河北省邯郸市馆陶县2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省邯郸市馆陶县2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系中，点，，若关于轴的对称点为，关于坐标平面的对称点为，则（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】A【解析】由已知得点关于轴的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，.故选：A.2.已知直线，当时，直线的倾斜角的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】若，直线的方程为，所以直线的倾斜角，排除A，C.若，则，所以，又，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：D.3.已知圆，当圆心到原点的距离最小时，圆的面积为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可知圆心为，半径为，设原点为，则，设，对称轴为，开口向上，则在处取得最小值，即在处的最小值，此时圆的半径为，圆的面积为.故选：B.4.已知离心率为的双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线方程为，结合已知可得，所以，所以，即，所以双曲线的离心率.故选：D5.已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】由已知得，焦点，则.故选：C.6.在底面边长为2的正三棱柱中，，分别是和的中点，若，则该三棱柱外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设侧棱长为，则，，由，解得（舍负），正三棱柱的底面三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，所以外接球的表面积.故选：D.7.若过点向圆引两条切线，切点分别为，，则到直线的距离为（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】设，易知直线的斜率存在，所以直线的方程为，因为点在直线上，所以，即，又因为点在圆上，所以，所以可化为，同理，，所以直线的方程为，则到直线的距离.故选：B.8.已知椭圆左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，，四边形的面积为，且，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由椭圆对称性，不妨设，由余弦定理得，由已知得，又，又，则，整理得，故或（舍去），由椭圆的定义可得，则，，故，故.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，则下列结论正确的是（）A.若表示双曲线，则B.若表示焦点在轴上的椭圆，则C.若，则表示圆D.若表示平行于轴的两条直线，则该两条平行线间的距离为【答案】AB【解析】对于A，若曲线表示双曲线，则要求与异号，即，整理得，故A正确；对于B，若表示焦点在轴上的椭圆，则，则，即，且，故B正确；对于C，当时，则曲线为，方程无解，故方程不表示任何图形，故C不正确；对于D，若表示平行于轴的两条直线，则且，该两条平行线间的距离为，故D不正确.故选：AB.10.已知直线，则下列结论正确的是（）A.直线恒过定点B.到原点距离的最大值为C.直线被圆截得的弦长的最小值为2D.直线可以和任意直线平行【答案】AC【解析】对于A，的方程化为，由解得所以直线恒过点正确；对于，当时，原点到直线的距离最大，最大值为，此时直线被圆截得的弦长最小，最小值为，故B不正确，C正确；对于D，由知，当时，直线与直线重合，当时，直线与直线重合，所以不能和直线及直线平行，D不正确.故选：AC.11.在棱长为2的正方体中，是的中点，为底面正方形内及其边界上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在唯一的点，使B.存在唯一的点，使得平面C.最小值为3D.的最小值为4【答案】AC【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，对于A，由，得，A正确；对于B，，设平面的法向量为，则，取，得，，若平面，则，即，该方程表示一条直线，因此点有无数个，B错误；对于C，取的中点，连接，则，，的最小值为3，C正确；对于D，设点关于平面的对称点为点，则，且，当三点共线时，取最小值，最小值为，D错误.故选：AC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设，，则直线的垂直平分线方程为__________.【答案】【解析】线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线的斜率为1，所以垂直平分线的方程为，即.故答案为：.13.已知在棱长均相等的正四棱锥中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】设，因为四边形为正方形，所以，所以，所以，，又，又异面直线与所成角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：.14.已知，则的圆心的轨迹方程为__________.【答案】【解析】圆方程可化为，设圆心的坐标为，则满足，由，得，且，所以，圆心的轨迹方程为.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知直线与圆均经过点，且圆经过原点，圆心轴上.（1）若直线与圆相切于点，求直线的方程；（2）若圆的圆心在轴上，且圆也经过点，圆与圆的公共弦长为，求圆的方程.解：（1）设圆心，由已知得，，解得.，，∴过点的切线的方程为，即.（2）由（1）得，圆的半径，∴点到公共弦的距离，由题知公共弦所在直线的斜率存在，可设公共弦所在直线的方程为，，解得或，∴公共弦所在直线的方程为或，∵圆的方程为，即，∴设圆或，∵圆心在轴上，或或，∴圆的方程为或.16.已知焦点为的抛物线上的动点到直线距离的最小值为.（1）求的值；（2）过焦点的直线与交于两点，若，试说明直线与的位置关系.解：（1）解法一：设，∴点到的距离，即，当时，的最小值为0，不符合题意；当，即时，显然时取得最小值，为，由，得.解法二：当点到的距离最小时，点为与平行的的切线的切点，设该切线方程为，，解得或，当时，在上方，不合题意，，将中，整理得，由解得或（舍）.（2）由（1）得，抛物线.设，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，不满足题意，所以直线的斜率存在且不为0，设其方程为，代入中整理得，，则，解得，即，当时，，当时，.17.如图，正四棱柱中，，，是的两个三等分点，且点靠近点，点靠近点.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则.，设平面的法向量为，，令.，设平面的法向量为，令.平面平面.（2）解：由（1）得，设平面的法向量为，，令，又点到平面的距离.（3）解：由（1）得，设平面的法向量为，，令，，设平面的法向量为，，令，，，即二面角的正弦值为.18.已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程；（3）在（2）的条件下，求的面积.解：（1）设，则，易知双曲线的一条渐近线的方程为，，将的方程中得，解得，∴双曲线的方程为.（2）由（1）得，显然直线的斜率存在且不为0，设，直线的方程为，，，即，联立，得，则，，则，消去整理得，即，∴直线的方程为.（3）不妨设，由（2）知，则，点到直线的距离，.19.已知离心率为的椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，且的面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设过的两条互相垂直的直线交于和，弦和的中点分别为，直线交于，若以为直径的圆过原点，求直线的方程．解：（1），由椭圆的几何性质知，当为短轴端点时，的面积最大，此时，，解得，