2025 九年级数学上册二次函数拱桥问题课件

一、教学背景分析：从“赵州桥”到“数学建模”的跨学科联结演讲人01教学背景分析：从“赵州桥”到“数学建模”的跨学科联结02教学目标与重难点：以“问题链”驱动核心素养发展03教学过程设计：从“情境感知”到“迁移应用”的阶梯式突破04二次函数拱桥问题05课后作业：“巩固+实践”的双轨延伸06教学反思与展望：从“解题”到“用数学”的跨越目录2025九年级数学上册二次函数拱桥问题课件01教学背景分析：从“赵州桥”到“数学建模”的跨学科联结教学背景分析：从“赵州桥”到“数学建模”的跨学科联结作为九年级数学教师，我在长期教学实践中发现，二次函数的实际应用是学生从“符号运算”迈向“问题解决”的关键突破口。而拱桥问题因其典型的抛物线特征、丰富的生活场景及明确的数学建模路径，成为二次函数应用教学的核心载体。本节内容衔接《二次函数的图象与性质》《用函数观点看一元二次方程》等章节，是“从函数解析式到实际问题”的具象化延伸，更是培养学生“数学抽象”“模型观念”等核心素养的重要抓手。1课标要求与教材定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：“能根据具体问题中的数量关系，建立适当的函数模型解决简单实际问题。”人教版九年级数学上册第二十一章“二次函数”中，“实际问题与二次函数”小节以“探究2”形式呈现拱桥问题，其本质是通过分析实际情境中的变量关系，抽象出二次函数模型，再利用函数性质解决问题。这一设计既符合“从特殊到一般”的认知规律，又为后续学习“函数与几何综合”“优化问题”奠定基础。2学情分析与教学痛点执教九年级的我深知，学生已掌握二次函数的图象（抛物线）、顶点式（(y=a(x-h)^2+k)）、一般式（(y=ax^2+bx+c)）及对称轴、顶点坐标等核心知识，但面对“如何将桥拱形状转化为函数解析式”“如何根据实际条件确定变量范围”等问题时，常出现以下困惑：建模意识薄弱：习惯直接套用公式，难以主动抽象实际问题中的数学元素；坐标系选择盲目：因未观察桥拱对称性，随意设定原点导致计算复杂；实际意义忽略：求出解析式后，未验证解是否符合“桥拱高度非负”“水面宽度为正”等现实约束。这些痛点正是本节课需要突破的关键。02教学目标与重难点：以“问题链”驱动核心素养发展教学目标与重难点：以“问题链”驱动核心素养发展基于上述分析，我将本节课的教学目标设定为“三维一体”结构，既关注知识技能的掌握，更注重思维方法的内化与数学情感的培育。1教学目标过程与方法：经历“观察现象→抽象模型→求解验证→应用拓展”的数学建模全过程，体会“对称性”“坐标系优化”等数学思想在简化问题中的作用；知识与技能：能根据拱桥的几何特征（跨度、拱高、水位等）建立二次函数模型，会用待定系数法求解析式，并能解决“求指定高度处的宽度”“判断船只能否通过”等实际问题；情感态度与价值观：通过赵州桥等中国古代建筑案例，感受数学与工程的交融之美，增强用数学解释生活现象的自信心。0102032教学重难点重点：二次函数模型的构建（含坐标系的合理选择）及解析式的求解；难点：从实际问题中提取变量关系，理解“桥拱形状→抛物线→函数解析式”的转化逻辑。03教学过程设计：从“情境感知”到“迁移应用”的阶梯式突破教学过程设计：从“情境感知”到“迁移应用”的阶梯式突破3.1情境导入：当“赵州桥”遇见二次函数（5分钟）上课伊始，我会播放一段无人机拍摄的赵州桥视频——青石板上深浅不一的车辙、桥拱下粼粼的波光、桥栏上精美的雕刻，配合旁白：“这座由李春设计的敞肩石拱桥，距今已有1400余年，其主拱的跨度（37.02米）与拱高（7.23米）的比例，暗含着抛物线的美学规律。