高三数学（理）一轮复习习题听课-第五单元-数列

第五单元数列第28讲数列的概念与简单表示法课前双击巩固1.数列的有关概念有关概念定义数列按照排列的一列数

数列的项数列中的

数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与之间的关系式

前n项和数列{an}中,Sn=

2.数列的表示法表示法定义列表法通过表格表示n与an的对应关系图像法用平面直角坐标系内的y轴一系列孤立的点表示

公式法通项公式an=

递推公式an+1=f(an);an+1=f(an,an1)3.数列的分类分类原则类型满足条件单调性递增数列n∈N*

递减数列

常数列an+1=an周期性周期数列对n∈N*,存在正整数常数k,使an+k=

其他标准有界数列存在正数M,使

摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项4.an与Sn的关系已知数列{an}的前n项和Sn,则an=S1常用结论求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用an≥an-1,an≥an+1(n≥2,n∈N*)或an题组一常识题1.[教材改编]已知数列的前几项为1,322,532,72.[教材改编]已知数列an满足an=(nλ)2n(n∈N*),若{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是3.[教材改编]在数列an中,若a1=1,an=1+1an-1(n≥2),则题组二常错题◆索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集N*或其子集{1,2,…,n};求数列前n项和Sn的最值时忽视项为零的情况;根据Sn求an时忽视对n=1的验证.4.在数列1,0,19,18,…,n-2n2中,05.在数列{an}中,an=n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=.

6.已知Sn=2n+3,则an=.

课堂考点探究探究点一根据数列的前几项求数列的通项公式1(1)数列an的前几项为12,3,112,8,212,…,则此数列的通项公式可能是 A.an=5n-42C.an=6n-5(2)数列32,54,78,916,…的一个通项公式为A.an=(1)n·2B.an=(1)n·2C.an=(1)n+1·2D.an=(1)n+1·2(3)数列an的前几项为7,77,777,7777,…,则此数列的通项公式可能是[总结反思]由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.同时也可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(1)n或(1)n+1,n∈N*来处理.式题(1)数列152,245,3510,4817,6326(2)数列13,45,97,169探究点二由an与Sn求通项公式an2(1)已知数列an的前n项和Sn=2n+n2+1(n∈N*),则通项公式为an=.

(2)已知数列an的前n项和Sn满足an+2SnSn1=0(n≥2,n∈N*),a1=12,则通项公式为an=[总结反思]已知Sn求an的常用方法是利用an=S1,n=1,Sn-S(1)先利用a1=S1,求得a1;(2)用n1替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=SnSn1(n≥2)便可求出当n≥2,n∈N*时的通项;(3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2,n∈N*时an的表达式,如果符合则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.式题(1)[2017·西宁五中月考]已知数列an的前n项和Sn=13n2+23,则通项公式为an=(2)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an2,则数列an的通项公式为an=探究点三数列的函数特征考向1求最大(小)项3(1)[2017·临川实验中学月考]已知an=n-2017n-2016(n∈N*),则在数列an的前100A.a1,a100 B.a100,a44C.a45,a44 D.a44,a45(2)已知数列an的通项公式为an=(n+1)1011n(n∈N*),则该数列的最大项是第[总结反思]求数列的最大项与最小项的常用方法:(1)将数列视为函数fx当x∈N*时所对应的一列函数值,根据fx的类型作出相应的函数图像,或利用求函数最值的方法,求出fx的最值,进而求出数列的最大(小)项;(2)通过通项公式an研究数列的单调性,利用an≥an-1,an≥an+1(n≥(3)比较法:若有an+1an=f(n+1)f(n)>0或an>0时,an+1an>1,则an+1>an,则数列{an}是递增数列,所以数列{an}的最小项为a1=f(若有an+1an=f(n+1)f(n)<0或an>0时,an+1an<1,则an+1<an,则数列{an}是递减数列,所以数列{an}的最大项为a1=f(1考向2单调性的应用4[2017·永州二模]已知数列an的前n项和Sn=3n(λn)6,若an为递减数列,则λ的取值范围是 (A.-∞,2 B.C.-∞,4 D.[总结反思]数列的单调性是数列最重要的性质之一,它在求参数的取值范围、证明不等式及恒成立等问题中有着广泛应用.应用数列单调性的关键是判断单调性,判断数列单调性的常用方法有两个:(1)利用数列对应的函数的单调性判断;(2)对数列的前后项作差(或作商),利用比较法判断.强化演练1.【考向1】已知数列{an}的通项公式为an=-23n,则数列{an}的最大项为 A.a1 B.a2C.a3 D.a42.【考向1】已知数列{an}的通项公式为an=49n-123n-1,则数列A.有最大项,没有最小项B.有最小项,没有最大项C.既有最大项又有最小项D.既没有最大项又没有最小项3.【考向2】设函数fx=12x-1,x<2,(k-2)x,x≥2,数列{an}的通项公式为anA.-∞,2 B.C.-∞,74 D4.【考向1】数列an的通项公式为an=(2n+1)12n1,则数列a5.【考向2】若an=2n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N*,且数列{an}为递增数列,则实数λ的取值范围为.

