2025年大学《统计学》专业题库及答案

2025年大学《统计学》专业题库及答案一、描述统计与数据可视化1.（单选）2023年某市人社局公布5000名应届本科毕业生起薪数据，其箱线图显示下须止于3.2万元，上须止于15.8万元，箱体内无异常点。若起薪服从右偏分布，则下列叙述正确的是A.均值一定小于中位数 B.均值一定大于中位数 C.箱体高度等于四分位距 D.上须长度等于1.5IQR答案：C2.（单选）某电商平台把连续30天的日GMV（百万元）绘制成茎叶图，其中茎单位为10，叶单位为1，发现“20|135”三片叶。若将数据同时乘以0.8再做对数变换ln(0.8x)，则变换后数据的变异系数将A.增大 B.减小 C.不变 D.无法判断答案：C3.（填空）某高校统计学期末成绩服从对称分布，已知其众数为76分，中位数为78分，则依据经验关系，其皮尔逊偏度系数近似值为______。答案：–0.124.（计算）某城市地铁早高峰15个站点的进站量（万人次）如下：12.3 11.7 13.5 10.9 14.2 12.8 11.1 13.0 12.5 11.4 12.9 13.8 11.6 12.1 12.7要求：（1）用“2.5%修剪均值”估计平均进站量；（2）给出基于bootstrap（B=1000）的95%置信区间（百分位数法）。答案：（1）修剪后数据去掉最小0.375与最大0.375个观测，剩余13.25个，线性插值得12.42；（2）R语言模拟得[11.97,12.89]（保留两位小数）。5.（综合）某医疗集团收集2021—2023年三年间共1095天的每日门诊量。（1）给出绘制日历热力的R代码框架（ggplot2）；（2）若发现2月份门诊量存在明显周循环，请说明如何用LOESS分解得到季节成分，并写出检验周循环显著性的零假设。答案：（1）```rlibrary(ggplot2);library(lubridate)df$date<as.Date(df$date)df$yearWeek<week(df$date)df$weekday<wday(df$date,label=TRUE)ggplot(df,aes(x=weekday,y=yearWeek,fill=outpatient))+geom_tile(color="white")+facet_wrap(~year)+scale_fill_viridis_c()```（2）stl模型中s.window="periodic"，零假设H0：每周7天系数相等。二、概率论基础与随机变量6.（单选）设X~U(–π/2,π/2)，则Y=tan(X)的分布属于A.柯西 B.正态 C.对数正态 D.t分布答案：A7.（单选）若随机变量X的矩母函数为MX(t)=exp(λ(e^t–1))，则P(X≥1)等于A.1–e^(–λ) B.e^(–λ) C.λe^(–λ) D.1–λe^(–λ)答案：A8.（填空）设二维随机变量(X,Y)的联合密度f(x,y)=2,0≤x≤y≤1，则E(X|Y=0.5)=______。答案：0.259.（证明）设Z1,Z2i.i.d.N(0,1)，证明X=Z1/Z2服从标准柯西分布，并写出其特征函数。答案：令U=Z1,V=Z2，联合密度f(u,v)=1/(2π)exp[–(u²+v²)/2]。做变换x=u/v,y=v，雅可比|J|=|y|，边缘密度fX(x)=∫–∞^∞|y|·1/(2π)exp[–y²(1+x²)/2]dy=1/(π(1+x²))，即柯西。特征函数φX(t)=E[e^(itX)]=exp(–|t|)。10.（应用）某型号LED寿命T（千小时）服从Gamma(α=3,β=2)。（1）求P(T>6)；（2）若工厂对每件产品给出6千小时保修，求100件中至少5件在保修期内失效的概率（用泊松近似）。答案：（1）P(T>6)=1–F(6;3,2)=1–0.938=0.062；（2）λ=100×0.062=6.2，P(N≥5)=1–P(N≤4)=1–0.150=0.850。三、抽样分布与参数估计11.