贵州省2025-2026学年高二上学期两校联合期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省2025-2026学年高二上学期两校联合期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，为坐标原点，则点的坐标为，根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点在坐标平面上的投影坐标的竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.所以向量在坐标平面上的投影向量是，所以空间向量在坐标平面上的投影向量是.故选：C.2.已知向量，，若，则的值是（）A.或1 B.3或1 C. D.【答案】D【解析】由题设，则.故选：D.3.已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题设且，则.故选：B.4.已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（）A. B.2 C.1 D.【答案】A【解析】

在

上投影向量的模为

，因为，，所以

，，所以投影向量的模为

，故选：A.5.已知正四棱锥所有棱长均为1，为底面内一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可作图如下：由正四棱锥的所有棱长均为1，可知，且，所以，，所以.故选：C.6.已知，直线，且，则的最小值为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】C【解析】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为．故选：C.7.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为直三棱柱中，，，，所以，所以，设异面直线与所成角为，则，所以.故选：B.8.已知，直线，为上的动点，过点作的切线，，切点为，，当最小时，直线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题设，点到直线的距离，所以直线与圆相离，又为圆的切线，为切点，则四点共圆，且，所以，而，当直线时，，此时最小，而，则，故，即，由，解得，此时，以为直径的圆的圆心为，半径为，所以，即，两圆的方程相减可得，即为直线的方程.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，下列说法正确的是（）A.若，共线，则B.已知，，若，则C.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面D.若向量能构成空间的一个基底，则也能构成空间的一个基底【答案】CD【解析】A：当同向时，；当反向时，，A错；B：由，则，解得，B错；C：由，且，所以四点共面，C对；D：假设存在实数，使得，，则，方程组无解，不共面，可以构成空间的一组基底，D对.故选：CD.10.以下四个命题表述正确的是（）A.过点且在轴、轴上截距相等且不过原点的直线方程为B.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C.已知点在圆外，则实数的取值范围是D.圆与圆恰有三条公切线，则【答案】ABD【解析】A：由题意，设直线为，则，则直线方程为，A对，B：圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，B对，C：由，则，所以在圆外，则，可得，综上，，C错，D：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由于、有三条公切线，所以两个圆外切，所以，，D对.故选：ABD.11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线当就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（）A.曲线围成的图形有3条对称轴B.曲线围成的图形的周长是C.曲线上的任意两点间的距离最大值是D.若是曲线上任意一点，的最小值是【答案】BC【解析】当，时，曲线的方程可化为；当，时，曲线的方程可化为；当，时，曲线的方程可化为；当，时，曲线的方程可化为，所以曲线图象如图所示：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴：，，，，故选项A错误；对于B，曲线由4段圆弧组成，在中，，，由余弦定理可得，所以，故曲线围成的图形的周长为，故B正确；对于C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故选项C正确；对于D，由图可知：点到直线的距离，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为，故的最小值是，故选项D错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，，则的余弦值是__________.【答案】或【解析】，，故，故答案为：.13.已知半圆与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】半圆的圆心坐标为，半径为.直线的一般式为，当直线与圆相切时，有，故，当动直线过原点时，因为动直线与半圆有且仅有两个不同的交点，故.故答案为：.14.函数的最小值为______．【答案】【解析】表示、的距离，表示、的距离，又关于x轴的对称点，如图，所以，所以．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知，.（1）求向量的坐标；（2）设向量，，求；（3）若，求的值.解：（1）由，得.（2）由（1）得，而，因此，所以.（3）由（1）知，，由，得，所以16.已知顶点、、.（1）求边的垂直平分线的方程；（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.解：（1）由、可知中点为，且，设边的垂直平分线的斜率为，所以垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即.（2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程，由过点，则，解得，所以直线方程为，综上所述，直线的方程为或.17.如图，正四棱柱中，，点E在上且．（1）证明：；（2）求点B到平面的距离；（3）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，，所以，所以，即.（2）解：由可得，，设平面的法向量为，则，取，则，又，所以点B到平面的距离为，（3）解：由（2）可得平面的法向量为，又，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知圆．（1）若直线与圆交于两点，（i）求的取值范围；（ii）证明：直线与直线（为坐标原点）的斜率之和为定值．（2）若直线和直线将圆的周长四等分，求的值．（1）（i）解：将直线的方程代入圆的方程，可得．因为直线与圆有两个交点，所以，解得，即的取值范围是．（ii）证明：设，，由根与系数的关系得所以．即直线的斜率之和为定值．（2）解：设直线和圆交于点，直线与圆交于点．因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，连接，则，所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，同理可得圆心到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即．19.四面体中，分别为棱的中点，经过的平面分别与棱，相交于点，（不与顶点重合）.（1）证明：若，则（如图1）；（2）当与平面相交于点时（如图2），若四面体的体积为，求多面体的体积.（1）证明：因为，且平面经过且与平面相交于，所