宁夏石嘴山市第一高级中学2026届数学高二上期末检测试题含解析

宁夏石嘴山市第一高级中学2026届数学高二上期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）A. B.2C. D.2．已知圆的半径为，平面上一定点到圆心的距离，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和直线相交于点，设点在圆上运动时，点的轨迹为，当时，轨迹对应曲线的离心率取值范围为（）A. B.C. D.3．如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A.该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分B.该同学次测试成绩的众数是分C.该同学次测试成绩的中位数是分D.该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关4．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的a值为（）A.3 B.27C.-9 D.95．已知空间中三点，，，则下列结论中正确的有（）A.平面ABC的一个法向量是 B.的一个单位向量的坐标是C. D.与是共线向量6．已知椭圆上一点到左焦点的距离为，是的中点，则（）A.1 B.2C.3 D.47．已知函数（为自然对数的底数），若的零点为，极值点为，则（）A. B.0C.1 D.28．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（）A. B.C. D.9．已知双曲线，则双曲线M的渐近线方程是（）A. B.C. D.10．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（）A. B.C. D.11．如图，M为OA的中点，以为基底，，则实数组等于（）A. B.C. D.12．执行如图所示的流程图，则输出k的值为（）A.3 B.4C.5 D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知内角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且，则c的最小值为__________.14．已知平面和两条不同的直线，则下列判断中正确的序号是___________.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；15．如图的形状出现存南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最一上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……，设从上至下各层球数构成一个数列则___________.（填数字）16．已知函数，若，则________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在中，已知，，，，分别为边，的中点，于点.（1）求直线方程；（2）求直线的方程.18．（12分）已知等差数列中，首项，公差，且数列的前项和为（1）求和；（2）设，求数列的前项和19．（12分）四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，（1）若为中点，求证平面；（2）若，求面与面的夹角的余弦值.20．（12分）已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，（1）分别求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由21．（12分）设函数.（1）若在点处的切线为，求a，b的值；（2）求的单调区间.22．（10分）芯片作为在集成电路上的载体，广泛应用在手机、军工、航天等多个领域，是能够影响一个国家现代工业的重要因素．根据市场调研与统计，某公司七年时间里在芯片技术上的研发投入x（亿元）与收益y（亿元）的数据统计如下：（1）根据折线图数据,求y关于x的线性回归方程(系数精确到整数部分);（2）为鼓励科技创新,当研发技术投入不少于16亿元时,国家给予公司补贴5亿元,预测当芯片的研发投入为17亿元时公司的实际收益附:其回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．参考数据,

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.【详解】由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，所以，且，则，，所以，所以，则在中，可得，，即，解得，所以，故选：A【点睛】方法点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量2、D【解析】分点A在圆内，圆外两种情况，根据中垂线的性质，结合椭圆、双曲线的定义可判断轨迹，再由离心率计算即可求解.【详解】当A在圆内时，如图，,所以的轨迹是以O，A为焦点的椭圆，其中，，此时，，.当A在圆外时，如图，因为，所以轨迹是以O，A为焦点的双曲线，其中，，此时，，.综上可知，.故选：D3、C【解析】根据给定的散点图，逐一分析各个选项即可判断作答.【详解】对于A，由散点图知，8次测试成绩总体是依次增大，极差为，A正确；对于B，散点图中8个数据的众数是48，B正确；对于C，散点图中的8个数由小到大排列，最中间两个数都是48，则次测试成绩的中位数是分，C不正确；对于D，散点图中8个点落在某条斜向上的直线附近，则次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，D正确.故选：C4、B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累乘值，并判断满足时输出的值【详解】解：模拟执行程序框图，可得，时，不满足条件，；不满足条件，；不满足条件，；满足条件，退出循环，输出的值为27故选：5、A【解析】根据已知条件，结合空间中平面法向量的定义，向量模长的求解，以及共线定理，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】因为，，，故可得，因为，故，不平行，则D错误；对A：不妨记向量为，则，又，不平行，故向量是平面的法向量，则A正确；对B：因为向量的模长为，其不是单位向量，故B错误；对C：因为，故可得，故C错误；故选：A.6、A【解析】由椭圆的定义得，进而根据中位线定理得.