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−76°=14°，∵∠AOC=32°,∴∠BOC=180°−∠AOC=148°，∵OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−74°=16°，故答案为：14°；16°．②猜想∠AOC=2∠DOE，证明：∵∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−90°−即∠AOC=2∠DOE．③如图，当OG在OD左侧时，∠COG=1∵∠AOC=30°,∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，∴∠COG=1∵∠COD=90°，∴∠DOG=∠COD−∠COG=90°−30°=60°，如图，当OG在OD右侧时，∠BOG=1∵∠AOC=30°,∴∠BOC=180°−∠AOC=150°，∴∠COG=4∵∠COD=90°，∴∠DOG=∠COG−∠COD=120°−90°=30°，综上可知，∠DOG的度数为60°或30°；（2）∠AOC与∠DOE之间的数量关系与②中的相同，即∠AOC=2∠DOE，理由如下：∵∠BOC=180°−∠AOC，OE平分∠BOC．∴∠COE=∠BOE=1∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−90°−即∠AOC=2∠DOE．【变式1-2】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC．(1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案）(2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由；(3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面）【答案】(1)60°(2)∠DOE=(3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°【分析】（1）先求出∠BOC的度数，即可利用角平分线的定义求出∠COE的度数，由此即可得到答案；（2）同（1）求解即可；（3）分当OD在∠AOB内部和当OD在∠AOB外部两种情况画出图形求解即可．【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=30°，∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°，故答案为：60°（2）解：∠DOE=∵∠AOB=90°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC∵OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=1∵∠COD=90°，∴∠DOE=∠COD−∠COE=90°−45°+（3）解：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时，∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE，∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE，∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°；如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时，同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE，∴2∠DOE-∠AOC=180°+2∠COE-90°-2∠COE=90°；如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时，同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE，∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°；如图3-4所示，当OD在△AOB外部时，同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE，∴∠AOC-2∠DOE=90°；综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°．【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键．【变式1-3】如图，已知∠AOB=150∘，将一个直角三角形纸片(∠D=90∘)的一个顶点放在点O处，现将三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，（1）将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部)，若∠COD=30∘，则（2）将三角形纸片绕点O转动(三角形纸片始终保持在∠AOB的内部)，若射线OD恰好平分∠MON，若∠MON=8∠COD，求∠COD的度数;（3）将三角形纸片绕点O从OC与OA重合位置逆时针转到OD与OA重合的位置，猜想在转动过程中∠COD和∠MON的数量关系？并说明理由.【答案】（1）90°；（2）∠COD=10°；（3）【分析】（1）利用角平分线定义得出∠AOM=∠MOC=12∠AOC=x（2）利用∠MON=8∠COD，表达出∠AOC、∠BOD，利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解；（3）画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可．【详解】解：（1）∵OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD．