高一数学（人教A版）试题必修二课时跟踪检测（三十六）直线与平面垂直的判定定理

课时跟踪检测(三十六)直线与平面垂直的判定定理(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)A级——达标评价1．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是()A．平面DD1C1C B．平面A1DBC．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB12．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于()A．20° B．70°C．90° D．110°3．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论：①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．其中正确结论的个数是()A．1 B．2C．3 D．44.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是()A．异面 B．平行C．垂直 D．不确定5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且AC＝eq\f(1,2)BC，则直线B1C1与平面ABC1所成的角为()A．30° B．45°C．60° D．90°6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________.7.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________.8．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)9．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2)，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.10．(12分)如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：AE⊥PB.B级——重点培优11．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A．90° B．60°C．45° D．30°12.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH13．(10分)如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB＝8，∠BAC＝30°，圆锥的母线与底面所成的角为60°，求点A到平面PBC的距离.14．(16分)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)求AE与平面BDE所成角的大小．课时跟踪检测(三十六)1．选D∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1⊂平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.2．选B∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角．又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.3．选A设平面ABC外一点P及其在该平面内的投影为O，则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO，△PBO，△PCO全等，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心，只有③正确．4．选C∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l⊂α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，BA，BC⊂平面ABC，∴l⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C.5．选A∵∠BAC＝90°，AC＝eq\f(1,2)BC，∴∠CBA＝30°.∵BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1⊂平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC与平面ABC1所成的角，即BC与平面ABC1所成的角为30°.∵棱柱中B1C1∥BC，∴B1C1与平面ABC1所成的角为30°.6．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形．答案：47．解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2.答案：28．解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)9．证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中点，所以EF⊥PC.又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r(2)＝BC，F是PC的中点，所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，BF，EF⊂平面BEF，所以PC⊥平面BEF.10．证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE.因为PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.11.选C如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D­ABC的体积最大．∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直线BD和平面ABC所成的角为45°.12．选B因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.13．解：因为AB是直径，则AC⊥BC，且AB＝8，∠BAC＝30°，可得AC＝4eq\r(3)，BC＝4，又因为PO⊥底面圆O，圆锥的母线与底面所成的角为∠PAO＝60°，可知△PAB为等边三角形，所以圆锥的母线PA＝8，PO＝4eq\r(3)，设点A到平面PBC的距离为h，利用等体积法VP­ABC＝VA­PBC，即eq\f(1,3)×4eq\r(3)×eq\f(1,2)×4×4eq\r(3)＝eq\f(1,3)×h×eq\f(1,2)×4×eq\r(82－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2)，解得h＝eq\f(8\r(15),5)，即点A到平面PBC的距离为eq\f(8\r(15),5).14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD⊂平面BED，DE⊂平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.(2)设AC∩BD＝O，连接EO.如图所示，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射