2025 九年级数学上册相似三角形判定定理三课件

一、课程导入：从旧知到未知的自然衔接演讲人CONTENTS课程导入：从旧知到未知的自然衔接新知探究：从猜想验证到逻辑证明的思维进阶定理应用：从单一训练到综合提升的能力进阶课堂练习：从即时反馈到思维深化的巩固环节课堂小结：从知识梳理到思想升华的总结提炼课后作业：从巩固提升到拓展创新的分层设计目录2025九年级数学上册相似三角形判定定理三课件01课程导入：从旧知到未知的自然衔接课程导入：从旧知到未知的自然衔接作为一名深耕初中数学教学十余年的教师，我始终相信：数学知识的生长应该像春藤攀援，每一步都依托已有根基，再向更高处延伸。今天我们要学习的“相似三角形判定定理三”，正是在“相似三角形定义”及前两个判定定理（AA、SAS）基础上的重要拓展。1知识回顾：温故而知新的思维铺垫上课铃响起时，我总会先在黑板上画出两组三角形：第一组标注两角分别相等，第二组标注两边成比例且夹角相等。“同学们，上节课我们通过测量、推理得出了什么结论？”话音刚落，坐在第三排的小雨立刻举手：“两角分别相等的两个三角形相似（AA），两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）！”我点头肯定，随即在两组图形旁写下“AA”“SAS”两个缩写。为了唤醒更深刻的记忆，我展示了一张埃及金字塔的老照片：“还记得吗？古希腊数学家泰勒斯用一根木棍、一把尺子，通过相似三角形的AA判定，测出了金字塔的高度。这说明前两个判定定理已经能解决很多实际问题。但如果我们只能测量三角形的三边长度，却无法确定角的大小，该怎么办？”教室里泛起小声讨论，靠窗的小航嘀咕：“要是有个只看三边比例的判定方法就好了。”这句话，恰好引出了今天的主角——相似三角形判定定理三。02新知探究：从猜想验证到逻辑证明的思维进阶1猜想提出：基于观察的合理假设我在黑板上画出△ABC和△A'B'C'，标注数据：AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm；A'B'=6cm，B'C'=8cm，A'C'=10cm。“请同学们计算对应边的比例。”前排的小蕊很快算出：“AB/A'B'=3/6=1/2，BC/B'C'=4/8=1/2，AC/A'C'=5/10=1/2，三边比例都相等！”“那这两个三角形相似吗？”我让学生用量角器测量对应角，结果发现∠A=∠A'≈37，∠B=∠B'≈53，∠C=∠C'=90，确实相似。“再试一组数据。”我又画出△DEF（DE=2，EF=3，FD=4）和△D'E'F'（D'E'=4，E'F'=6，F'D'=8），同样三边比例为1:2。学生测量后惊喜地发现，对应角依然相等。“看来当两个三角形的三边成比例时，它们可能相似。这就是我们今天要探索的判定定理三的猜想。”2定理证明：严谨的逻辑演绎猜想需要证明才能成为定理。我引导学生回忆相似三角形的定义：“相似三角形的定义是对应角相等、对应边成比例。现在已知三边成比例，需要证明对应角相等。”为了降低难度，我提示：“可以构造一个与其中一个三角形相似的辅助三角形，再通过边的关系证明全等。”具体步骤如下（配合板书图示）：设△ABC与△A'B'C'满足AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'=k；在△A'B'C'的边A'B'上取点D，使A'D=AB；过D作DE∥B'C'交A'C'于E，则△A'DE∽△A'B'C'（由DE∥B'C'，AA判定），故A'D/A'B'=A'E/A'C'=DE/B'C'=k；2定理证明：严谨的逻辑演绎由已知AB/A'B'=k，且A'D=AB，故A'D/A'B'=k，因此A'E=AC（因为A'E=kA'C'，而AC=kA'C'），DE=BC（同理DE=kB'C'=BC）；所以△ABC与△A'DE三边对应相等（AB=A'D，BC=DE，AC=A'E），根据SSS判定，△ABC≌△A'DE；由△A'DE∽△A'B'C'，可得△ABC∽△A'B'C'。“这个证明过程中，我们通过构造辅助线，将未知的相似关系转化为已知的全等和相似关系，这是几何证明中常用的‘桥梁法’。”我边总结边用红笔圈出关键步骤，看到学生们若有所思的表情，我知道他们开始理解逻辑链条的精妙了。3定理表述：精准的数学语言在完成证明后，我请学生尝试用文字总结定理。坐在最后一排的小阳举手：“三边成比例的两个三角形相似。”“非常准确！”我补充：“用符号语言表示就是：在△ABC和△A'B'C'中，若AB/A'B'=BC/B'C'=AC/A'C'，则△ABC∽△A'B'C'。”