∴OM平分∠AOC,ON平分∠BOD∴设∠AOM=∠MOC=1∴∠AOC=2x,∠BOD=2y，∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=x+30°+y∵∠AOB=∠AOC+∠BOD+∠COD=2x+30°+2y=150°∴x+y=60°∴∠MON=x+30°+y=90°故答案为:90°（2）∵∠MON=8∠COD∴设∠COD∵射线OD恰好平方∠MON∴∠DOM=∠DON=∴∠COM=∠DOM−∠COD=4a−a=3a,∵OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD．∴OM平分∠AOC,ON平分∠BOD∴∠AOM=∠MOC=1∴∠AOC=6a,∠BOD=8a∵∠AOB=∠AOC+∠BOD+∠COD=6a+a+8a=150°∴a∴∠(3)∠MON=1当OC与OA重合时，设∠COD=x,则∠BOD=∠AOB−∠COD=150°−∠COD=150°−x∵ON平分∠BOD∴∠DON=1∴∠MON=∠COD+∠DON=x+75°−1=75°+1∴∠MON=75°+1当OC在OA的左侧时设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b∵ON平分∠BOD∴∠DON=1∵OM平分∠AOC∴∠AOM=∠COM=1∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON=1=1=1当OD与OA重合时∵ON平分∠AOB∴∠AON=1∵OM平分∠AOC∴∠MON=1∴∠MON=∠MOD+∠AON=1综上所述∠MON=【点睛】本题考查了角平分线的动态问题，掌握角平分线的性质是解题的关键．【题型4：存在性问题】【例1】已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤（1）用含t的代数式表示下列各角的度数：∠MOA=______，∠NOB=______．（2）在运动过程中，当0秒≤t≤30秒时，∠AOB达到45°，求t（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM．射线OA、射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出【答案】（1）3t，6t或360-6t；（2）t为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）存在，t的值分别为12、15、24、45秒．【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，当旋转度数小于180°时，∠NOB的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间，当旋转度数大于180°时，∠NOB的度数等于360°-OB旋转速度乘以旋转时间；（2）分OA，OB相遇前和相遇后两种情况讨论，列方程求解即可；（3）分OB平分∠AOM时，OB平分∠MON时，OB平分∠AON时三种情况讨论即可．【详解】解：（1）∠MOA=3t，∠NOB=6t或360-6t，故答案为：3t，6t或360-6t；（2）若OA，OB相遇前，∠AOB=45°，∴3t+6t+45°=180°，∴t=15s若OA，OB相遇后，∠AOB=45°，∴3t+6t-45°=180°，∴t=25s∴t为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：①OB平分∠AOM时，∵12∴32解得：t=24；②OB平分∠MON时，∵∠BOM∴6t=90，或6t-180=90，解得：t=15，或t=45；③OB平分∠AON时，∵∠BON=1∴6t=1解得：t=12；综上，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，一元一次方程的应用．OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点．【变式1-1】如图：已知∠MON=90°，射线OA绕点O从射线OM位置开始按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤30）．（1）用含t的代数式表示∠MOA的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；（3）射线OA，OB在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM，射线OA，射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）∠MOA=4tt；（2）t=15秒时，∠AOB第二次达到60°；（3）存在，t的值分别为454、152、【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间；（2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得；（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：①OB两次平分∠AOM时，根据12∠AOM=∠BOM，列方程求解，②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM=12∠MON，列方程求解，③OB平分∠AON时，根据∠BON=【详解】（1）如图1，∠MOA=4t，∠NOB=6t或180°-6t；（2）如图，根据题意知：∠AOM=4t，∠BON=6t，当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON-∠MON=60°，即4t+6t-90°=60°，解得：t=15，故t=15秒时，∠AOB第二次达到60°；（3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况：①OB平分∠AOM时，∵12∴12解得：t=454②OB平分∠MON时，∵∠BOM=12∴6t=45，解得：t=152③OB平分∠AON时，∵∠BON=12∴6t=12解得：t=458综上，当t的值分别为454、152、【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点．