探究点四由数列的递推关系式求通项公式考向1形如an+1=an+fn,求an5[2017·衡水中学六调]若数列an满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则1a1+1a2+…+1aA.20172018 B.C.40322017 D.[总结反思]形如an+1=an+f(n)(f(n)是可以求和的)的递推公式求通项公式时,常用累加法求出ana1与n的关系式,进而得到an的通项公式.考向2形如an+1=an·fn,求an6[2017·成都二诊]在数列an中,a1=1,an=n2n2-1an1(n≥2,n∈N*),则数列ann2[总结反思]形如an+1=an·f(n)(f(n)是可以求积的)的递推公式求通项公式时,常用累乘法求出ana1与n的关系式,进而得到a考向3形如an+1=pan+q,求an7[2017·黄冈中学三模]已知数列an满足an+1=3an+2,且a1=2.(1)求证:数列an+1(2)求数列an的通项公式

[总结反思]形如an+1=pan+q的递推关系式求通项公式时,一般先构造公比为p的等比数列{an+x},即将原递推关系式化为an+1+x=p(an+x)的形式,再求出数列{an+x}的通项公式,最后求{an}的通项公式.考向4形如an+1=AanBan+C(A,B8[2017·湖北六校联合体联考]已知数列an满足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*),若bn+1=(n2λ)·1an+1(n∈N*),b1=32λ,且数列bn是递增数列,则实数A.λ<45 B.λ<C.λ<32 D.λ<[总结反思]形如an+1=AanBan+C(A,B,C为常数)的递推关系式求通项公式时,一般对递推式两边同时取倒数,化为1an+1+x=CA1an+x的形式,构造公比为C强化演练1.【考向2】已知a1=2,an+1=2nan,则数列an的通项公式an等于 (A.2n2-nC.2n2-n2.【考向4】已知数列{an}满足a1=1,an+1=2anan+2(n∈N*),则数列{an}A.an=2n+1 C.an=nn+1 3.【考向3】[2017·山西实验中学模拟]在数列an中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4xy+1=0上,则数列an的通项公式为4.【考向1】已知数列an满足an+1an=2n,且a1=1.求数列an

第29讲等差数列及其前n项和课前双击巩固1.等差数列中的有关公式已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则等差数列定义式(n≥2,d为常数)

等差中项A=(A是a与b的等差中项)

通项公式或

前n项和公式Sn==

2.等差数列的性质已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和.(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an==.

(2)数列Sm,S2mSm,S3mS2m,…成数列.

3.等差数列与函数的关系(1)等差数列{an}的通项公式可写成an=,当d≠0时,它是关于n的,它的图像是直线y=dx+(a1d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群的点.

注:当d>0时,{an}是数列;当d<0时,{an}是数列;当d=0时,{an}是.

(2)前n项和公式可变形为Sn=,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的,它的图像是抛物线y=d2x2+a1-d2注:若a1>0,d<0,则Sn存在最值;若a1<0,d>0,则Sn存在最值.