【详解】解：由椭圆方程得，即，因为由椭圆的定义得，，所以，因为是的中点，是的中点，所以.故选：A7、C【解析】令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案【详解】解：，当时，，即，解得；当时，恒成立，的零点为又当时，为增函数，故在，上无极值点；当时，，，当时，，当时，，时，取到极小值，即的极值点，故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题8、B【解析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径.因为，所以点在圆上，所以过点的圆的切线与直线垂直，设切线的斜率，则有，即，解得.因为直线与切线垂直，所以，解得.故选：B.9、C【解析】由双曲线的方程直接求出见解析即可.【详解】由双曲线，则其渐近线方程为：故选：C10、A【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.【详解】设直线方程为，联立，整理得：，需满足，即，则，由，得：，所以，即，故，所以直线l为：，当时，，即直线l恒过定点，故选：A.11、B【解析】根据空间向量减法的几何意义进行求解即可.【详解】，所以实数组故选：B12、B【解析】根据程序框图运行程序，直到满足，输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入，则，，不满足，循环；，，不满足，循环；，，不满足，循环；，，满足，输出结果：故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先利用正弦定理边化角式子，得到，再利用正弦定理求出，根据与的关系，求得，即可求得c的最小值.【详解】，即，又，当最大时，即，最小，且为由正弦定理得：，当时，c的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.14、②④【解析】根据直线与直线，直线与平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.详解】若，则或，异面，或，相交，①错误；若，则，②正确；若，则或或与相交，③错误；若，则，④正确；故答案为：②④.15、【解析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到，即可得解【详解】解：由题意可知，，，，，，故，所以，故答案为：16、【解析】求出导函数，确定导函数奇函数，然后可求值【详解】由已知，它是奇函数，∴故答案为：【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性，确定函数的奇偶性是解题关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件求出点D，E坐标，再求出直线DE方程作答.(2)求出直线AH的斜率，再借助直线的点斜式方程求解作答.【小问1详解】在中，，，，则边中点，边的中点，直线DE斜率，于是得，即，所以直线的方程是：.【小问2详解】依题意，，则直线BC的斜率为，又，因此，直线的斜率为，所以直线的方程为：，即.18、（1），；（2）.【解析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式与求和公式，即可求解；（2）根据题意，求出，结合等差数列求和公式，即可求解.【小问1详解】根据题意，易知；.【小问2详解】根据题意，易知，因为，所以数列是首项为2，公差为的等差数列，故19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）先证，，再证平面即可；（2）建立空间直角坐标系，先求出面与面的法向量，再计算夹角余弦值即可.小问1详解】取中点，连接，则四边形为平行四边形，，为直角三角形，且.又平面，平面，.又，平面.【小问2详解】，为等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图令，则，设面的法向量为，则由得取，则设面的法向量为，则由得取，则设面与面的夹角为，则所以面与面的夹角的余弦值为.20、（1），；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）利用数列为等比数列，将已知的等式利用首项和公比表示，得到一个方程组，求解即可得到首项和公比，结合等比数列的通项公式即可求出；将已知的等式变形，得到数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出，再结合数列的第项与前项和之间的关系进行求解，即可得到；（2）先利用等比数列求和公式求出，从而得到的表达式，然后利用裂项相消求和法求出，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，利用等比中项、等差中项以及进行化简变形，得到假设不成立，故可得到答案【详解】（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，由题意可知，所以，所以，由②可得，即，所以或2，因为，所以，所以，所以，由，可得，所以数列为等差数列，首项为，公差为1，故，则，当时，，当时，也适合上式，故（2）由，可得，所以，所以，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，则有，所以，则，即，因为，所以，即，所以，所以，则，所以，则，所以，即，所以，这与已知的，，互不相等矛盾，故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.21、（1），；（2）答案见解析.【解析】（1）已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的导数值为切线斜率.(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0，求解析，即可得到答案.【小问1详解】的定义域为，，因为在点处的切线为，所以，所以；所以把点代入得：.即a，