【变式1-2】如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒5°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）．(1)当t=12时，∠AOB=°．(2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．(3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．【答案】(1)60°(2)27或45(3)12或24或48【分析】（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°．（2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。（3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t．【详解】（1）解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°，∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°，故答案为：60°．（2）存在满足条件的t值。①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)，此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置，若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1，∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°，∴15t−360=180−5t，解得：t=27，②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2，∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°，∴720-15t=5t-180，解得：t=45，（3）(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得：15t−5t=180°−60°，解得：t=12，②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得：15t−5t=180°+60°，解得：t=24，③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°，得：15t−5t=180°+360°−60°，解得：t=48，符合题意，综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48．【点睛】本题考查一元一次方程在角度计算中的应用，解题的关键是根据射线的旋转，分情况进行讨论．【变式1-3】如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2∘的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4∘的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（t的值在0到(1)当t=5时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB首次达到120∘时，求t(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB垂直射线OA？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)150∘(2)10；(3)存在，t的值为15秒或45秒．【分析】（1）利用旋转角等于速度乘以时间得出时间与角度关系，再进行共顶点角度计算即可；（2）用时间结合速度求出时间与角度的关系，再利用120∘列方程求出t（3）根据时间范围，大致推算∠AOB=90【详解】（1）解：∠MOA=2t=10∘，∠NOB=4t=20∴∠AOB=180（2）解：首次到达故得∠AOB=180t=10（秒）；（3）解：∠AOB首次到达90∘时，∠AOB=t=15（秒）；第二次到达90∘∠AOB=∠NOB−∠NOA=4t−(180t=45（秒）；∵0≤t≤45秒，故不再有其他垂直的情况，综上所述t的值为15秒或45秒．【点睛】本题考查共顶点角度的计算，结合旋转速度，明确位置关系和用时间表示角度是解题的关键．【变式1-4】如图，∠AOB是平角，射线OM从OA开始，先顺时针绕点O向射线OB旋转，到达OB后再绕点O逆时针向射线OA旋转，速度为6度/秒．射线ON从OB开始，以3度/秒的速度绕点O向OA旋转，到当ON到达OA时，射线OM与ON都停止运动．设旋转时间为t秒．(1)当t=12秒时，判断射线OM是否是∠AON的角平分线，并请说明理由．(2)若射线OM与射线ON垂直，求∠BON的度数．(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得∠BON是∠MON的2倍？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)OM是∠AON的角平分线，理由见解析(2)30°或90°(3)1207【分析】（1）证明∠AOM=∠MON，即可证明OM是∠AON的角平分线；（2）分两种情况讨论，从而求出∠BON的度数；（3）分三种情况讨论使得∠BON是∠MON的2倍时，t的值．