常用结论等差数列的性质1.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,Sn是{an}的前n项和,则有以下结论:(1){a2n}是等差数列,公差为2d1.(2){pan+qbn}是等差数列(p,q都是常数),且公差为pd1+qd2.(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md1的等差数列.(4)Snn成等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是{an}的公差的1(5)数列{pan},{an+p}都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1.2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为2n,则S偶S奇=nd,S奇S偶(2)若项数为2n1,则S偶=(n1)an,S奇=nan,S奇S偶=an,S奇S偶=3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,它们之间的关系为anbn题组一常识题1.[教材改编]在等差数列an中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1=2.[教材改编]在等差数列an中,a2=1,a6=5,则S7=3.[教材改编]在等差数列an中,S4=4,S8=12,则S12=4.[教材改编]已知等差数列an的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m=题组二常错题◆索引:忽视等差数列中项为0的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号判断不正确5.在等差数列{an}中,a1=28,公差d=4,则前n项和Sn取得最小值时n的值为.

6.首项为20的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是.

7.已知等差数列an的通项公式为an=11n,则|a1|+|a2|+…+|a20|=课堂考点探究探究点一等差数列的基本运算1(1)[2017·蚌埠质检]已知等差数列an的前n项和为Sn,且S6=24,S9=63,则a4= ()A.4 B.5C.6 D.7(2)公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,则λ的值为 (A.15 B.21C.23 D.25[总结反思](1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.式题(1)[2017·鹰潭二模]等差数列an的前n项和是Sn,且a3=1,a5=4,则S13= ()A.39 B.91C.48 D.51(2)已知等差数列an的前n项和为Sn,且3a3=a6+4,若S5<10,则a2的取值范围是 (A.-∞,2 B.C.1,+∞ 探究点二等差数列的性质及应用2(1)[2017·沈阳东北育才学校模拟]在等差数列an中,a5+a6=4,则log2(2a1·2a2·…·2a10A.10 B.20C.40 D.2+log25(2)在等差数列an中,a1=2017,其前n项的和为Sn,若S20132013S20112011=2,则(3)设Sn是等差数列an的前n项和,若S672=2,S1344=12,则S2016= (A.22 B.26C.30 D.34[总结反思]利用等差数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有am+an=ap+aq”,或者“常用结论”中的有关公式可以有效地简化计算.式题(1)在等差数列an中,若a3+a5+a7+a9+a11=45,S3=3,那么a5= ()A.4 B.5C.9 D.18(2)两等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且SnTn=7n+2n(3)一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为 ()A.18 B.12C.10 D.6探究点三等差数列的判定与证明3已知数列an满足a1=23,an+1=-2an-33(1)证明:数列1an(2)求an的通项公式

[总结反思]判断数列{an}是否为等差数列,通常有两种方法:①定义法,证明anan1=d(n≥2,d为常数),用定义法证明等差数列时,常选用两个式子an+1an=d或anan1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”;②等差中项法,证明2an=an1+an+1(n≥2).式题[2018·齐齐哈尔八中月考]已知数列{an}是等差数列,且a1,a2(a1<a2)分别为方程x26x+5=0的两个根.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)在(1)中,设bn=Snn+c,求证:当c=12时,数列{

探究点四等差数列前n项和的最值问题4(1)[2017·福州期末]设等差数列an的前n项和为Sn,若公差d=2,S3=21,则当Sn取得最大值时,n的值为 ()A.10 B.9C.6 D.5(2)在等差数列an中,a1<0,S18=S36,则当Sn取得最小值时,n的值为 (A.18 B.27C.36 D.54[总结反思]求等差数列前n项和最值的常用方法:(1)二次函数法:用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值,但要注意n∈N*.(2)图像法:利用二次函数图像的对称性来确定n的值,使Sn取得最值.(3)项的符号法:当a1>0,d<0时,满足an≥0,an+1≤0的项数n,使Sn取最大值;当a1<0,d>0时,满足an≤0,an+1≥0的项数n,使Sn取最小值式题(1)[2017·大庆实验中学月考]设等差数列an的前n项和为Sn,a1<0且a6a5=811,则当Sn取最小值时,n的值为A.11 B.10C.9 D.8(2)[2018·湖北长阳一中月考]已知数列{an}为等差数列,若a11a10<1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为 A.11 B.19C.20 D.21第30讲等比数列及其前n项和课前双击巩固1.等比数列中的有关公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则等比数列定义式(n≥2,q≠0且q为常数)

等比中项Ga=bG(G是a与b通项公式或

前n项和公式当q=1时,Sn=;

当q≠1时,Sn==

2.等比数列的性质已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman=.

