青海省果洛市2026届高二上数学期末调研试题含解析

青海省果洛市2026届高二上数学期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阿基米德（Archimedes，公元前287年-公元前212年），出生于古希腊西西里岛叙拉古（今意大利西西里岛上），伟大的古希腊数学家、物理学家，与高斯、牛顿并称为世界三大数学家．有一类三角形叫做阿基米德三角形（过抛物线的弦与过弦端点的两切线所围成的三角形），他利用“通近法”得到抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的（即右图中阴影部分面积等于面积的）．若抛物线方程为，且直线与抛物线围成封闭图形的面积为6，则（）A.1 B.2C. D.32．已知命题：抛物线的焦点坐标为；命题：等轴双曲线的离心率为，则下列命题是真命题的是（）A. B.C. D.3．若离散型随机变量的所有可能取值为1，2，3，…，n，且取每一个值的概率相同，若，则n的值为（）A.4 B.6C.9 D.104．设双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（）A.4 B.2C. D.5．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD，则该双曲线的离心率为（）A. B.C. D.6．直线的倾斜角为A. B.C. D.7．已知函数的定义域为，若，则（）A. B.C. D.8．是双曲线：上一点，已知，则的值（）A. B.C.或 D.9．设等比数列的前项和为，若，则（）A. B.C. D.10．我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆，，，，分别为左、右、上、下顶点，，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是（）A. B.C.轴，且 D.四边形的一个内角为11．设直线，．若，则的值为（）A.或 B.或C. D.12．正方体中，E、F分别是与的中点，则直线ED与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．与双曲线有共同渐近线，并且经过点的双曲线方程是______14．若两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为_________15．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.16．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，，点为线段上的点.（1）若平面，试确定点的位置，并说明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.18．（12分）已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.①证明：动直线恒过轴上一定点；②设线段中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.19．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角正弦值.20．（12分）已知函数，.（1）当时，求函数的极值；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．设过点的动直线与相交于，两点（1）求椭圆的方程（2）是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由22．（10分）设数列满足（1）求的通项公式；（2）记数列的前项和为，是否存在实数，使得对任意恒成立.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题目所给条件可得阿基米德三角形的面积，再利用三角形面积公式即可求解.【详解】由题意可知，当过焦点的弦垂直于x轴时，即时，，即，故选：D2、D【解析】求出的焦点坐标，及等轴双曲线的离心率，判断出为假命题，q为真命题，进而判断出答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故命题为假命题；命题：等轴双曲线中，，所以离心率为，故命题q为真命题，所以为真命题，其他选项均为假命题.故选：D3、D【解析】根据分布列即可求出【详解】因为，所以故选：D4、B【解析】根据双曲线的定义及，求出，，，，再利用余弦定理计算可得；【详解】解：依题意可知、，又且，所以，，，，则，且，即，即，所以离心率.故选：B5、D【解析】设出双曲线方程，通过做标准品和双曲线与圆O的交点将圆的周长八等分，且AB＝BC＝CD，推出点在双曲线上，然后求出离心率即可.【详解】设双曲线的方程为，则，因为AB＝BC＝CD，所以，所以，因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，所以在双曲线上，代入可得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：D6、B【解析】分析出直线与轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线与轴垂直，该直线的倾斜角为.故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题7、D【解析】利用导数的定义可求得的值.【详解】由导数的定义可得.故选：D.8、B【解析】根据双曲线定义，结合双曲线上的点到焦点的距离的取值范围，即可求解.【详解】双曲线方程为：，是双曲线：上一点，，，或，又，.故选：B9、C【解析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，设，则，则，故，所以，得到，所以.故选：C.10、B【解析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A；对于B，根据勾股定理以及离心率公式判断B；根据结合斜率公式以及离心率公式判断C；由四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断D.【详解】∵椭圆∴对于A，若，则，∴，∴，不满足条件，故A不符合条件；对于B，，∴∴，∴∴，解得或（舍去），故B符合条件；对于C，轴，且，∴∵∴，解得∵，∴∴，不满足题意，故C不符合条件；对于D，四边形的一个内角为,即即三角形是等边三角形，∴∴，解得∴，故D不符合条件故选：B【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率，涉及了勾股定理，斜率公式等的应用，充分利用建立的等式是解题关键.11、A【解析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.【详解】因为，则，解得或.故选：A.12、A【解析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,D,D1点的坐标，利用向量求法求解【详解】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，,，,,直线与所成角的余弦值为：.故选:A【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设双曲线的方程为，将点代入方程可求的值，从而可得结果【详解】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线的方程为，该双曲线经过点，所求的双曲线方程为：，整理得故答案为【点睛】本题考查双曲线的方程与简单性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题．与共渐近线的双曲线方程可设为，只需根据已知条件求出即可.14、【解析】建立如图直角坐标系，设点，根据题意和两点坐标求距离公式可得，结合圆的面积公式计算即可.【详解】以点A为坐标原点，射线AB为x轴的非负半轴建立直角坐标系，如图，设点，则，由，化简并整理得：，于是得点M轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其面积为，所以M点的轨迹围成区域的面积为.故答案为：15、【解析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解【详解】定义在R上的函数的导函数，在R上单调递增，由，得，即实数的取值范围为故答案为：16、【解析】根据题意可知，，再结合，即可求出各边，从而求出的面积【详解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）点为MC的中点，理由见解析；（2）【解析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而由三线合一得到点为MC的中点；（2）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各边长，用余弦定理求出答案.【小问1详解】点为MC的中点，理由如下：因为平面，平面，所以，，又，由三线合一得：点为MC的中点【小问2详解】取AB的中点H，连接PH，CH，则由（1）知：，结合点为MC的中点，所以PA=PB，故由三线合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即为二面角的平面角，因为，，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中，由余弦定理得：，故二面角的余弦值为18、（1）（2）①证明见解析；②【解析】（1）根据题意得，，解方程即可；（2）①设直线：，直线：，联立曲线分别求出点和的坐标，求直线方程判断定点即可；②根据题意得，代入求最值即可.【小问1详解】根据题意得，，，又，三个式子联立解得，，，所以椭圆的方程为：【小问2详解】①证明：设两条直线分别为和，根据题意和得斜率存在且不等于；因为，所以设直线：，直线：；由，解得，所以，同理，.当时，，所以直线的方程为：，整理得，此时直线过定点；当时，直线的方程为：，此时直线过定点，故直线恒过定点.②根据题意得，，，，所以，当且仅当，即时等号成立，故的面积的最大值为：.【点睛】解决直线与椭圆综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系由已知得取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得，可取所以．由已知得所以．解得(舍去)，所以又，所以所以与平面所成角的正弦值为【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”20、（1）函数在上递增，在上递减，极大值为，无极小值（2）【解析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的符号求得单调区间，再根据极值的定义即可得解；（2）若存在，使不等式成立，问题转化为，令，，利用导数求出函数的最大值即可得出答案.【小问1详解】解：当时，，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以函数的极大值为，无极小值；【小问2详解】解：若存在，使不等式成立，则，即，则问题转化为，令，，，当时，，当时，，所以函数在递增，在上递减，所以，所以.21、（1）；（2）存在；或.【解析】（1）设，由，，，求得的值即可得椭圆的方程；（2）设，，直线的方程为与椭圆方程联立可得，，进而可得弦长，求出点到直线的距离，解方程，