17.5 反证法（题型专练）（原卷版）

17.5反证法基础达标练题型一辨别反证法与举反例题型二反证法证明中的假设题型三判断反证法证明步骤题型四反证法证明无理数题型五反证法在代数中的证明题型六反证法在几何中的证明能力提升题题型反证法的综合问题基础达标练题型一辨别反证法与举反例1．证明：一个三角形中不能有两个角是直角．已知：．求证：，，中不能有两个角是直角．证明：假设，，中有两个角是直角，不妨设和是直角，即，．于是．这与三角形内角和定理相矛盾，因此“和是直角”的假设不成立．所以，一个三角形中不能有两个角是直角．上述证明方法是（

）A．归纳法 B．枚举法 C．反证法 D．综合法2．在证明“等腰三角形的两个底角是锐角”时，先假设“等腰三角形的两个底角不是锐角”，这种证明方法是（

）A．举反例法 B．整体代入法 C．反证法 D．数学归纳法3．对于命题“如果，那么．”能说明它是假命题的反例是（）A． B．，C．， D．，4．我们可以用以下推理来证明“当一个三角形的三边长满足时，这个三角形不是直角三角形”．假设这个三角形是直角三角形，根据勾股定理，这与已知条件矛盾，因此假设不成立，即这个三角形不是直角三角形．上述推理使用的证明方法是（）A．比较法 B．反证法 C．综合法 D．分析法5．公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派的“万物皆数”观点是一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来，学派中的希帕索斯发现了无理数，引发了第一次数学危机．欧几里得《原本》中对是无理数的证明如下：假设是有理数，那么（是互质的正整数），所以，故是偶数，从而是偶数．设，则，即，从而也是偶数，这与“是互质的正整数”矛盾，于是“是有理数”的假设不成立，所以，是无理数．这种证明“是无理数”的方法是（

）A．反证法 B．综合法 C．举反例法 D．列举法6．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣2＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（）A． B．0 C．﹣1 D．﹣27．对于命题“若则”，能说明它是假命题的反例是（

）A． B． C． D．8．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举反例，正确的反例是（）A．a＝﹣1，b＝0 B．a＝﹣1，b＝﹣1 C．a＝﹣1，b＝﹣2 D．a＝﹣1，b＝2题型二反证法证明中的假设9．“已知，，，求证：”．若用反证法证明，则应假设（

）A． B． C． D．10．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（

）A．假设三个外角都是钝角 B．假设三个外角中至少有一个钝角C．假设三个外角中至多有两个钝角 D．假设三个外角中至多有一个钝角11．用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（

）A． B． C． D．12．先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法．用反证法证明命题：四边形的外角中至多有3个钝角，第一步应假设（

）A．四边形的外角中没有钝角 B．四边形的外角中有1个钝角C．四边形的外角中有2个钝角 D．四边形的外角全部都是钝角13．用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（）A．这个三角形中有一个内角大于B．这个三角形中有一个内角大于等于C．这个三角形中每一个内角都大于D．这个三角形中每一个内角都小于14．用反证法证明，若，则时，应假设（

）A． B． C． D．15．用反证法证明“一个三角形最多有一个钝角”时，应先假设在三角形中（

）A．有一个钝角 B．有两个钝角C．有三个钝角 D．有不止一个钝角题型三判断反证法证明步骤16．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（

）A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①②17．已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴，这与三角形内角和为矛盾②因此假设不成立，∴③假设在中，④由，得，即这四个步骤正确的顺序应是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②18．求证：两直线平行，内错角相等如图1，若，且、被所截，求证：以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点作直线，使，②依据理论依据1，可得，③假设，④．⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．证明步骤的正确顺序是（

）

A．①②③④⑤B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④19．我们可以用反证法来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．下面写出了证明该问题过程中的四个步骤：①这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．②所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．③假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．④则三角形的三个内角的和大于．这四个步骤正确的顺序是（

）A．①②③④） B．③④②① C．③④①② D．④③②①20．小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．（2）所以．（3）假设．（4）那么，由，得，即，即．请你写出这四个步骤正确的顺序．题型四反证法证明无理数21．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成证明过程．证明：假设是一个有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（p，q是互质的正整数）．由的意义，可知．，∴_______________．是一个偶数，是一个偶数．∴_______________．设（k是正整数），，_____________，是一个偶数．∴_______________．∴p和q均为偶数．这与__________________的假设矛盾．这个矛盾表明假设“是一个有理数”不成立，所以不是有理数．22．证明：是无理数．23．证明：中x不是有理数．题型五反证法在代数中的证明24．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明）25．用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零．26．请用反证法证明：已知：，求证：．27．已知：m是正整数，且是偶数．求证：m是偶数．（注：利用反证法证明）28．用反证法证明“”，求证：必为负数．证明：假设不是负数，那么是__________或是__________．①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________．综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数．29．设a，b，c是不全相等的任意实数，若．求证：x，y，z至少有一个大于零．30．证明：对任意正整数和两数中至少有一个不能等于两整数的平方和.题型六反证法在几何中的证明31．用反证法证明“平行于同一条直线的两直线平行”．32．用反证法证明：如图所示，已知，那么．33．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不相等．34．如图，已知：直线与相交于O，于F，于H．求证：和必相交．35．用反证法证明：在三角形中，大角对大边．36．证明：三角形中至少有一个内角小于或等于．已知：如图，是的三个内角．求证：中至少有一个角小于或等于．证明：假设①___________，所以，②_____________．这与“③___________”矛盾．所以，假设不成立，中至少有一个角小于或等于．37．如图，在中，，是的中线，于点E，用反证法证明：点D与点E不重合．．题型反证法的综合问题38．阅读下列文字，回答问题.题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，所以AC≠BC．证明：假设AC=BC，∵∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B，∴AC≠BC．这与假设矛盾，所以AC≠BC．上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正.39．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．(1)求证：是等腰三角形；(2)用反证法证明不可能是直角三角形．40．七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动：活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实）已知：如图，直线、被直线所截，．求证：．证明：假设，则可以过点作，∵，∴（），∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（）矛盾，∴假设不成立，∴．活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程）已知:．求证：．证明：41．已知正整数x，y满足，且满足不等式组．(1)请用反证法证明：；(2)求所有符合条件的正整数对．42．已知实数a、b、c、m、n满足，．(1)当时，求证：；(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．43．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接．(1)求证：是等边三角形；(2)当时，求证：是直角三角形；(3)能否为等边三角形？请说明理由．44．甲、乙、丙、丁四个小朋友正在教室里玩耍，忽听“砰”的一声，讲台上的花盆被打破了．甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸”．如果刚才四个小朋友中只有一个人说了实话，那么这个小朋友是谁？谁闯了祸？45．人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了．已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF．证明：假设（1），过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，∴PQ//CD（

（2）

），∵AB//CD，且AB也过点G，∴与（

（3））矛盾，所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF．请完成上面（1）、（2）、（3）空：(1)___________；(2)___________；(3)请选择合理的依据（

）A．两点确定一条直线B．两直线平行，同位角相等C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行46．如图，在中，，点D、E、F分别在AB，BC，AC上，且，(1)求证：是等腰三角形；(2)当时，求的度数；(3)可能是等腰直角三角形吗？为什么？47.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义ab为数阵中第a行第b列的数．例如，