(2)若q≠1,或q=1且m为奇数,则数列Sm,S2mSm,S3mS2m,…成数列,其公比为.

3.等比数列与函数的关系(1)等比数列的通项公式可以写成an=a1qqn(q≠1),前n项和公式可以写成Sn=a1q-1qna1(2)①满足a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,{a③当q=1时,数列{an}是常数列;④当q<0时,数列{an}为摆动数列.常用结论1.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),1an,{an2},{an·bn2.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.3.一个等比数列各项的k次幂,仍组成一个等比数列,新公比是原公比的k次幂.4.{an}为等比数列,若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,T2nTn,5.当q≠0,q≠1时,Sn=kk·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件,此时k=a16.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.题组一常识题1.[教材改编]已知数列an是递增的等比数列,若a2=2,a4a3=4,则此数列的公比q=2.[教材改编]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a6=8a3,S3=2,则S6=.

3.在14和4之间插入3个数,使它们与这两个数依次构成等比数列,则这3个数的积为题组二常错题◆索引:“G2=ab”是“a,G,b成等比数列”的必要不充分条件;运用等比数列的前n项和公式时,忽略q=1的情况;等比数列的性质应用不熟导致出错.4.在等比数列{an}中,a3=4,a7=16,则a3与a7的等比中项为.

5.数列{an}的通项公式是an=an(a≠0),则其前n项和为Sn=.

6.若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则lna1+lna2+…+lna20=.

7.在等比数列{an}中,an>0,a5a1=15,a4a2=6,则a3=.

课堂考点探究探究点一等比数列的基本运算1(1)[2017·揭阳二模]已知等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5= ()A.1 B.1C.14 D.(2)[2017·山西三区八校二模]设等比数列an的前n项和为Sn,若a3=3,且a2016+a2017=0,则S101等于 (A.3 B.303C.3 D.303[总结反思](1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1,an,q,n,Sn,已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时,注意对q=1和q≠1的分类讨论.式题(1)在等比数列{an}中,公比q=2,若a2与2a3的等差中项为5,则a1= ()A.3 B.2C.1 D.1(2)[2017·洛阳三模]已知等比数列an满足a1=12,a2a8=2a5+3,则a9= (A.12 B.C.648 D.18(3)[2017·四川师范大学附属中学三模]已知数列an为各项均为正数的等比数列且满足a6a2=30,a3a1=3,则数列an的前5项和S5= (A.15 B.31C.40 D.121探究点二等比数列的性质及应用2(1)在等比数列an中,a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为 ()A.2 B.4C.8 D.16(2)[2017·吉林大学附属中学摸底]等比数列an的前5项的和S5=10,前10项的和S10=50,则它的前20项的和S20= (A.160 B.210C.640 D.850[总结反思](1)在等比数列的基本运算问题中,一般是利用通项公式与前n项和公式,建立方程组求解,但如果灵活运用等比数列的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman=apaq”,则可减少运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后组成的新数列也具有某种性质,例如在等比数列中,Sk,S2kSk,S3kS2k,…也成等比数列,公比为qk(q≠1).式题(1)在等比数列an中,a3,a15是方程x26x+8=0的根,则a1a17a9A.22 B.2C.1 D.2(2)设正项等比数列an的前n项和为Sn,若S3=3,S9S6=12,则S6=探究点三等比数列的判定与证明3[2017·重庆调研]已知数列an的首项a1=35,an+1=3an4an(1)求证:数列1an(2)记Sn=1a1+1a2+…+1an,若Sn<

