（人教A版）必修第二册高一数学下学期 立体几何初步 章末检测1（易）（解析版）

专题8.1立体几何初步章末检测1（易）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥【解题思路】根据空间几何体的概念和性质可判断.【解答过程】球面上两点与球心共线时，有无数个大圆，故A错误.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面的射影是底面的中心，所以是正棱锥，B正确.用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故C错误.以直角三角形任意一直角边为旋转轴，旋转一周所得的旋转体都是圆锥，故D错误.故选：B.2．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（

）A．22 B．2 C．2 D．【解题思路】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【解答过程】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中OB=O'B'=1方法二：直观图的面积为1×1=1，原图的面积与直观图的面积之比为22，故原图的面积为23．已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3π、12π，高为6，则该圆台的体积为（A．36π B．40π C．42π【解题思路】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.【解答过程】由题意可知，该圆台的体积为V=1故选：C.4．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（

）A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c【解题思路】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可.【解答过程】对于A，若直线a，b异面，b，c异面，则a，c可能是平行、相交、异面的任意一种，如在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AD与或AD与BD1异面，BD1与CD异面，AD与或AD与BD1异面，BD1与A1对于B，若直线a，b相交，b，c相交，则a，c可能是平行、相交、异面的任意一种，如在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB与BD1相交于点或AB与BD1相交于点B，BD1与AD1相交于点D1或AB与BD1相交于点B，BD1与A1D1对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确；对于D，若a⊥b，b⊥c，则a与c可能是平行、相交、异面的任意一种，如在正方体ABCD−A1B1C1D或AB⊥AA1，AA1⊥BC，AB或AB⊥AA1，AA1⊥5．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=BA．30° B．45° C．60° D．90°【解题思路】取B1C1的中点E，易得∠BDE（或其补角）为异面直线BD【解答过程】如图，取B1C1的中点E，连接BE,DE所以∠BDE（或其补角）即为异面直线BD与AC所成的角，由题可知BD=EB=1+122=6．已知m、l是两条不同直线，α、β是两个不同平面，给出下列说法：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若m⊂α,l⊂β且l⊥m，则α⊥β；③若l⊂β,l⊥α，则α⊥β；④若m⊂α,l⊂β且α//β，则l//m．其中正确的序号是（

）A．①③ B．①②③C．①③④ D．②④【解题思路】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【解答过程】①若l垂直于α内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知l⊥α，正确；②若m⊂α,l⊂β且l⊥m，则α,β可能相交或平行，错误③由l⊂β，l⊥α，根据面面垂直的判定有α⊥β，正确；④若m⊂α,l⊂β且α//β，则l//m或l,m异面都有可能，错误；因此正确命题的序号为①③.故选：A．7．下列条件中能推出平面α//平面β的是（

A．存在一条直线a，a//αB．存在一条直线a，a⊂α，aC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//βD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β【解题思路】A、B、C，画图举例判断；D.由面面平行的判定定理判断.【解答过程】A.如图所示：，存在一条直线a，a//α，a//β，但平面αB.如图所示：，存在一条直线a，a⊂α，a//β，但平面α与平面βC.如图所示：，存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，但平面αD.如图所示：，在平面β内过b上一点P作c//a，则c//α，又b//α8．如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具.它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个四棱台.上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为25cm，下底面边长为15cm，侧棱长为10cm，则该米斗的容积约为（

）A．2600cm3 B．2900C．3100cm3 D．3500【解题思路】画出图形，作出辅助线，求出棱台的高，利用棱台体积公式进行计算.【解答过程】画出此四棱台，如下：则AB=BC=CD=DA=15cm，EF=FG=GH=HE=25cm，AE=BF=CG=DH=10cm，过点B作BP⊥底面EFGH于点P，点P落在对角线HF上，过点P作PQ⊥EF于点Q，连接BQ，因为EF⊂平面EFGH，所以BP⊥EF，因为BP∩PQ=P，BP,PQ⊂平面BPQ，所以EF⊥平面BPQ，因为BQ⊂平面BPQ，所以EF⊥BQ，其中QF=12EF−AB由勾股定理得：BQ=BF2正方形EFGH的面积为S1=252=625cm2，正方形则该米斗的容积V=13故选：B.二、多选题9．m，n为空间中两条不重合直线，α为空间中一平面，则下列说法不正确的是（

）A．若m//n，n⊂α，则m//α B．若m⊥αC．若m//α，n⊂α，则m//n D．若m⊥α【解题思路】根据线面平行的判定定理和性质定理可判断AC的正误，根据线面垂直的性质可判断BD的正误.【解答过程】对于A，当m⊂α时，虽有m//n，n⊂α，但对于B，若m⊥α，则m垂直于平面α内的任意一条直线，而m//n，故n垂直于平面α内的任意一条直线，故对于C，若m//α，n⊂α，则m//对于D，若m⊥α，m⊥n，则n//α或10．在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是面A．NP∥DC1 B．MN∥C．D1C⊥平面MNP D．PM与B【解题思路】A．利用三角形中位线进行证明；B．通过线面平行的定理证明；C．通过线面垂直的性质进行判断；D．通过平行的传递性找出∠DBC1即为PM与【解答过程】连接A1C1,A1D，则连接B1D1，B1A，则MN∥AD1，MN⊄∴MN//平面ACD1，即MN连接B1D1,B1A,AD1∵PM∥B1D1∥BD，∴∠DBC1故选：ABD．11．下列各选项中，正确的是（

