广西南宁市2025-2026学年高二上学期12月教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西南宁市2025-2026学年高二上学期12月教学质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C D.【答案】D【解析】因为，所以.故选：D.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】因为，所以复数在复平面内对应点的坐标为，位于第一象限.故选：A.3.已知点是点在平面内的射影，则（）A. B.9 C. D.18【答案】C【解析】因为点是点在平面内的射影，所以，所以，所以.故选：C.4.椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（）A8 B.12 C.32 D.72【答案】B【解析】由椭圆方程可知，所以椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为.故选：B.5.若构成空间一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】选项A，若共面，则存在实数使得，即，因为不共面，所以，解得，所以为共面向量，所以不能作为基底，故A错误；选项B，若共面，则存在实数使得，因为不共面，所以，解得，所以存在实数使得，即共面，所以不能作为基底，故B错误；选项C，若共面，则存在实数使得，即，因为不共面，所以，解得，所以共面，所以不能作为基底，故C错误；选项D，若共面，则存在实数使得，即，因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量，所以能作为基底，故D正确.故选：D.6.已知函数是周期为4的偶函数，且当时，，则（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】因为函数是周期为4的偶函数，且当时，，所以.故选：B.7.已知直线与圆交于两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得圆心，半径，由直线，可得直线恒过定点，又越小，则圆心到直线的距离越大，又，所以圆心到直线的距离的最大值为，此时，所以，所以的最大值为.8.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以的重心，即，又因为，，所以，所以，所以的外心为的中点，即，所以直线的方程为，即，又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，所以的欧拉线方程为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知直线，直线，则下列选项正确的是（）A.直线在轴上的截距为B.直线的斜率为C.若，则D.若，则【答案】AC【解析】对于选项A，B：直线，令，解得，可知直线在轴上的截距为，故A正确；整理可得，可知直线的斜率为，故B错误；对于选项C：若，则，解得，故C正确；对于选项D：若，则直线，即，可知直线与直线重合，故D错误；故选：AC.10.如图，这是某一容量为100的样本的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，则（）A.样本数据落在内的频数为48B.样本数据落在内的频率为0.1C.样本数据的平均数约为11.52D.样本数据的分位数约为13【答案】ACD【解析】由题意可知：各组的频率依次为，，，，.对于选项A：样本数据落在内的频数为，故A正确；对于选项B：样本数据落在内的频率为，故B错误；对于选项C：样本数据的平均数约为，故C正确；对于选项D：因为，，可知样本数据的分位数，则，解得，所以样本数据的分位数约为13，故D正确；故选：ACD.11.将函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图像向左平移个单位长度，得到偶函数的图像，则下列正确的有（）A.B.C.图像的一个对称中心为D.的单调递减区间为【答案】BCD【解析】由图像上所有点的横坐标缩短到原来的得函数的图像，再将所得图像向左平移个单位长度得函数，即，又因为函数为偶函数，所以，所以，又，所以，故A错误；所以，故B正确；所以，又因为，所以图像的一个对称中心为，故C正确；由，得，所以的单调递减区间为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，则这段时间内线路正常工作的概率为________.【答案】0.91或【解析】线路不能正常工作的概率为：，∴能够正常工作的概率为，故答案为：0.91.13.双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的离心率为___________．【答案】【解析】由题意可得，又，可解得，所以.故答案为：.14.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________．【答案】12【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，设，，则，，因为，则，解得，所以.故答案为：12.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在中，角所对的边分别为，已知．（1）求的面积；（2）求的值；（3）求外接圆的面积．解：（1）因为，所以.（2）在中，，由余弦定理可得，所以.（3）由（2）可得，又，在中，由正弦定理可得，所以，所以外接圆的面积为．16.已知圆，直线过点．（1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；（2）若直线与圆相切，求直线的方程．解：（1）由题意可知：满足条件的直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，令，解得；令，解得；可知直线在坐标轴上的截距分别为，则，解得或，所以直线的方程为或.（2）圆即为，可知圆心为，半径，若直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，可得圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为；若直线的斜率不存在，直线的方程为，可得圆心到直线的距离，符合题意；综上所述：直线的方程为或.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，．（1）求；（2）求异面直线与夹角的余弦值；（3）求直线与平面所成角的大小．解：（1）因为平面，，以为坐标原点，分别为轴，与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，，则，，所以.（2）由（1）可知：，，则，所以异面直线与夹角的余弦值为.（3）由（1）可知：，，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设直线与平面所成角为，则，可得，所以直线与平面所成角的大小为.18.曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程：（3）记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值．解：（1）因为点在椭圆上，则，即，可得，因为，则，可得，所以，则，，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交，设，，则线段的中点坐标为，可得，，，因为点，在椭圆内，则，两式相减得，整理可得，即，可得，所以直线方程为，即.（3）由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，，因为，即，则，当且仅当点在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为.19.已知双曲线左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为．（1）求双曲线的方程．（2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．解：（1）圆的圆心为，半径，因为直线过点，可知当且仅当直线，取得最小值，此时，即，解得，则，双曲线的渐近线方程为，即，直线平行于双曲线的渐近线时，直线的方程为，且点到直线的距离为，解得，所以双曲线的方程为.（2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，直线与圆必相交，设直线，，，，联立方程，消去x可得