[总结反思]判定一个数列为等比数列的常见方法:(1)定义法:若an+1an=q(d是常数),(2)等比中项法:若an+12=anan+2(n∈N*),则数列(3)通项公式法:若an=Aqn(p,q为常数),则数列an是等比数列式题[2017·北京海淀区模拟]在数列an中,an+12+2an+1=anan+2+an+an+2,且a1=2,a2(1)证明:数列an+1(2)求数列an的前n项和Sn

第31讲数列求和课前双击巩固1.公式法(1)公式法①等差数列的前n项和公式:Sn==.(其中a1为首项,d为公差)

②等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=;

当q≠1时,Sn==.(其中a1为首项,q为公比).

(2)分组求和法一个数列的通项是由的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加减.

2.倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an中,到首末两端等“距离”的两项的和相等或等于,那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法(2)并项求和法数列{an}满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用求其前n项和.如通项公式形如an=(1)nf(n)的数列.

3.裂项相消法把数列的通项拆成,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

4.错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之构成的,那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法.

常用结论1.一些常见的前n项和公式(1)1+2+3+4+…+n=n((2)1+3+5+7+…+2n1=n2.(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.2.常用的裂项公式(1)1n(n+1(2)1(2n(3)1n+n+1题组一常识题1.[教材改编]若数列an的通项公式为an=2n1+n,则数列an的前n项和Sn=2.[教材改编]若数列an的通项公式为an=13n-23n+13.[教材改编]若数列an的通项公式为an=(n1)×2n1,则数列an的前n项和Sn=题组二常错题◆索引:用裂项相消法求和时不能准确裂项;用错位相减法求和时易出现符号错误、不能准确“错项对齐”等错误;并项求和时不能准确分组.4.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=4n21(n∈N*),则数列1Sn的前n项和为5.3×21+4×22+5×23+…+(n+2)·2n=.

6.在数列{an}中,a1=2,a2=2,an+2an=1+(1)n,n∈N*,则S60的值为.

7.已知数列{an}满足an+1=12+an-an2,且a1=1课堂考点探究探究点一分组求和法求和1在公差不为零的等差数列an中,a2=4,且a1,a3,a9成等比数列.(1)求数列an的通项公式(2)若bn=an+2an,求数列bn的前n项和

[总结反思]某些数列在求和时是将数列的通项转化为若干个等差或等比或可求和的数列通项的和或差,从而间接求得原数列的和.注意在含有字母的数列中要对字母进行讨论.式题已知数列an的前n项和Sn=n2+n2(n∈(1)求数列an的通项公式(2)设bn=2n+(1)nan,求数列bn的前2n项和

探究点二错位相减法求和2在等差数列an中,a2=2,a3+a5=8,在数列bn中,b1=2,其前n项和Sn满足bn+1=Sn+2(n∈N*)(1)求数列an,bn(2)设cn=anbn,求数列cn的前n

[总结反思]错位相减法求和,主要用于求{an·bn}的前n项和,其中an,{bn}分别为等差数列和等比数列.式题[2017·哈尔滨二模]设Sn是数列an的前n项和,已知a1=3,an+1=2Sn+3(n∈N*).(1)求数列an的通项公式(2)令bn=(2n1)an,求数列bn的前n项和Tn

探究点三裂项相消法求和考向1形如an=13已知正项数列an满足a1=1,1an+1+1an1an+11an=4,数列bn满足1bn=1an+1+1an,[总结反思]数列的通项公式形如an=1n+n+k时,可转化为an=1k考向2形如an=14[2017·青岛二模]在公差不为0的等差数列an中,a22=a3+a6,且a3为a1与a11(1)求数列an的通项公式(2)设bn=-1nnan-12a

[总结反思](1)数列的通项公式形如an=1n(n+k)时,可转化为an=1k(2)裂项相消法求和的基本思路是变换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.强化演练1.【考向1】数列an的通项公式为an=1n+n+1,若该数列的前k项之和等于9,A.98 B.99C.96 D.972.【考向1】数列{an}的通项公式为an=1n+n+2(n∈N*),若该数列的前n项和为Sn,则SnA.n+2B.n+2+n+1C.1D.13.【考向2】若数列an满足a1=1,且对任意的m,n∈N*都有am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+…+1A.4021 B.C.1910 D.4.【考向2】[2017·成都九校联考]已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a41(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log2(16·an),求证:数列1bnbn+1的前n

