反比例函数y=k÷x（k＜0）的图象与性质课件-湘教版九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第1章

反比例函数1.2.2反比例函数y=k÷x（k＜0）的图象与性质观察与思考问题

下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这些点如果在平面直角坐标系中，那么会是怎样的一种情况呢？可以试着动手画一画．x-6-3-2-11236y1236-6-3-2-1#人教版初中数学九年级下册《反比例函数y=k/x（k＜0）的图象与性质》教学资源包（含教学过程、PPT分页内容、课堂案例、板书设计，不含教学目标/作业）##一、教学过程（45分钟，可直接课堂实施）###（一）复习导入（5分钟）1.回顾正比例函数y=kx（k≠0）的图象（直线）与性质（k>0递增、k<0递减）。2.提问：反比例函数y=k/x（k>0）的图象是什么形状？分布在哪些象限？y随x的变化规律如何？（学生回答：双曲线、第一、三象限、在每个象限内y随x增大而减小）3.引出课题：当k<0时，反比例函数y=k/x的图象和性质会发生什么变化？今天我们共同探究。###（二）探究新知（20分钟）####1.画反比例函数图象（以y=-6/x为例）-步骤1：列表（师生共同完成）|x|-6|-5|-4|-3|-2|-1|1|2|3|4|5|6||---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---||y|1|1.2|1.5|2|3|6|-6|-3|-2|-1.5|-1.2|-1|-步骤2：描点：引导学生在平面直角坐标系中准确描出对应点（注意正负坐标的位置）。-步骤3：连线：强调“平滑曲线”，且图象与坐标轴不相交（x≠0、y≠0），分别连接第一、三象限的点（此处学生可能疑惑为何不连第四、二象限，后续性质讲解中解答）。####2.观察图象，探究性质（小组讨论+全班总结）-提问1：y=-6/x的图象分布在哪些象限？（学生观察后回答：第二、四象限）-提问2：在第二象限内，x的取值范围是什么？y的取值范围是什么？x增大时，y如何变化？（x<0，y>0；x从-6增大到-1，y从1增大到6→y随x增大而增大）-提问3：在第四象限内，x、y的取值范围是什么？x增大时，y如何变化？（x>0，y<0；x从1增大到6，y从-6增大到-1→y随x增大而增大）-提问4：对比y=6/x（k>0）和y=-6/x（k<0）的图象，象限分布和增减性有何不同？（小组讨论2分钟，派代表发言）-教师总结：反比例函数y=k/x（k<0）的图象是双曲线，分布在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。####3.性质验证（举例巩固）-出示函数y=-4/x，让学生快速判断：①图象分布象限；②在每个象限内的增减性。（学生回答：第二、四象限；每个象限内y随x增大而增大）-追问：点A(-2,y₁)、B(-1,y₂)在y=-4/x上，比较y₁和y₂的大小。（引导：同一象限内用性质，-2<-1<0，y随x增大而增大→y₁<y₂）###（三）课堂例题（10分钟）####例题1：已知反比例函数y=(m+2)/x的图象分布在第二、四象限，求m的取值范围。-解题步骤：1.反比例函数形式：y=k/x（k≠0），此处k=m+2。2.图象分布在第二、四象限→k<0。3.列不等式：m+2<0→m<-2。-变式训练：若该函数图象在每个象限内y随x增大而增大，求m的取值范围（答案同上，强化“k<0”与性质的关联）。####例题2：已知点P(3,y₁)、Q(-2,y₂)、R(-1,y₃)在反比例函数y=-5/x的图象上，比较y₁、y₂、y₃的大小。-解题步骤：1.判断各点所在象限：P(3,y₁)→第四象限（y₁<0）；Q(-2,y₂)、R(-1,y₃)→第二象限（y₂>0，y₃>0）。2.同一象限内比较：Q、R在第二象限，-2<-1<0，y随x增大而增大→y₂<y₃。3.跨象限比较：负数<正数→y₁<y₂<y₃。-强调：跨象限不能直接用增减性，需先判断象限（正、负）。###（四）课堂小结（3分钟）1.学生回顾：今天学习了反比例函数y=k/x（k<0）的图象形状、分布象限、增减性。2.教师强调重点：①k的符号决定图象象限和增减性；②“在每个象限内”是增减性的前提（易错点）。###（五）课堂练习（2分钟，快速反馈）1.反比例函数y=-3/x的图象在第______象限，在每个象限内，y随x的增大而______。（答案：二、四；增大）2.点A(1,y₁)、B(2,y₂)在y=-2/x上，则y₁______y₂（填“>”“<”）。（答案：<，因为1<2<0？不，1、2是正数，在第四象限，y随x增大而增大，所以y₁=-2，y₂=-1，y₁<y₂）##二、PPT分页内容（共12页，可直接编辑使用）###第1页：标题页-标题：反比例函数y=k/x（k＜0）的图象与性质-副标题：人教版九年级下册-作者：XXX###第2页：复习回顾-问题1：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是______，性质是______。-问题2：反比例函数y=k/x（k>0）的图象是______，分布在______象限，在每个象限内y随x______。-答案提示（点击显示）：直线；k>0递增，k<0递减；双曲线；一、三；减小###第3页：探究1：画反比例函数y=-6/x的图象-步骤1：列表（展示完整表格）-步骤2：描点（给出平面直角坐标系，标注关键点）-步骤3：连线（展示平滑曲线，强调“不与坐标轴相交”）###第4页：图象展示-左侧：y=-6/x的完整图象（标注第二、四象限）-右侧：思考：图象为何分布在第二、四象限？###第5页：探究2：y=-6/x的性质（1）-提问1：图象分布在哪些象限？（答案：第二、四象限）-提问2：第二象限内，x、y的符号特点？（x<0，y>0）-提问3：第四象限内，x、y的符号特点？（x>0，y<0）-结论：k<0时，双曲线分布在第二、四象限（x与y异号）###第6页：探究2：y=-6/x的性质（2）-表格对比：|象限|x变化趋势|y变化趋势|增减性结论||---|---|---|---||第二象限|x从-6→-1（增大）|y从1→6（增大）|每个象限内，y随x增大而增大||第四象限|x从1→6（增大）|y从-6→-1（增大）|每个象限内，y随x增大而增大|###第7页：性质总结-反比例函数y=k/x（k＜0）的图象与性质：1.图象形状：双曲线2.分布象限：第二、四象限（x与y异号）3.增减性：在每个象限内，y随x的增大而增大-易错提醒：“在每个象限内”不可省略！###第8页：例题1-题目：已知反比例函数y=(m+2)/x的图象分布在第二、四象限，求m的取值范围。-解题过程：∵图象分布在第二、四象限