【详解】（1）解：OM是∠AON的角平分线，理由如下：∵当t=12秒时∴∠BON=3°×12=36°，∠AOM=6×12=72°，∴∠MON=180°−72°−36°=72°∴∠AOM=∠MON，∴射线OM是∠AON的角平分线；（2）解：∵射线OM与射线ON垂直，∴∠MON=90°，∴∠AOM+∠BON=90°，设旋转时间为t秒时，∠AOM=6t度，∠BON=3t度，第一种情况：如图，则6t+3t=90，解得：t=10；∴∠BON=3°×10=30°，第二种情况：如图，则6t−180−3t解得：t=30，∴∠BON=3°×30=90°，综上所述∠BON的度数为30°或90°；（3）解：第一种情况：当OM在ON左边时，如图，设旋转时间为t秒时，∠BON是∠MON的2倍，则∠BON=3t度，∠MON=180−6t−3t∴3t=2180−6t−3t解得：t=120第二种情况：当OM在ON右边时，如图，设旋转时间为t秒时，∠BON是∠MON的2倍，则∠BON=3t度，∠MON=3t−∴3t=23t−解得：t=24；第三种情况：当OM运动到OB，又返回时，如图，设旋转时间为t秒时，∠BON是∠MON的2倍，则∠BON=3t度，∠MON=3t−∴3t=23t−解得：t=40，综上所述：t=120【点睛】本题考查动点问题、一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论．能力提升能力提升一、解答题1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）．(1)如图2，当OE、OF重合时，∠COD=°(2)当t=10时，∠EOF=°，当t=12时，(3)如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP=70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值．【答案】(1)90(2)20，12(3)t的值为10或14513或125【分析】（1）利用折叠性质得∠AOC=∠EOC，∠BOD=∠FOD，再利用邻补角即可求解；（2）利用折叠性质得求出∠AOC、∠EOC、BOD、∠FOD的度数，即可得解；（3）根据角平分线的不同，分OP是∠EOF的角平分线、OF是∠POE的角平分线、OE是∠POF的角平分线三种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，∴∠AOC=∠EOC，∠BOD=∠FOD，∵∠AOC+∠EOC+∠BOD+∠FOD=180°，∴∠COD=∠COE+∠FOD=90°，故答案为：90；（2）解：当t=10时，∠AOC=∠COE=10×3°=30°，∠BOD=∠DOF=10×5°=50°，∴∠EOF=180°−∠AOC−∠COE−∠BOD−∠DOF=20°，当t=12时，如下图，∠AOC=∠COE=12×3°=36°，∠BOD=∠DOF=12×5°=60°，∴∠EOF=∠AOC+∠COE+∠BOD+∠DOF−180°=12°，故答案为：20，12；（3）解：①当OP是∠EOF的角平分线时，则∠EOP=∠FOP，如图3，由折叠可知∠AOC=∠COE=3t°，∠BOD=∠DOF=5t°，∵∠AOP+∠BOP=180°，∠AOP=70°，∴∠BOP=110°，∴∠EOP=∠AOP−∠AOC−∠COE=70°−6t°，∠FOP=∠BOP−∠BOD−∠DOF=110°−10t°，∴70°−6t°=110°−10t°，解得t=10；②当OF是∠POE的角平分线时，则∠POF=∠FOE，如下图，由折叠可知∠AOC=∠COE=3t°，∠BOD=∠DOF=5t°，∵∠AOP+∠BOP=180°，∠AOP=70°，∴∠BOP=110°，∴∠EOF=∠AOC+∠COE−∠AOP2=∴6t°−70°2解得t=145③当OE是∠POF的角平分线时，则∠POF=∠FOE，如下图，由折叠可知∠AOC=∠COE=3t°，∠BOD=∠DOF=5t°，∵∠AOP+∠BOP=180°，∠AOP=70°，∴∠BOP=110°，∴∠EOP=∠AOC+∠COE−∠AOP=6t°−70°，∠EOF=∠BOP−∠BOD−∠DOF∴6t°−70°=110°−10t°解得t=125综上，t的值为10或14513或125【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键．2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知∠AOB=60°，射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=2∠BOC．(1)∠BOC的度数为______；(2)射线OD是平面上绕点O旋转的一条动射线，OE平分∠COD．①若射线OD在∠AOC的内部，且∠EOC+∠BOD=65°，求∠COE的度数；②若∠AOD=α°0<α<40，直接写出∠BOE的度数（用含α【答案】(1)20°(2)①∠COE=15°；②∠BOE的度数为40°−12【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的和差关系．（1）根据题意，结合∠AOB=∠AOC+∠BOC，即可求解；（2）①根据角平分线的定义可得：∠COD=2∠COE，由∠EOC+∠BOD=∠COE+∠COD+∠BOC=65°，即可求解；②由∠BOC=20°，可得∠AOC=2∠BOC=40°，分两种情况讨论：当射线OD在∠AOC的内部时，当射线OD在∠AOC的外部时，根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可．