今天，我们就用二次函数揭开它的数学密码。”随后展示几幅现代拱桥图片（如南京长江大桥引桥、城市景观桥），引导学生观察共同点：“桥拱的形状有什么特征？”学生不难发现“对称的曲线”，教师顺势提问：“这种曲线在数学中对应哪种函数的图象？”自然引出“抛物线——二次函数的图象”，完成从生活现象到数学对象的初步联结。2新授探究：构建模型的“四步法则”（25分钟）2.1第一步：明确变量，确定模型类型以教材“探究2”为载体：“如图，桥拱是抛物线形，当水面宽AB为12m时，拱顶O离水面的高度为6m。”教师引导学生标注关键量：水面宽度（AB=12m）对应抛物线与x轴交点的距离，拱顶高度（6m）对应抛物线顶点的纵坐标。此时提问：“桥拱的高度随水平位置的变化而变化，若设水平位置为x（m），高度为y（m），y与x之间是什么函数关系？”学生根据“抛物线”特征，可确定为二次函数。2新授探究：构建模型的“四步法则”（25分钟）2.2第二步：优化坐标系，简化解析式“坐标系的选择会影响计算复杂度。如何选择原点和坐标轴，能让解析式更简单？”这是建模的关键环节。我会提供两种方案让学生对比：方案一：以水面AB的中点为原点，水平线为x轴，竖直向上为y轴（如图1）；方案二：以拱顶O为原点，水平线为x轴，竖直向下为y轴（如图2）。学生通过观察发现，方案一中抛物线顶点坐标为(0,6)（因拱顶离水面6m），而方案二中顶点坐标为(0,0)。结合二次函数顶点式(y=a(x-h)^2+k)的特点，顶点在(0,0)时解析式为(y=ax^2)，计算更简便。此时教师总结：“利用抛物线的对称性，选择顶点为原点，可使解析式仅含二次项，减少参数数量。”2新授探究：构建模型的“四步法则”（25分钟）2.3第三步：代入已知点，求解析式在方案二的坐标系中，水面AB宽12m，说明A、B两点的横坐标分别为-6和6（因AB中点为原点时，A(-6,y_A)，B(6,y_B)）。但此时水面高度为“拱顶离水面6m”，即当x=±6时，y=6（因y轴向下为正，水面在拱顶下方6m处）。将点(6,6)代入(y=ax^2)，得(6=a×6^2)，解得(a=\frac{1}{6})，故解析式为(y=\frac{1}{6}x^2)。这里需强调：“y的实际意义是‘从拱顶向下到某点的距离’，若题目要求‘某点离水面的高度’，需用拱顶高度减去y值。”例如，当x=3时，y=1.5m，该点离水面的高度为6-1.5=4.5m。2新授探究：构建模型的“四步法则”（25分钟）2.4第四步：验证与应用，解决实际问题以“当水位上升2m时，求水面宽度”为例，引导学生分析：水位上升2m后，水面离拱顶的距离变为6-2=4m（因原水面离拱顶6m，上升2m则更近），即y=4。代入解析式得(4=\frac{1}{6}x^2)，解得(x=±2\sqrt{6})，故水面宽度为(2×2\sqrt{6}=4\sqrt{6}≈9.8m)。此时追问：“若水位继续上升，水面宽度会如何变化？”学生通过观察抛物线开口向上（a>0），可知y越小（水位越高），x的绝对值越小，水面宽度越窄，符合生活经验，验证了模型的合理性。3分层练习：从“模仿”到“创造”的能力进阶（15分钟）为满足不同层次学生的需求，我设计了“基础-提升-拓展”三级练习。3分层练习：从“模仿”到“创造”的能力进阶（15分钟）3.1基础题（面向全体）题目：某拱桥的拱顶离水面5m，水面宽8m，求桥拱的二次函数解析式（要求用顶点式）。设计意图：强化坐标系选择与顶点式的应用，巩固“顶点坐标→代入点→求a”的基本步骤。学生易出错点在于“水面宽8m”对应的x值（应为±4），需强调“宽度是两点间距离，故横坐标为±宽度的一半”。