→k<0∴m+2<0→m<-2-答案：m<-2###第9页：例题2-题目：已知点P(3,y₁)、Q(-2,y₂)、R(-1,y₃)在y=-5/x上，比较y₁、y₂、y₃的大小。-解题步骤：1.判断象限：P（第四象限，y₁<0）；Q、R（第二象限，y₂、y₃>0）2.同一象限比较：Q(-2)、R(-1)，-2<-1<0，y随x增大而增大→y₂<y₃3.跨象限比较：y₁<0<y₂<y₃-答案：y₁<y₂<y₃###第10页：变式训练-题目1：若y=(2m-1)/x在每个象限内y随x增大而增大，求m的取值范围。（答案：m<1/2）-题目2：点A(-3,y₁)、B(-4,y₂)在y=-7/x上，比较y₁与y₂的大小。（答案：y₁>y₂）###第11页：课堂小结-图象：双曲线（k<0→第二、四象限）-性质：每个象限内，y随x增大而增大-易错点：“每个象限内”不可省略；跨象限比较需先判断正负###第12页：结束页-感谢观看！-敬请指导##三、课堂案例（易错点突破）###案例1：忽略“每个象限内”导致错误-问题：点A(-1,y₁)、B(2,y₂)在y=-3/x上，比较y₁和y₂的大小。-错误解答：因为-1<2，且y随x增大而增大，所以y₁<y₂。-纠正过程：1.引导学生判断A、B所在象限：A(-1,y₁)→第二象限（y₁=3>0）；B(2,y₂)→第四象限（y₂=-1.5<0）。2.强调：A、B在不同象限，不能直接用“y随x增大而增大”的性质，需先看正负：y₁>0，y₂<0→y₁>y₂。3.总结：只有当两个点在**同一象限**时，才能用增减性比较大小；不同象限则直接根据正负判断。###案例2：k的符号与图象象限、增减性的关联混淆-问题：判断函数y=5/x的增减性。-错误解答：y随x增大而减小。-纠正过程：1.回顾k的符号：k=5>0→图象在第一、三象限。2.强调性质的前提：“在每个象限内”→正确表述：在第一、三象限内，y随x增大而减小。3.对比k<0的情况：强化“k的符号决定象限，象限决定增减性的适用范围”。##四、板书设计（简洁明了，突出重点）```反比例函数y=k/x（k＜0）的图象与性质一、图象：双曲线