【详解】（1）解：∵∠AOB=60°，∠AOC=2∠BOC，∠AOB=∠AOC+∠BOC∴2∠BOC+∠BOC=60°，∴∠BOC=20°，故答案为：20°；（2）①∵OE平分∠COD，∴∠COD=2∠COE，∵∠BOC=20°，∴∠EOC+∠BOD=65°∠COE+∠COD+∠BOC=65°∠COE+2∠COE+20°=65°3∠COE=45°∠COE=15°；②∵∠BOC=20°，∴∠AOC=2∠BOC=40°，当射线OD在∠AOC的内部时，∵∠AOD=α°0<α<40∴∠COD=∠AOC−∠AOD=40°−α°，∵OE平分∠COD，∴∠COE=1∴∠BOE=∠COE+∠BOC=20°−1当射线OD在∠AOC的外部时，∵∠AOD=α°0<α<40∴∠COD=∠AOC+∠AOD=40°+α°，∵OE平分∠COD，∴∠COE=1∴∠BOE=∠COE+∠BOC=20°+1综上所述，∠BOE的度数为40°−12α°3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直角△DOE边OD放置在直线AB上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转5°，运动时间为t0≤t≤72(1)当运动时间t为5秒时，∠AOE=；(2)当∠AOD=150°时，求t的值；(3)在运动过程中若射线OM平分∠BOD，射线ON平分∠AOE，当△DOE在直线AB上面时∠MON=，当△DOE在直线AB下面时∠MON=．【答案】(1)65°(2)6s或(3)135°【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算，正确进行分类讨论是解答本题的关键．（1）先求出转动的角度，再用90°减去转动的角度即可得出答案；（2）分两种情况：当△DOE在AB的上方和△DOE在AB的下方分别求出∠BOD的度数再除以5°即可得出t的值；（3）分两种情况：当△DOE在AB的上方和△DOE在AB的下方，运用角平分线定义可以得解．【详解】（1）解：转动5s后∠AOE的度数为：90°−5°×5=90°−25°=65°故答案为：65°；（2）解：当DO在AB的上方时，如图，∵∠AOD=150°，∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−150°=30°,∴t=30°÷5°=6s当DO在AB的下方时，如图，则△BOD转动的角度为：180°+150°=330°∴t=330°÷5°=66s综上，t的值为6s或66（3）解：当△DOE在AB的上方时，∵ON平分∠AOE，OM平分∠BOD，∴∠NOE=∴∠NOE+∠MOD=1又∠AOE+∠BOD=180°−∠DOE=180°−90°=90°,∴∠NOE+∠MOD=1∴∠MON=∠NOE+∠MOD+∠DOE=45°+90°=135°；当△DOE在AB的下方时，∵∠BOD+∠AOE=∠AOD+∠DOE+∠DOE+∠BOE=180°+∠DOE=180°+90°=270°，∴∠MON=180°−=180°−=180°−135°=45°，故答案为：135°，45°4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t(t的值在0到30之间，单位：秒)．(1)当t=3时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)∠AOB的度数是150°(2)t的值是24秒(3)存在，t的值是9秒或27秒【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．（1）当t=3时，∠AOM=3×4=12°，∠BON=3×6=18°，即得∠AOB=150°；（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，可得4t+6t=180+60，即可解得答案；（3）分两种情况：当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，可得4t+6t=90，当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，可得4t+6t=270，即可解得答案．【详解】（1）解：当t=3时，∠AOM=3×4=12°，∠BON=3×6=18°，∴∠AOB=180°−12°−18°=150°，答：∠AOB的度数是150°；（2）根据题意，当∠AOB第二次达到60°时，4t+6t=180+60，解得t=24，答：当∠AOB第二次达到60°时，t的值是24秒；（3）存在这样的t，使得射线OB与射线OA的夹角为90°，理由如下：当射线OB与射线OA第一次夹角为90°时，两条射线共旋转180°−90°=90°，∴4t+6t=90，解得t=9；当射线OB与射线OA第二次夹角为90°时，两条射线共旋转180°+90°=270°，∴4t+6t=270，解得t=27，综上所述，t的值是9秒或27秒．5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，OB,OC分别为锐角∠AOD内部的两条动射线，当OB、OC运动到如图1的位置时，∠AOC+∠BOD=110°,∠AOB+∠COD=50°．(1)求∠BOC的度数；(2)如图2，射线OM、ON分别为∠AOB、∠COD的平分线，求∠MON的度数．(3)如图3，若OE、OF是∠AOD外部的两条射线，且∠EOB=∠COF=90°,OP平分∠EOD,OQ平分∠AOF，当∠BOC绕着点O旋转时，∠POQ的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由．【答案】(1)30°(2)55°(3)不会发生变化，∠POQ【分析】本题考查角平分线的定义、余角和补角的意义．（1）根据角的和差关系，由∠AOC+∠BOD=110°,∠AOB+∠COD=50°，可得出答案；（2）由角平分线的定义可得∠DON+∠BOM=12∠COD+∠AOB（3）由∠EOB=∠COF=90°，∠BOC=30°，可以得出∠EOF=150°，再根据OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，进而求出答案．【详解】（1）解：∵∠AOC+∠BOD=110°，∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD=110°，又∵∠AOB+∠COD=50°，∴2∠BOC=110°−50°=60°，∴∠BOC=30°，答：∠BOC的度数为30°；（2）解：∵OM是∠AOB的平分线，∴∠AOM=∠BOM=1又∵ON是∠COD的平分线，∴∠CON=∠DON=1∴∠DON+∠BOM=1∴∠MON=∠BOM+∠BOC+∠DON=25°+30°=55°，答：∠MON的度数为55°；（3）解：∠POQ的大小不会发生变化．