3分层练习：从“模仿”到“创造”的能力进阶（15分钟）3.2提升题（面向中等生）题目：一抛物线型桥拱，当水面宽为10m时，拱顶离水面4m。现有一艘宽3m、高3m的货船要通过，若货船顶部与桥拱的安全距离不小于0.5m，问此时水面是否允许货船通过？设计意图：综合考查“求指定高度处的宽度”“比较实际宽度与船宽”的逻辑。学生需先求解析式（设顶点为原点，y=ax²），代入(5,4)得a=4/25，解析式为y=4/25x²；货船顶部离水面高度为3m，故离拱顶的距离为4-3=1m（y=1），代入得x=±5/2=±2.5m，此时水面宽度为5m，货船宽3m，两侧各留(5-3)/2=1m，安全距离为1m>0.5m，允许通过。此过程需引导学生画示意图，明确各量的几何意义。3分层练习：从“模仿”到“创造”的能力进阶（15分钟）3.3拓展题（面向学优生）题目：某桥拱的抛物线解析式为(y=-\frac{1}{8}x^2+2)（x轴为水面，y轴过拱顶），求：（1）桥拱的跨度（水面宽度）；3分层练习：从“模仿”到“创造”的能力进阶（15分钟）若水位上涨，当水面宽度变为4m时，水位上涨了多少米？设计意图：逆向考查“已知解析式求实际量”，并涉及“水位变化的计算”。第（1）问中，水面宽度即y=0时的x值之差，解方程(0=-\frac{1}{8}x^2+2)得x=±4，跨度为8m；第（2）问中，水面宽度4m时，x=±2，代入得y=-\frac{1}{8}×4+2=1.5m，原水位y=0，故上涨了1.5m。此题需注意解析式中y的含义（离水面的高度，y=0为原水面），避免符号混淆。4课堂小结：用“思维导图”串联核心逻辑（5分钟）通过学生自主总结、教师补充的方式，构建如下思维导图：04二次函数拱桥问题二次函数拱桥问题├─建模步骤：观察特征（对称性）→选择坐标系（顶点/水面中点为原点）→确定解析式（顶点式/一般式）→求解验证├─关键技巧：利用对称性简化计算，注意变量的实际意义（高度非负、宽度为正）└─数学思想：模型思想、数形结合、转化思想同时强调：“拱桥问题不仅是数学题，更是工程问题的缩影。古代工匠虽不懂二次函数，却通过经验实现了桥拱的完美曲线；今天我们用数学解释这种智慧，未来你们可能用数学创造更美好的世界。”05课后作业：“巩固+实践”的双轨延伸1书面作业（必做）教材P49习题21.3第5题（已知跨度和拱高求解析式）；补充题：某桥拱为抛物线，当水面宽20m时，拱顶离水面5m。若有一高4m的船要通过，船宽最大为多少米？（答案：10√(1/5)×2≈8.94m）2实践作业（选做）测量学校附近小桥的跨度和拱高，建立二次函数模型，计算“当水位上涨1m时，水面宽度变化多少”，并撰写500字实践报告（可附照片或手绘图）。通过“书面+实践”的作业设计，既巩固知识技能，又培养“用数学眼光观察世界”的习惯。06教学反思与展望：从“解题”到“用数学”的跨越教学反思与展望：从“解题”到“用数学”的跨越本节课以拱桥问题为载体，通过“情境导入-模型构建-分层应用-实践延伸”的递进式设计，实现了“知识传授”与“素养培育”的统一。课堂中，学生从最初对“如何选择坐标系”的迷茫，到通过对比讨论找到最优方案；从“机械代入计算”，到主动验证解的实际意义，思维的深度与灵活性显著提升。但教学中也发现，部分学生仍存在“重计算、轻分析”的倾向，例如在解决“货船能否通过”问题时，容易忽略“安全距离”的实际要求，直接比较宽度而不考虑高度。这提示我在后续教学中需加强“问题拆解”训练，引导学生用“分步骤、标关键”的方式分析实际问题。展望未来，二次函数的应用远不止于拱桥——篮球的轨迹、喷泉的水流、隧道的截面……这些都可成为学生实践建模的素材。正如数学家华罗庚所说：“宇宙之大，粒