分布：第二、四象限（x与y异号）二、性质：

在每个象限内，y随x的增大而增大三、例题：1.求m的取值范围→k<02.比较函数值大小：

①

同一象限→用增减性

②

不同象限→先判正负四、易错点：1.“每个象限内”不可省略2.跨象限比较需先看正负```反比例函数图象与性质例1画反比例函数的图象.解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为列表描点连线需要注意的是在反比例函数中自变量

x不能为

0．解：列表如下x…-6-5-4-3-2-1123456…y…0.8124-4-2-1-0.8…描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得

的图象．123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-4-6-556yxy=

x4O

图象的画法与图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象所在的象限．方法归纳观察与思考

当k=－2，－4，－6时，反比例函数的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数

(k＜0)的图象和性质吗？yxOyxOyxO反比例函数(k＜0)的图象和性质：●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与

x轴、y轴都不相交；●在每个象限内，y随

x的增大而增大.知识要点归纳：

(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四

象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.

一般地，反比例函数(k≠0)的图象是双曲线，它具有以下性质：

k的正负决定反比例函数图象的位置和增减性

点(2，y1)和(3，y2)均在函数

的图象上，则

y1

y2(填“＞”“＜”或“=”).＜练一练例2反比例函数

的图象大致是（

）yA.xyoB.xoD.xyoC.xyo典例精析D例3如图是反比例函数

的图象，根据图象，回答下列问题：（1）k的取值范围是

k＞0还是

k＜0？说明理由；xyo由图可知，反比例函数的图象的两支双曲线分别位于第一三象限内，在每个象限内，函数值

y随自变量

x的增大而减小，因此，k＞0.（2）如果点

A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数上的两点，试比较

y1、y2的大小.xyo因为点

A（-3，y1），B（-2，y2）是该图象上的两点，且-3<0，-2<0，所以点

A，B都位于第三象限.又因为-3<-2，由反比例函数图象的性质可知：y1>y2例4若双曲线

y=的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是()A.k＞ B.k＜C.k= D.不存在解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有

2k-

1＜0，解得

k＜

.故选

B.B例5

已知反比例函数，y随x的增大而增大，求

a的值.解：由题意得

a2+a－7=－1，且

a－1＜0．解得a=－3.双曲线的概念及性质问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？xyxy双曲线OO

是轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形．例6如图，已知直线

y=mx与双曲线的一个交点坐标为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是()A.(1，3)B.(3，1)C.(1，-3)D.(-1，3)xyCO例7点(2，y1)和(3，y2)在函数

上，则y1