∵∠EOB=∠COF=90°，∠BOC=30°，∴∠EOF=90°+90°−30°=150°，∵∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=50°+30°=80°，∴∠AOF+∠DOE=∠EOF−∠AOD=150°−80°=70°，又∵OP平分∠EOD，OQ平分∠AOF，∴∠AOQ=∠FOQ=1∴∠AOQ+∠DOP=1∴∠POQ=∠AOQ+∠DOP+∠AOD=35°+80°=115°．6．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图1，点O是直线MN上一点，三角板（其中∠AOB=30°）的边AO与射线OM重合，将它绕O点以每秒m°顺时针方向旋转到边OB与ON重合；同时射线OC与ON重合的位置开始绕O点以每秒n°逆时针方向旋转至OM，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为t秒．(1)若m=5，n=4，t=10秒时，∠BOC=________°；(2)若m=3，n=2，当射线OC与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？(3)如图2，在运动过程中，射线OP始终平分∠AOC．若m=3，n=2，当射线OA，OB，【答案】(1)60(2)6秒(3)12或30或48【分析】（1）根据题意，当m=5，n=4，t=10秒时，由∠MOB+∠BOC+∠NOC=180°代值求解即可得到答案；（2）根据题意，当m=3，n=2时，分两种情况：当OC与OB边重合时为t1秒；当OC与OA边重合时为t2秒；分别由平角定义列方程求解即可得到重合时间，从而得到当射线（3）根据题意，分三种情况：当OB是∠AOP的角平分线时；当OP是∠AOB的角平分线时；当OA是∠BOP的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：当m=5，n=4，t=10秒时，∴∠MOB=m×t+∠AOB=5×10+30=80°，∠NOC=nt=4×10=40°∵∠MOB+∠BOC+∠NOC=180°，∴∠BOC=180°−∠MOB−∠NOC=180°−80°−40°=60°；故答案为：60；（2）解：当m=3，n=2时，射线OC与三角板重合分两种情况：当OC与OB边重合时为t1∵∠MOA+∠AOB+∠NOB=180°，∴3t∴t当OC与OA边重合时为t2∵∠MOA+∠AON=180°∴3t∴t∴t∴当射线OC与三角板重合时经历6秒；（3）解：根据题意，分三种情况：当OB是∠AOP的角平分线时，如图所示：∴∠BOP=∠AOB=30°，∴∠AOP=2×30°=60°，又∵OP始终平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOP=120°，∵∠MOA+∠AOC+∠NOC=180°，∴3t+120°+2t=180°，解得t=12；当OP是∠AOB的角平分线时，如图所示：∴∠AOP=30°÷2=15°，又∵OP始终平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOP=30°，此时射线OC与OB重合，∵∠MOA+∠AOC+∠NOC=180°，∴3t+30°+2t=180°，解得t=30；当OA是∠BOP的角平分线时，如图所示：∴∠AOP=∠AOB=30°，又∵OP始终平分∠AOC，∴∠AOC=2∠AOP=60°，∵∠MOC=∠MOA−∠AOC=3t−60°，又∵∠MOC+∠NOC=180°，∴3t−60°+2t=180°，解得t=48；故答案为：12或30或48．【点睛】本题考查旋转性质、角平分线定义、平角定义、角的和差倍分关系及一元一次方程的应用等知识，根据题意，由旋转性质及角平分线、平角定义列出方程求解是解决问题的关键．7．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点(1)如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、O(2)如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求∠BOC∠AOB(3)知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动，点M、N的速度比是2:1，在运动过程中始终有CM=2BN，求BCAC【答案】(1)∠BO(2)∠BOC(3)1【分析】本题主要考查了角的计算，两点间的距离，解方程等知识点，（1）先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON（2）设旋转时间为t，表示出∠AOC−30t°=3∠BOC−10t°，然后列方程求解得到∠AOC=3∠BOC（3）设运动时间为t，表示出CM=2BN，再列出方程求解得AC=2BC，进而即可得解；熟练掌握其性质并能正确读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度与线段的长度，然后列出方程是解决此题的关键．【详解】（1）解：∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转∴∠AOM′=2×30°=60°∴∠BON′=∠BOC−20°∴∠BON∵∠AOB=140°，∴∠BON（2）解：设旋转时间为t，则∠BON=∠BOC−10t°，∠COM=∠AOC−30t°，∵∠COM=3∠BON，∴∠AOC−30t°=3∠BOC−10t°∴∠AOC=3∠BOC，∴∠BOC∠AOB（3）解：设运动时间为t，点M、N速度分别为2v、v，则CM=AC−2vt，BN=BC−vt，∵CM=2BN，∴AC−2vt=2BC−vt∴AC=2BC，∴BCAC故答案为：128．