广西贺州市普通高中2025-2026学年高二上学期12月教学质量抽检数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西贺州市普通高中2025-2026学年高二上学期12月教学质量抽检数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令分别取，，，，可知，所以故选：A.2.若复数为纯虚数，则（）A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C【解析】由纯虚数的定义可知，解得.故选：C.3.已知直线与垂直，则（）A.或2 B. C. D.0【答案】C【解析】直线与垂直，解得：.故选：C.4.双曲线的其中一条渐近线的斜率为，则离心率的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，所以由题可知，所以双曲线的离心率为.故选：D.5.在等差数列中，，则（）A.14 B.16 C.18 D.28【答案】B【解析】因为等差数列中，，，故选：.6.若，，，则，，之间的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，即；，即；，即，所以.故选：D.7.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，且平面平面为线段上一点，且，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，，，所以，过作于，则，所以，，连接，则四边形为矩形，其中，因为平面，平面平面所以平面，又因为平面所以，又，故以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，所以，所以，所以，所以，因为轴垂直于平面，所以取平面的法向量，设直线与平面所成角为，则.故选：A.8.点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】由圆方程知圆心为，半径为1，因为为圆的切线，所以，，，，要使得最小，只要最小，由切线长公式知，只要最小.当时，，此时,所以的最小值是，故选：C.C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆，点，则下列结论正确的是（）A.直线的方程为B.当时，直线与圆相切C.当时，直线截圆的弦长为D.当时，圆上只有2个点到直线的距离为1【答案】AD【解析】对于A，由，所以直线的方程为，即，故A正确；对于B，当时，圆，所以圆心到直线的距离为，则，所以圆与直线相交，故B错误；对于C，当时，圆心到直线的距离为，所以直线截圆的弦长为，故C错误；对于D，当时，圆心到直线的距离为，所以圆与直线相交，又，所以圆上只有两个点到直线的距离为，故D正确.故选：AD.10.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（）A.若为线段的中点，则直线平面B.三棱锥的体积为C.在线段上存在点，使得D.若，则点轨迹长为【答案】ABD【解析】以为原点，方向为轴建立空间坐标系，棱长为，,,,,,,,,，分别是，的中点,,,点在正方形上，设，其中，对于A选项：为线段的中点，则,,又是正方体，则是平面的法向量，，即，又平行平面，所以直线平行平面，A选项正确；对于B，三棱锥体积与相同，的顶点，，，点到的距离恒为，于是，B选项正确对于C，在线段上：，设，，垂直条件即，，但，所以不存在这样的点,C选项错误；对于D，即，，，，，点限制在，且平面上，因此在这个范围内对应一条线段：当时，得；当时，得，线段长度：，所以轨迹长为，D选项正确.故选：ABD.11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.焦点到准线的距离是B.面积的最小值是C.若，则的最小值为D.若，则可能为线段的中点【答案】ABC【解析】对于A选项，抛物线的焦点为，准线方程为，所以焦点到准线的距离是，A对；对于B选项，设点、，若直线与轴重合，此时该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，易知点，设直线的方程为，联立可得，则，由韦达定理可得，，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，故面积的最小值是，B对；对于C选项，过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，如下图所示：由抛物线的定义可得，所以，故当点、、共线时，即当与抛物线准线垂直时，取最小值，C对；对于D选项，若为线段的中点，则，解得，此时，直线的方程为，即，故直线的斜率为，又因为，则，不合乎题意，故点不可能为线段的中点，D错.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在一次数学测验中，某小组的7位同学的成绩分别为89，109，122，126，131，134，140，则这7位同学成绩的上四分位数与下四分位数的差为___________．【答案】25【解析】由，得这组数据的下四分位数为109，由，得这组数据的上四分位数为134，所以所求差为.故答案为：25.13.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是___________．【答案】【解析】设，，，，，，，即，化简得，在以为圆心，为半径的圆上，又点在圆上，两个圆有公共点，设圆心距为，则，又，，解得，则的取值范围是.故答案为：.14.2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为．例如时，操作可知，则___________．【答案】17【解析】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个数；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们第个数是，所以，是这个数中的第个数；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个数；当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，内角的对边分别为，已知.（1）求的值；（2）若的面积为，求边上的高．解：（1）在中，由，得，由正弦定理得.（2）由（1）知，又的面积是，则，解得，由余弦定理得，设边上的高为，而，因此，所以.16.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区名学生中抽取人，得到的日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：学业成绩日均体育锻炼时长/小时优秀5603031不优秀1351501304125（1）该地区名学生中日均体育锻炼时长不少于小时的人数约为多少？（2）估计该地区初中学生的日均体育锻炼时长．（同一组中的数据用该组区间的中点值代替，最后结果精确到）（3）在日均体育锻炼时长在的小组中，按学业成绩是否优秀采用分层抽样的方法抽取人进行问卷调查，并从人中随机抽取人进行访谈，求访谈的人中至少有人的学业成绩优秀的概率．解：（1）由表可知锻炼时长不少于小时的人数占比为，所以，则估计该地区学生中体育锻炼时长不少于小时的人数约为人；（2）因为样本中该地区初中生的日均体育锻炼时长约为：，则估计该地区初中学生日均体育锻炼时长为小时．（3）因为该组中学业优秀和不优秀的学生比例为，所以用分层抽样抽出人中，学业优秀的学生占人，记为，学业不优秀的学生占人，记为，则从人中抽取人样本空间为，所以从人中抽取人的所有基本事件共有个，设访谈的人中至少有人是学业成绩优秀为事件，则，共个基本事件，所以访谈人中至少有人是学业成绩优秀的概率：．17.如图，与所在平面垂直，且．（1）证明：．（2）求平面与平面的夹角的余弦值．（3）求点到平面的距离．（1）证明：延长，过点作，交于点，连接.由平面平面，平面平面，平面，则平面，由，得，故，.又，得，则，即.以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由，知，，，，所以，，因为，所以，即.（2）解：易知平面的法向量，又，设平面的法向量为，，令，则，故，设平面与平面的夹角为，所以，故平面与平面的夹角的余弦值为；（3）解：，设平面的一个法向量是，则，取，得，所以点到平面的距离为.18.已知正项数列满足（且），.（1）求；（2）求的通项公式；（3）设的前项和为，若恒成立，求的取值范围．解：（1）因为，（且），所以，又，所以，，又，所以，，又，所以；（2）因为，所以（且），即，又因为，所以，所以是以1为首项、1为公差等差数列，所以；（3）由（2）得.所以即为，又因为，所以该不等式等价于，又因为（当且仅当时，）.所以19.已知椭圆的离心率为，且过点，其左、右顶点分别为，为椭圆上异于的两点．（1）