山西省晋城市陵川一中2026届高三上数学期末联考模拟试题含解析

山西省晋城市陵川一中2026届高三上数学期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设，则（）A． B． C． D．2．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．3．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．已知函数的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．6．已知随机变量满足，，.若，则（）A．， B．，C．， D．，7．音乐，是用声音来展现美，给人以听觉上的享受，熔铸人们的美学趣味．著名数学家傅立叶研究了乐声的本质，他证明了所有的乐声都能用数学表达式来描述，它们是一些形如的简单正弦函数的和，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．由乐声的数学表达式可知，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．下列函数中不能与函数构成乐音的是（）A． B． C． D．8．若向量，，则与共线的向量可以是（）A． B． C． D．9．在展开式中的常数项为A．1 B．2 C．3 D．710．已知函数在上可导且恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、11．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．12．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若随机变量的分布列如表所示，则______，______．-10114．在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为__________________.15．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（—）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为__________．16．若函数，则的值为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，，分别是三个内角，，的对边，．（1）求；（2）若，，求，．18．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．19．（12分）已知数列和满足：.（1）求证:数列为等比数列；（2）求数列的前项和.20．（12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、．选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布．（1）求物理原始成绩在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记表示这3人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．（附：若随机变量，则，，）21．（12分）已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（Ⅰ）若，求曲线的方程；（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的最大值为，且，求的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】试题分析：，．故C正确．考点：复合函数求值．2、D【解析】

可求出集合，，然后进行并集的运算即可．【详解】解：，；．故选．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．3、D【解析】

设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.4、C【解析】

不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案.【详解】不妨设在第一象限，故，，即，即，解得，（舍去）.故选：.【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力.5、A【解析】

先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可.【详解】由图象可知A＝1，∵，所以T＝π，∴.∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1，∴φ，结合0＜φ，∴φ.∴.∴sin.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题.6、B【解析】

根据二项分布的性质可得：，再根据和二次函数的性质求解.【详解】因为随机变量满足，，.所以服从二项分布，由二项分布的性质可得：，因为，所以，由二次函数的性质可得：，在上单调递减，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项分布的性质及二次函数的性质的应用，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.7、C【解析】

由基本音的谐波的定义可得,利用可得,即可判断选项.【详解】由题,所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍,称为基本音的谐波,由,可知若,则必有,故选:C【点睛】本题考查三角函数的周期与频率,考查理解分析能力.8、B【解析】

先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可.【详解】故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.9、D【解析】

求出展开项中的常数项及含的项，问题得解。【详解】展开项中的常数项及含的项分别为：,，所以展开式中的常数项为：.故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。10、A【解析】

设，利用导数和题设条件，得到，得出函数在R上单调递增，得到，进而变形即可求解.【详解】由题意，设，则，又由，所以，即函数在R上单调递增，则，即，变形可得.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及其应用，以及利用单调性比较大小，其中解答中根据题意合理构造新函数，利用新函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.11、C【解析】

根据，两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且，所以，所以，所以，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.12、C【解析】

根据题意，由函数的图象变换分析可得函数为偶函数，又由函数在区间上单调递增，分析可得，解可得的取值范围，即可得答案.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象，由于函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，由，得，函数在区间上单调递增，则，得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数的奇偶性，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

首先求得a的值，然后利用均值的性质计算均值，最后求得的值，由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知，解得（舍去）或.则，则，由方差的计算性质得.【点睛】本题主要考查分布列的性质，均值的计算公式，方差的计算公式，方差的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14、【解析】

利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式各项系数和为，得，所以，的展开式通项为，令，得，因此，展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.15、2【解析】

根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果.【详解】画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场．故答案为：2【点睛】本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.16、【解析】

根据题意，由函数的解析式求出的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，函数，则，则；故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的性质、对数运算法则的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2），或，.【解析】

（1）利用正弦定理，转化原式为，结合，可得，即得解；（2）由余弦定理，结合题中数据，可得解【详解】（1）由及正弦定理得．因为，所以，代入上式并化简得．由于，所以．又，故．（2）因为，，，由余弦定理得即,所以．而，所以，为一元二次方程的两根．所以，或，．【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.18、（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．【详解】（1）设，则，，，，由题意得，，椭圆的方程为；

（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

设，，当时，设直线的倾斜角为，则，，，，∴当时，，，．当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为2．【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．19、（1）见解析（2）【解析】

（1）根据题目所给递推关系式得到，由此证得数列为等比数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，判断出，由此利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1）所以数列是以3为首项，以3为公比的等比数列.（2）由（1）知，∴为常数列，且，∴，∴∴【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查裂项求和法，属于中档题.20、（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）见解析．【解析】

（Ⅰ）根据正态曲线的对称性，可将区间分为和两种情况，然后根据特殊区间上的概率求出成绩在区间内的概率，进而可求出相应的人数；（Ⅱ）由题意得成绩在区间[61,80]的概率为，且，由此可得的分布列和数学期望．【详解】（Ⅰ）因为物理原始成绩，所以．所以物理原始成绩在（47，86）的人数为（人）．（Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]内的概率为．所以随机抽取三人，则的所有可能取值为0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列为0123所以数学期望．【点睛】（1）解答第一问的关键是利用正态分布的三个特殊区间表示所求概率的区间，再根据特殊区间上的概率求解，解题时注意结合正态曲线的对称性．（2）解答第二问的关键是判断出随机变量服从二项分布，然后可得分布列及其数学期望．当被抽取的总体的容量较大时，抽样可认为是等可能的，进而可得随机变量服从二项分布．21、（Ⅰ）和.；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】

(Ⅰ)由，可得，解出即可；(Ⅱ)设点，设直线，与椭圆方程联立可得：，利用，根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可；(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，且，设直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面釈计算公式、基本不等式的性质，即可求解.【详解】(Ⅰ)由题意：，，解得，则曲线的方程为：和.(Ⅱ)证明：由题意曲线的渐近线为：，设直线，则联立，得，，解得：，又由数形结合知.设点，则，，，，，即点在直线上.(Ⅲ)由(Ⅰ)知，曲线，点，设直线的方程为：，联立，得：，