第32讲数列的综合问题课前双击巩固1.数列的综合应用(1)等差数列和等比数列的综合等差数列与等比数列相结合的综合问题主要是应用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式,建立关于两个基本量:首项a1和公差d(或公比q)的方程组,以及解决等差中项、等比中项等问题.(2)数列和函数数列是特殊的函数,等差数列的通项公式和前n项和公式分别是关于n的一次函数和二次函数,等比数列的通项公式和前n项和公式在公比不等于1的情况下是公比q的指数型函数,可以根据函数的性质解决一些数列问题.(3)数列和不等式以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题,体现了在知识交汇点上命题的特点.这类问题一般通过数列求通项以及求和去解决一个不等式问题,这里的不等式通常是关于正整数的不等式,可以通过比较法、基本不等式法、导数方法和数学归纳法解决.2.数列应用题常见模型等差数列模型如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差等比数列模型如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比递推数列模型如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,即随着项的变化而变化时,应考虑an与an1的递推关系,或前n项和Sn与Sn1之间的递推关系题组一常识题1.[教材改编]在等比数列an中,2a1,32a2,a3成等差数列,则等比数列an2.[教材改编]设函数f(x)=xm+ax的导数为f'(x)=2x+1,则数列1fn(n∈N*)的前n项和为3.[教材改编]从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后填满水(视为操作一次),再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,要使酒精浓度低于10%,则至少应操作次.

题组二常错题◆索引:数列实际问题的两个易错点:项数和年(月)份数4.已知数列{an}是等差数列,且a1+a7=8,数列{bn}是等比数列,且b5=a8+4a3,则b2b5.某公司去年产值为a,计划在今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为.

6.一个凸多边形的内角度数成等差数列,其中最小的内角为120°,公差为5°,那么这个多边形的边数n等于.

课堂考点探究探究点一等差、等比数列的综合问题1[2017·北京朝阳区二模]已知数列{an}是首项a1=13,公比q=13的等比数列.设bn=2log13an1(n∈N(1)求证:数列{bn}为等差数列;(2)设cn=an+b2n,求数列{cn}的前n项和Tn.

[总结反思]解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概念,设出相应的基本量,然后充分使用通项公式、求和公式、数列的性质等确定基本量.解综合题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示问题的内在联系和隐含条件.式题[2018·安徽六安一中模拟]已知等差数列an的首项a1=1,公差d≠0,等比数列bn满足a1=b1,a2=b2,a5=b3(1)求数列an,bn(2)设数列{cn}对任意的n∈N*,均有c1b1+c2b2+…+cnbn=an+1

探究点二数列在实际问题与数学文化问题中的应用2(1)[2017·宝鸡二模]在2013年至2016年期间,甲每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄,若年利率q保持不变,且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期,到2017年6月1日甲去银行不再存款,而是将所有存款的本息全部取回,则取回的金额是 ()A.m1+qB.m1+qC.m1+D.m1+(2)《九章算术》是我国古代的数学名著之一,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种重量单位),在这个问题中,甲得到 ()A.53钱 B.3C.43钱 D.5[总结反思]求解数学文化问题的一般步骤:(1)阅读数学文化背景材料,获取相关数学信息;(2)联想相关的数学模型,转化为纯数学问题;(3)利用相关数学知识与数学方法求解转化后的数学问题;(4)回答数学文化问题.探究点三特殊的数列问题3(1)[2017·三门峡调研]定义:若数列{an}对任意的正整数n,都有an+1+an=d(d为常数),则称{an}为“绝对和数列”,d叫作“绝对公和”.在“绝对和数列”{an}中,a1=2,绝对公和为3,则其前2017项的和S2017的最小值为 (A.2017 B.3014C.3022 D.3032(2)[2017·全国卷Ⅰ]几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20