广东省中山市某校2026届高三上学期第三次模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省中山市某校2026届高三上学期第三次模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由已知，，所以.故选：B.2.已知集合，，且，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得或，即或，由，，则.故选：D.3.已知平面向量的夹角为，且，，则（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】由，所以，即，即，整理得，解得或（舍去），所以.故选：B.4.已知，且，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.

故选：A.5.已知是抛物线：的焦点，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则点的横坐标是（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】如图所示，抛物线的焦点坐标为，过上一点作其准线的垂线，垂足为，若，可得，又由，所以，在等腰中，可得，设，根据抛物线的定义，可得，解得，即点的横坐标为.故选：A.6.若是方程的实数解，则称是函数与的“复合稳定点”．若函数且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】且与有且仅有两个不同的“复合稳定点”，，即有两个不同实根，令，则在上有两个不同实根，，则的取值范围为．故选：D．7.已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，定义域关于原点对称，，所以为上的偶函数，当时,，设，则，，，所以即在上单调递减,所以,所以在上单调递减,又因为为偶函数,所以在上单调递增，又因为,,又因为,因为,，所以,所以，即,所以,所以,即.故选：D.8.已知、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，直线与圆交于点（点不在椭圆内部），则（）A. B.4 C.3 D.1【答案】C【解析】连接,设椭圆的基本量为，故答案为：3.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.已知直线：和圆：交于A，B两点，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.存在使得直线与直线：垂直C.当最小时，其余弦值为D.若，直线被圆截得的弦长为【答案】BD【解析】对于选项A：因为直线：，即，所以直线恒过定点，且斜率为，故A错误；对于选项B：圆：的圆心为，半径，因为，可知点在圆内，则对任意，直线与圆相交，又因为直线：的斜率为，所以当，则，两直线垂直，所以存在使得直线与直线：垂直，故B正确；对于选项C：若取到最小值，等价于取到最小值，当且仅当时，取到最小值，此时直线：,，，又因为直线：不可能表示，所以,即无最小，故C不正确；对于选项D：若，则直线：，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为，故D正确；故选：BD.10.已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（）A.B.函数在上单调递减C.的图象关于点中心对称D.的最大值为【答案】AB【解析】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而．又，所以，由得，故，．选项A：的最小正周期为，故，A正确．选项B：令，解得，故函数在上单调递减，B正确．选项C：由于，，故的图象不关于点中心对称，故C错误．选项D：，其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误．故选：AB.11.已知函数，则（）A.B.是的极值点C.当时，D.当时，【答案】ACD【解析】选项A：由题可知：，所以选项A正确；选项B：由得函数的定义域为，在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误；选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确；选项D：因为函数，所以，所以，所以.当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知是第一象限角，且，则__________.【答案】【解析】由题意可得，即，因为是第一象限角，所以，，，所以，，所以，故答案为：.13.若函数是周期为2的奇函数，当时，，则__________.【答案】【解析】因为函数是周期为2的奇函数，所以，因为，所以，.故答案为：.14.已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为__________.【答案】【解析】设O为坐标原点，因为，可得，且两渐近线关于轴对称，则，又因为直线斜率为，则，令，则，，在中，由正弦定理得，可得，解得，可得，所以的离心率.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）证明：函数的图象是中心对称图形；（2）当时，求的值.（1）证明：易知，，则为奇函数，所以的图象关于原点中心对称，证毕；（2）解：由上的图象关于原点中心对称，知的图象关于中心对称，所以，即，，两式相加得，所以.16.在中，内角的对边分别为，且，．（1）求的值；（2）若的面积为，求边上的高．解：（1）∵，由正余弦边角关系得，①，又，②由①②得，，∴，∴.（2）由（1）得，，∵为锐角，∴，∴的面积，∴，设边上的高为，则的面积，∴，即边上的高为．17.已知函数，其中.（1）若函数在区间内恰有2个极值点，求的取值范围；（2）当时，在中，角所对的边分别为，且，求边的取值范围.解：（1）由，因为，可得.又因为在上恰有2个极值点，则满足，解得，所以的取值范围为.（2）当时，可得，由，可得，即，因为，可得，所以，解得，所以，又由正弦定理，可得，所以，又因为，可得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以实数的取值范围为.18.已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为．点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点．（1）求的方程；（2）若的面积为，求的方程；（3）证明：线段的中点为定点．（1）解：因为的一条渐近线方程为，到渐近线的距离为，过得，解得：，所以的方程为①．（2）解：显然直线的斜率存在，设的方程为②，①②联立得：．则有③，④，设，则⑤，⑥，把⑤⑥代入：，所以，得：，解得：．满足③④式，则直线的方程为．（3）证明：设，不妨设．则直线⑦，联立①⑦得：，则，则；同理：．而，，又三点共线，则有，则，得：，所以的中点为定点．19.已知函数．（1）时，求的极值；（2）若函数．（i）证明：曲线图象上任意两个不同的点处的切线均不重合；（ii）若，使得成立，求实数的取值范围．（1）解：当时，，则其定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.（2），其定义域为，（i）证明：设为图象上两个不同的点，，，，在点处的切线方程分别为，，即，，若在点处的切线重合，则，，即，，即，设，，，设，则，在上单调递增，，方程无解，曲线图象上任意两个不同的点处的切线均不重合.（ii）解：，令，