2026届湖北省恩施州三校联盟数学高二上期末检测试题含解析

2026届湖北省恩施州三校联盟数学高二上期末检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的短轴的最小值为（）A. B.C. D.2．若任取，则x与y差的绝对值不小于1的概率为（）A. B.C. D.3．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（）A.底面边长为6米 B.体积为立方米C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为4．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A.至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于55．已知数列满足，，则的最小值为（）A. B.C. D.6．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）A.2 B.3C.6 D.97．已知函数有两个极值点m，n，且，则的最大值为（）A. B.C. D.8．设x∈R，则x<3是0<x<3的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件9．已知命题“若，则”，命题“若，则”，则下列命题中为真命题的是（）A. B.C. D.10．过点，的直线的斜率等于2，则的值为（）A.0 B.1C.3 D.411．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）A B.C. D.12．已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离___________14．如图，图形中的圆是正方形的内切圆，点E，F，G，H为对角线与圆的交点，若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内的概率为_________15．过点，且周长最小的圆的标准方程为______16．日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断増加.已知将吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为.则净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的___________倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越___________（填“快”或“慢”）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点18．（12分）已知三角形的内角所对的边分别为，且C为钝角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面积.19．（12分）已知椭圆的右焦点是椭圆上的一动点，且的最小值是1，当垂直长轴时，.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线与椭圆相切，且交圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线方程.20．（12分）如图，四棱锥中，，，，平面.（1）在线段上是否存在一点使得平面？若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由；（2）求四棱锥的体积.21．（12分）双曲线，离心率，虚轴长为2（1）求双曲线的标准方程；（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程22．（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，若的周长为8.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆上的动点，过原点作直线与椭圆分别交于点、（点不在直线上），求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据题意，点关于直线对称点的性质，以及椭圆的定义，即可求解.【详解】根据题意，设点关于直线的对称点，则，解得，即.根据椭圆的定义可知，，当、、三点共线时，长轴长取最小值，即，由且，得，因此椭圆C的短轴的最小值为.故选：B.2、C【解析】根据题意，在平面直角坐标系中分析以及与差的绝对值不小于1所对应的平面区域，求出其面积，由几何概型公式计算可得答案.【详解】根据题意，，其对应的区域为正方形，其面积，若与差的绝对值不小于1，即，即或，对应的区域为图中的阴影部分，其面积为，故与差的绝对值不小于1的概率.故选：C3、D【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接则为该正四棱锥的高，即平面取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得由分别为的中点，所以，则所以为二面角的平面角，由条件可得设正方形的边长为，则,又则,解得故选项A正确.所以,则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.故选：D4、B【解析】先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，由三角形的两边之和大于三边，故不成立；同理n＞5，不成立故选B点评：本题考查空间几何体的特征，主要考查空间两点的距离相等的情况，注意结合外接球和三角形的两边与第三边的关系，属于中档题和易错题5、C【解析】采用叠加法求出，由可得，结合对勾函数性质分析在或6取到最小值，代值运算即可求解.【详解】因为，所以，，，，式相加可得，所以，，当且仅当取到，但，，所以时，当时，，，所以的最小值为.故选：C6、C【解析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.7、C【解析】对求导得，得到m，n是两个根，由根与系数的关系可得m，n的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由得：m，n是两个根，由根与系数的关系得：，故，令记，则，故在上单调递减.故选：C8、B【解析】利用充分条件、必要条件的定义可得出结论.【详解】，因此，“”是“”必要不充分条件.故选：B.9、D【解析】利用指数函数的单调性可判断命题的真假，利用特殊值法可判断命题的真假，结合复合命题的真假可判断出各选项中命题的真假.【详解】对于命题，由于函数为上的增函数，当时，，命题为真命题；对于命题，若，取，，则，命题为假命题.所以，、、均为假命题，为真命题.故选：D.【点睛】本题考查简单命题和复合命题真假的判断，考查推理能力，属于基础题.10、A【解析】利用斜率公式即求.【详解】由题可得，∴.故选：A11、B【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，即，又因焦距为2，即，即，因为，所以，所以，所以双曲线的方程为.故选：B.12、D【解析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的关键是找出临界情况时点所满足的条件，进而即可得到动点满足条件的图形，问题即可解决.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的直角三角形即可解得【详解】∵，球半径为4，∴小圆的半径为，∵小圆中弦长，作垂直于，∴，同理可得，在直角三角形中，∵，，∴，∴，∴故答案为：.14、【解析】利用几何概型概率计算公式，计算得所求概率.【详解】设正方形的边长为2，则阴影部分的面积为，故若向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影部分区域内概率为故答案为：.15、【解析】方法一：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，由线段的中点为圆心，其长一半为半径求解；方法二：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，根据以AB为直径的圆的方程求解.【详解】方法一：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径则所求圆的标准方程为方法二：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小又，，故所求圆的方程为，整理得，所以所求圆的标准方程为16、①.②.快【解析】根据导数的概念可知净化所需费用的瞬时变化率即为函数的一阶导数，即先对函数求导，然后将和代入进行计算，再求，即可得到结果，进而能够判断水的纯净度越高，净化费用增加的速度的快慢【详解】由题意，可知净化所需费用的瞬时变化率为，所以，，所以，所以净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为时所需费用的瞬时变化率的倍；因为，可知水的纯净度越高，净化费用增加的速度越快.故答案为：，快.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解；（2）（解法1）设，得到，的方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解；（解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹的方程为【小问2详解】（解法1）易知E，F为椭圆的长轴两端点，不妨设，，设，则，，于是：，：，联立得，解得或，易得，同理当，即时，：；当时，有，于是：，即综上直线MN过定点（解法2）上同解法1，得，，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直线MN过定点（解法3）设，则，，当时，直线MN即为x轴；当时，因为，所以，则，设：，：，其中，联立，得，整理得，易知F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，所以：，由及的任意性，知直线MN过定点18、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理边化角，可求得角的正弦，由同角关系结合条件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出边的长，进一步求得面积【小问1详解】因为，由正弦定理得因，所以.因为角为钝角，所以角为锐角，所以【小问2详解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合题意舍去，故的面积为=19、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值为1，得到，再由，结合，求得的值，即可求得椭圆的方程.（2）设切线的方程为，联立方程组，根据直线与椭圆相切，求得，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得的面积的表示，结合函数的单调性，即可求解.【详解】（1）由题意，点椭圆上的一动点，且的最小值是1，得，因为当垂直长轴时，可得，所以，即，又由，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意知切线的斜率一定存在，否则不能形成，设切线的方程为，联立，整理得，因为直线与椭圆相切，所以，化简得，则，因为点到直线的距离，所以，即，故的面积为，因为，可得，即，函数在上单调递增，所以，当时取等号，则，即面积的最大值为.当时，此时，所以直线的方程为.【点睛】对于直线与椭圆的位置关系的处理方法：1、判定与应用直线与椭圆的位置关系，一把转化为研究直线方程与椭圆组成的方程组的解得个数，结合判别式求解；2、对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆的内部或在椭圆上，判定直线与椭圆的位置关系.20、（1）存在，为的中点，证明见解析；（2）.【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，证明，由线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明平面面，过点作于点，即可证明面，在中，利用面积公式求出即为四棱锥的高，再由棱锥的体积公式即可求解.【详解】（1）线段上存在点使得平面，为的中点.证明如下：如图取的中点，的中点，连接，，，因为，分别为，的中点，所以且因为且，所以，且，所以四边形为平行四边形，