（单选）从N(μ,σ²)中抽取n=16，若σ²未知，则(Ẋ–μ)/(S/4)的分布为A.t15 B.t16 C.χ²15 D.N(0,1)答案：A12.（单选）设总体概率函数f(x;θ)=θx^(θ–1),0<x<1，θ>0，则θ的费雪信息量为A.1/θ² B.θ² C.1/θ D.–1/θ²答案：A13.（计算）某市欲估计共享单车日均故障率p，预调查得p̂=0.15。若要求估计绝对误差不超过0.02，置信水平95%，求所需样本量；若总体有限N=5000，请做有限总体校正。答案：n0=Z²p(1–p)/E²=1.96²×0.15×0.85/0.02²≈1936；n=n0/(1+n0/N)=1936/(1+1936/5000)≈1394。14.（综合）设X1,…,Xn来自LogNormal(μ,σ²)，但仅记录是否超过阈值c，得Yi=I(Xi>c)。（1）给出基于Yi的μ矩估计方程；（2）讨论当c未知时如何利用EM算法迭代。答案：（1）E[Yi]=P(Xi>c)=1–Φ((lnc–μ)/σ)，令样本比例p̂等于理论概率，解μ̂=lnc–σΦ⁻¹(1–p̂)；（2）E步：用当前μ(t),σ²(t)计算Wi=E[lnXi|Yi=1或0]；M步：对完整数据最大化似然，更新μ(t+1),σ²(t+1)。四、假设检验与方差分析15.（单选）在单因素ANOVA中，若组内平方和SSE=240，组间平方和SSA=60，则F统计量值为A.0.25 B.4 C.0.2 D.3答案：B16.（单选）对两独立正态总体均值差做检验，若n1=n2=10，方差未知但假定相等，则合并方差Sp²的自由度为A.20 B.19 C.18 D.9答案：C17.（计算）某制药公司比较三种降压药A,B,C的舒张压降幅，随机区组设计，10名患者，数据如下（单位mmHg）：患者1:A11B13C15…患者10:A9B12C14已知SST=1020，SSB(患者)=380，SSE=330。（1）完成ANOVA表；（2）在α=0.05下检验药物效应是否显著；（3）若显著，用TukeyHSD给出两两差异95%同时置信区间。答案：（1）来源  SS  df  MS  F药物 610  2  305  16.72患者 380  9  42.22误差 330  18  18.33（2）F=16.72>F0.05(2,18)=3.55，拒绝H0；（3）临界值q0.05(3,18)=3.61，标准误√(18.33/10)=1.354，HSD=3.61×1.354=4.89。区间：AB:[–6.89,–0.11]AC:[–8.89,–2.11]BC:[–6.89,–0.11]均不含0，差异显著。18.（综合）某质检部门欲检验饮料容量标准差是否超过标称σ0=5mL，随机抽取n=25瓶，测得样本标准差s=6.2mL。（1）写出假设；（2）计算检验统计量并给出p值；（3）若真实σ=6.5mL，求检验功效（α=0.05）。答案：（1）H0:σ²≤25vsH1:σ²>25；（2）χ²=(n–1)s²/σ0²=24×38.44/25=36.86，p=0.047；（3）临界值χ²0.95,24=36.42，功效=P(χ²>36.42|σ=6.5)=P(χ²>36.42×25/42.25)=P(χ²>21.55)=0.66。五、回归分析与模型诊断19.（单选）在多元线性回归中，若某自变量VIF=8.5，则其方差膨胀原因是A.与因变量高度相关 B.与其他自变量高度多重共线 C.异方差 D.自相关答案：B20.（单选）对模型y=β0+β1x1+β2x2+ε，若加入与x1完全线性相关的x3，则设计矩阵X’X的秩为A.n B.p+1 C.p D.p–1答案：D21.（计算）某数据集n=50，建立y对x1,x2的回归，得SSR=880，SSE=120，R²=0.88。（1）给出整体F检验统计量；（2）若x1系数t值为–3.5，求其偏Eta平方；（3）当新增x3后R²增至0.90，检验x3贡献是否显著（α=0.05）。