（23-24七年级上·江西宜春·期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒8°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤30，单位：秒）(1)当t=2时，求∠AOB的度数；(2)在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值；(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA围成的角是90°（指大于0°而小于等于180°的角）？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)160°(2)t=24秒时，∠AOB第二次达到60°(3)当t=9或27秒时，OA⊥OB【分析】本题考查几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，读懂题意，利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．（1）求出t=2时，∠AOM,∠BON的度数，再根据平角的定义，求解即可；（2）根据第二次达到60度时，OB在OA的左侧，画出图形，根据∠AOM+∠BON−∠MON=60°，列出方程进行求解即可；（3）分0≤t≤18和18≤t≤30，两种情况进行讨论，列出方程求解即可．【详解】（1）解：由题意，得：当t=2时，∠AOM=2°×2=4°，∠BON=8°×2=16°，所以∠AOB=180°−∠AOM−∠BON=160°；（2）如图，根据题意知：∠AOM=2t，∠BON=8t，当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON−∠MON=60°，即2t+8t−180=60，解得：t=24．故t=24秒时，∠AOB第二次达到60°．（3）分两种情况讨论：当0≤t≤18时，由∠AOB=90°∴180−2t−8t=90，∴t=9．当18≤t≤30时，由∠AOB=90°

∴2t+8t=90+180，∴t=27综上所述，当t=9或27秒时，OA⊥OB．9．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转．(1)如图2，A、O、B三点在同一条直线上，点C、D重合，∠AOC=∠BOC，则∠AOC=°．(2)如图3，A、O、B三点在同一条直线上，且∠AOC=108°，∠BOC=72°，DO平分∠BOC，求∠AOD的大小．(3)第四节体侧运动中，如图4，美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线OE平分∠COD，且∠COD=30°，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，OA、OB绕点O顺时针旋转，OA旋转速度为每秒50°，OB旋转速度为每秒25°，当OB旋转到与OD重合时运动停止（OE是竖直方向的一条射线）①运动停止时，∠AOD=；②请帮助美美写出在0∼2s运动过程中∠AOC与∠BOE的数量关系为【答案】(1)90(2)∠AOD=144°(3)①105°；②∠AOC+2∠BOE=255°，理由见解析【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）由A、O、B三点在同一条直线上，得出∠AOC+∠BOC=180°，再根据∠AOC=∠BOC，即可求解；（2）由角平分线的性质得到∠COD=36°，再根据角的和差即可求解；（3）①算出运动停止时间，求出OA运动的角度，即可求出∠AOD的度数；②由OA的运动过程可知，当0≤t≤2时，∠AOC=75°+50°t，∠BOE=90°−25°t，即可得出∠AOC与∠BOE的数量关系．【详解】（1）解：∵A、O、B三点在同一条直线上，∴∠AOC+∠BOC=180°，∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=1故答案为：90；（2）解：∵∠BOC=72°，DO平分∠BOC，∴∠COD=1∵∠AOC=108°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=108°+36°=144°；（3）解：∵∠COD=30°，OE平分∠COD，∴∠COE=∠DOE=1∴∠AOC=∠BOD=90°−15°=75°，设运动时间为ts，当OB旋转到与OD∴t=75°÷25°=3s∴0≤t≤3，①运动停止时，即t=3时，OA旋转的角度为50°×3=150°，∴∠AOD=180°−150°+75°=105°；②当C、O、A三点共线时，t=180°−75°∴当0≤t≤2时，∠AOC=75°+50°t，∠BOE=90°−25°t，∴∠AOC+2∠BOE=255°，故答案为：∠AOC+2∠BOE=255°．10．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，如图2，设旋转时间为t秒(0≤t≤90)．(1)用含t的代数式表示∠MOA，其结果是：∠MOA=______(度)．(2)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值．(3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM、射线OA所组成的角(指大于0°而不超过180°的角)的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)2t(2)20或40或80(3)存在，t的值为36或60【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键．（1）∠MOA的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间；（2）当∠AOB=60°时，分三种情况：射线OA在OB左侧；射线OA在OB右侧；射线OB在MN下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解；（3）分两种情况：射线OB在MN上方，射线OB在MN下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得：∠MOA=2t度，故答案为：2t；（2）解：当∠A