吉林大学数学分析试卷

吉林大学数学分析试卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________吉林大学数学分析试卷考核对象：数学专业本科二年级学生题型分值分布：-单选题（10题，每题2分，共20分）-填空题（10题，每题2分，共20分）-判断题（10题，每题2分，共20分）-简答题（3题，每题4分，共12分）-应用题（2题，每题9分，共18分）总分：100分---一、单选题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在区间I上连续且单调递增，则f(x)在I上（）A.可导但不可积B.不可导但可积C.既是可导又是可积D.既不可导又不可积2.极限lim(x→0)(sinx-x)/(x^3)的值为（）A.1B.-1C.0D.不存在3.若级数∑(n=1→∞)a_n收敛，则下列说法正确的是（）A.a_n必须单调递减B.∑(n=1→∞)|a_n|也收敛C.a_n→0D.a_n^2→04.函数f(x)=x^2sin(1/x)在x=0处（）A.连续但不可导B.可导但不可微C.连续且可导D.不连续不可导5.若函数f(x)满足f'(x)=f(x)且f(0)=1，则f(x)等于（）A.e^xB.e^-xC.x^2D.1/x6.级数∑(n=1→∞)(-1)^(n+1)(1/n)的敛散性为（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.无法判断7.若函数f(x)在[a,b]上连续，则在(a,b)内至少存在一点ξ使得（）A.f(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)B.f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)C.f(ξ)=0D.f'(ξ)=08.函数f(x)=|x|在x=0处（）A.可导B.左右导数存在但不相等C.连续但不可导D.可微9.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递减，则f(x)在(a,b)内的原函数F(x)（）A.必存在且唯一B.必不存在C.可能存在也可能不存在D.存在但不唯一10.极限lim(n→∞)(1+1/2+1/3+...+1/n)的敛散性为（）A.收敛于πB.收敛于eC.发散D.收敛于1---二、填空题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则lim(x→0)[f(x)/x]=________。2.级数∑(n=1→∞)(1/2^n)的前n项和为________。3.若函数f(x)在[a,b]上连续，则根据积分中值定理，至少存在一点ξ∈(a,b)使得∫[a,b]f(x)dx=f(ξ)(b-a)。4.极限lim(x→∞)(x^2-3x+2)/(2x^2+x-1)的值为________。5.若函数f(x)满足f''(x)=0，则f(x)的表达式为________。6.级数∑(n=1→∞)(n/n+1)的敛散性为________。7.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的极值为________。8.若函数f(x)在[a,b]上连续且单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)对任意x∈(a,b)成立。9.极限lim(n→∞)(n!/(n^n))的值为________。10.若函数f(x)在x=0处可导且f'(0)=1，则f(x)在x=0附近的泰勒展开式的前两项为________。---三、判断题（每题2分，共20分）1.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必连续。（×）2.级数∑(n=1→∞)(-1)^n/n是绝对收敛的。（×）3.若函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0附近必存在原函数。（√）4.极限lim(x→0)(sinx/x)=1。（√）5.若函数f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。（√）6.级数∑(n=1→∞)(1/n^2)是条件收敛的。（×）7.若函数f(x)在x=0处可导且f'(0)=0，则f(x)在x=0处必有极值。（×）8.函数f(x)=x^2sin(1/x)在x=0处连续。（√）9.若函数f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上必有界。（√）10.级数∑(n=1→∞)(1/n)是绝对收敛的。（×）---四、简答题（每题4分，共12分）1.简述函数f(x)在[a,b]上可积的必要条件。答：f(x)在[a,b]上有界。2.解释什么是函数的泰勒展开式及其意义。答：泰勒展开式是函数在某点附近用多项式逼近的展开式，形式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+...+f^(n)(a)(x-a)^n/n!。3.级数∑(n=1→∞)a_n收敛的必要条件是什么？答：a_n→0。---五、应用题（每题9分，共18分）1.计算极限lim(x→0)[(1-cosx)/x^2]。解：lim(x→0)[(1-cosx)/x^2]=lim(x→0)[2sin^2(x/2)/(x^2)]=lim(x→0)[sin^2(x/2)/(x/2)^2]=1/2。2.判断级数∑(n=1→∞)(n/(n+1)^2)的敛散性，并说明理由。解：因为n/(n+1)^2≤1/n^2，而∑(n=1→∞)1/n^2收敛，所以原级数绝对收敛。---标准答案及解析一、单选题1.B2.C3.C4.A5.A6.B7.B8.B9.A10.C解析：1.单调递增的连续函数不可导的点只能是第一类间断点，但未必存在。4.f(x)在x=0处连续但不可导，因为导数lim(x→0)[x^2sin(1/x)/x]不存在。二、填空题1.f'(0)2.1-(1/2)^n3.积分中值定理4.1/25.ax+b6.发散7.-28.介值定理9.010.1+x解析：5.f''(x)=0⇒f(x)=ax+b。三、判断题1.×2.×3.√