答案：（1）F=(SSR/p)/(SSE/(n–p–1))=(880/2)/(120/47)=172.67；（2）偏Eta²=t²/(t²+df)=12.25/(12.25+47)=0.207；（3）ΔR²=0.02，F=(0.02/1)/(0.10/46)=9.2>F0.05(1,46)=4.05，显著。22.（综合）某城市交通流量模型取对数线性形式lnY=β0+β1lnX1+β2X2+ε，其中X1为人口密度，X2为01dummy（是否限行）。（1）若存在异方差且方差与X1²成比例，写出加权最小二乘权重；（2）限行政策效果估计为β̂2=–0.21，标准误0.08，求弹性解释；（3）用BreuschPagan检验异方差，给出R辅助代码。答案：（1）wi=1/X1²；（2）限行使平均流量下降约19%（=1–e^(–0.21)）；（3）```rlibrary(lmtest)bptest(lm(lnY~lnX1+X2),varformula=~X1^2,studentize=TRUE)```六、时间序列与预测23.（单选）对于ARIMA(1,1,1)模型，其自相关函数ρk在k≥2满足A.指数衰减 B.截尾 C.正弦衰减 D.线性衰减答案：A24.（单选）若某序列{xt}经ADF检验得τ=–2.8，5%临界值–2.9，则A.拒绝单位根 B.不拒绝单位根 C.序列平稳 D.无法判断答案：B25.（计算）某电商平台2019—2023年季度销售额（亿元）呈现明显季节峰值在Q4。建立SARIMA(0,1,1)(0,1,1)4模型，估计得θ=0.6,Θ=0.8，残差方差σ̂²=4。（1）写出模型方程；（2）已知2023Q4实际值42，模型一步预测值40，求2024Q1销售额的95%预测区间；（3）若2024Q1真实值出炉为45，计算其预测误差滚动MAPE（历史20期）。答案：（1）∇∇4xt=(1–0.6B)(1–0.8B⁴)εt；（2）预测值l=40–0.6×2–0.8×2=37.2，区间37.2±1.96×2=[33.28,41.12]；（3）新增误差|45–37.2|=7.8，MAPE=(∑|et|/xt)/20更新为8.3%。26.（综合）某能源研究院收集2000—2023年月度风电发电量，共288期。（1）给出用Prophet模型捕捉年度与月度季节性的核心方程；（2）若发现节假日效应使发电量平均下降8%，写出假日组分κ(t)的构造；（3）讨论当残差呈现ARCH效应时，如何升级至GARCHProhet混合模型。答案：（1）y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+εt，其中s(t)用傅里叶级数，P=12；（2）κ(t)=–0.08·I(t∈Holiday)；（3）在模型残差εt上建立GARCH(1,1)，再用条件方差调整预测区间：σ²t=ω+αε²t–1+βσ²t–1。七、贝叶斯统计与MCMC27.（单选）若X~Bin(n,θ)，取θ~Beta(α,β)，则后验均值为A.(α+x)/(α+β+n) B.x/n C.α/(α+β) D.(α+x)/(α+β)答案：A28.（单选）在MetropolisHastings算法中，若提议分布对称，则接受概率简化为A.min(1,π(θ)/π(θ)) B.min(1,π(θ)/π(θ)) C.1 D.0答案：A29.（计算）某罕见病患病率θ的先验为Beta(2,100)，现筛查n=5000人，发现阳性x=8。（1）求θ的后验分布与95%可信区间；（2）计算后验预测分布下，再筛查m=1000人出现k≥3例阳性的概率。答案：（1）后验θ~Beta(10,5092)，均值0.00196，95%CI=[0.00096,0.00356]；（2）预测分布为Beta二项，P(k≥3)=1–P(k≤2)=0.323。30.（综合）对分层模型yij~N(μ+αi,σ²),αi~N(0,τ²),i=1…10,j=1…5。（1）写出联合后验p(μ,α,σ²,τ²|y)；（2）设计Gibbs采样步骤，给