）A．在空间四边形ABCD中，AC与BD一定异面B．△ABC与△A'B'C'中，已知C．在直平行六面体ABCD−A'B'D．在四棱锥S−ABCD中，若底面四边形ABCD不存在外接圆，则该四棱锥的侧棱长不可能全相等【解题思路】根据异面直线、空间角、充分和必要条件、线面垂直、四棱锥等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】A选项，在空间四边形ABCD中，若AC与BD共面，则A,B,C,D共面，与四边形ABCD是空间四边形矛盾，所以AC与BD异面，A选项正确.B选项，△ABC与△A'B若BC//B'若∠B=∠B'，则所以BC//B'C选项，在直平行六面体ABCD−A'B但BD与AC不一定垂直，所以不一定有BD⊥平面AAD选项，设顶点S在底面的射影是O，若侧棱长相等，则△SOA,△SOB,△SOC,△SOD全等，则OA=OB=OC=OD，所以A,B,C,D四点共圆，与已知矛盾，所以该四棱锥的侧棱长不可能全相等，D选项正确.故选：ABD.三、填空题12．已知在如图所示的等腰梯形ABCD中，AB=1,DC=3，AD=2，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为22【解题思路】如图所示，过A,B作AE⊥DC,BF⊥DC，垂足分别为E,F，求出AE=1，即得解.【解答过程】解：如图所示，过A,B作AE⊥DC,BF⊥DC，垂足分别为E,F.依题意，AB=1,DC=3,DE=1,∵AD=2，所以AE=1，可知等腰梯形ABCD的面积为1根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的24，所以该梯形的直观图的面积为2故答案为：22113．已知正方体ABCD−A1B1C①AD1∥BC1；②A【解题思路】根据线面平行的判定定理，结合正方体的性质、平行四边形的判定定理和性质、平行公理进行逐一判断即可.【解答过程】因为AB∥C1D1，AB=C1如果AD1∥DC1，而AD1∥因为AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1故答案为：①③.14．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、泰、汉时期的数学成就，内容十分丰富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其中PD⊥平面ABCD，若DE⊥PA，DF⊥PB，DG⊥PC，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体EFGABCD的外接球表面积为20π【解题思路】判断出几何体EFGABCD外接球球心的位置，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【解答过程】设AC∩BD=O，连接BE,BG.依题意，四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD,AB⊥AD,BC⊥CD，由于PD⊥平面ABCD，AD,CD,AB,BC⊂平面ABCD，所以PD⊥AD,PD⊥CD,PD⊥AB,PD⊥BC，由于PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，由于DE⊂平面PAD，所以AB⊥DE，由于DE⊥PA，PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB，所以DE⊥面PAB，由于BE⊂平面PAB，所以DE⊥BE.同理可证得DG⊥BG，由于DF⊥PB，所以△BDF,△BDA,△BDC,△BDE,△BDG都是以BD为斜边的直角三角形，所以几何体EFGABCD外接球球心是O，且半径R=1所以外接球的表面积为4πR2四、解答题15．如图，正方形O'A'B'【解题思路】根据斜二测画法，OA=O'A'，OB=2O'【解答过程】∵O'A'如图原图形OABC中OA=O'A'=a，∴OC=OA2+OB2=3a，∴16．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是BC的中点，O为底面中心，∠SHO=60°，(1)求出正六棱锥的高；斜高；侧棱长(2)求出六棱锥的表面和体积【解题思路】（1）由条件依次求得SO，SH，SB的长即可.（2）由棱锥表面积及体积的计算公式，求得表面积和体积.【解答过程】（1）因为正六棱锥的底面周长为24，所以正六棱锥的底面边长为4．在正六棱锥S−ABCDEF中，SB=SC，H为BC中点，所以SH⊥BC．因为O是正六边形ABCDEF的中心，所以SO为正六棱锥的高．OH=32BC=23，在Rt△SOH中，在Rt△SOH中，SH=在Rt△SHB中，SH=43，BH=2，所以故该正六棱锥的高为6，斜高为43，侧棱长为2（2）△SBC的面积为12BC×SH=12×4×4所以正六棱锥的表面积为6×43+6×8317．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E(1)证明：E、C、D1、F四点共面；(2)设D1F∩CE=O，证明：A，O，【解题思路】（1）利用三角形的中位线及平行四边形的性质证明EF//CD（2）根据平面的性质，证明点O∈平面ABCD，O∈平面ADD1A1，从而A，O，D三点共线.【解答过程】（1）证明：如图，连接EF，A1B，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F又BC//A1D1，且BC=A1∴EF//D1C，所以E、C、D（2）由D1F∩CE=O，∴O∈D1F，又D1F⊂平面ADD1A1，∴O∈平面ADD1∴O∈AD，即A，O，D三点共线.18．如图，正方体ABCD−A1B1C(1)求证：EF//平面ABCD；(2)求异面直线EF与B1【解题思路】（1）连接AC，根据EF//AC，结合判定定理即可证明；（2）根据题意，∠ACB是两异面直线EF与B1【解答过程】（1）证明：连接AC，∵E、F分别为AD1、CD又∵EF⊄平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴EF//平面ABCD．（2）解：∵EF//AC，∴∠ACB是两异面直线EF与B1∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45∴两异面直线EF与B119．如图,四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形,∠ABC=∠BAD=π2,PB⊥底面ABCD,PB=AB=AD=12BC=1,设平面PAD(1)证明:BC∥l;(2)证明:l⊥平面PAB;(3)求点B到平面PCD的距离．【解题思路】(1)先根据线面平行的判定定理证明BC∥平面PAD,再根据线面平行的性质定理即可证明BC∥l(2)先根据线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB,由(1)的结论BC∥l,即可证明l⊥平面PAB;(3)根据等体积法VB−PCD=VP−BCD只需求【解答过程】（1）证明:由题可知BC∥