同时强调：“三边必须‘对应’成比例，顺序不能打乱，就像搭积木，每一块都要对应位置。”03定理应用：从单一训练到综合提升的能力进阶1基础应用：直接判定相似为了让学生熟悉定理的直接应用，我设计了第一组例题：例1：已知△ABC的三边长为2、3、4，△DEF的三边长为4、6、8，判断△ABC与△DEF是否相似。学生快速计算比例：2/4=3/6=4/8=1/2，得出相似结论。我追问：“如果△DEF的边长是5、7、9，还能判定吗？”小蕊抢答：“比例不相等，所以不相似。”2综合应用：与其他知识的融合数学知识从不是孤立的，我设计了与勾股定理结合的例题：例2：△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13；△DEF中，DE=10，EF=24，DF=26。求证：△ABC∽△DEF。学生先计算比例：5/10=12/24=13/26=1/2，应用判定定理三得证。我进一步提问：“这两个三角形都是直角三角形吗？”学生通过勾股定理验证后发现，△ABC中5²+12²=13²，△DEF中10²+24²=26²，确实都是直角三角形。“这说明相似三角形的对应角相等，直角三角形相似后仍然保持直角的性质。”3实际应用：解决生活问题数学的价值在于应用。我展示了一张校园内两棵树的照片：“已知第一棵树的影子长3米，第二棵树的影子长6米，且第一棵树高2米，如何用相似三角形测量第二棵树的高度？”学生们一开始想用“同一时刻物高与影长成正比”，但我提示：“如果没有‘同一时刻’的条件，能否用今天学的判定定理？”经过讨论，学生想到：可以测量两棵树底部到影子顶端的距离（即斜边），若树高、影长、斜边的比例相等，则两三角形相似，从而树高与影长成比例。假设第一棵树高h₁=2m，影长l₁=3m，斜边长d₁=√(2²+3²)=√13m；第二棵树影长l₂=6m，斜边长d₂=√(h₂²+6²)。若d₂/d₁=l₂/l₁=h₂/h₁=2，则d₂=2√13，解得h₂=4m。“这说明即使没有‘平行光线’的条件，只要三边成比例，我们依然可以利用相似三角形解决测量问题。”04课堂练习：从即时反馈到思维深化的巩固环节课堂练习：从即时反馈到思维深化的巩固环节我发放了精心设计的练习卡，题目按难度分为三个层次：1基础题（必做）下列各组三角形中，三边成比例的是（）在右侧编辑区输入内容C.5,5,5和10,10,10△ABC的边长为3、4、5，△DEF的边长为6、8、10，∠A=37，则∠D=______。A.2,3,4和4,6,8在右侧编辑区输入内容B.1,2,3和2,4,6在右侧编辑区输入内容2提升题（选做）已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，求证：它们的对应中线之比为k。（提示：中线将对边平分，可结合三边成比例判定）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点坐标为(0,0),(2,0),(1,2)，△DEF的顶点坐标为(2,2),(4,2),(3,4)，判断两三角形是否相似。巡视过程中，我发现大部分学生能正确完成基础题，提升题第4题需要结合坐标计算边长。小航兴奋地举手：“老师，我用距离公式算出AB=2，BC=√5，AC=√5；DE=2，EF=√5，DF=√5，所以三边比例都是1:1:1，相似！”我笑着纠正：“计算有误，AB的长度是√[(2-0)²+(0-0)²]=2，BC是√[(1-2)²+(2-0)²]=√5，AC是√[(1-0)²+(2-0)²]=√5；DE是√[(4-2)²+(2-2)²]=2，EF是√[(3-4)²+(4-2)²]=√5，2提升题（选做）DF是√[(3-2)²+(4-2)²]=√5，所以确实三边相等，相似比为1，是全等三角形，而全等是相似的特殊情况。”小航挠头笑了，其他学生也跟着露出恍然大悟的表情。05课堂小结：从知识梳理到思想升华的总结提炼1知识脉络回顾我在黑板上画出知识树：根是“相似三角形定义”，主干是“AA”“SAS”“三边成比例”三个判定定理，分支是“应用场景”。“今天我们沿着‘观察猜想—逻辑证明—应用拓展’的路径，学习了第三个判定定理：三边成比例的两个三角形相似。它与前两个定理共同构成了相似三角形判定的‘三驾马车’，覆盖了角、边、边角组合的不同情况。”2思想方法总结“这节课我们不仅学到了一个定理，更重要的是体验了‘从特殊到一般’的归纳思想（通过具体例子猜想定理）、‘构造辅助图形’的转化思想（通过辅助三角形建立全等与相似的联系），以及‘数学源于生活又服务于生活’的应用思想（用定理解决测量问题）。”3易错点提醒针对练习中发现的问题，我强调：“第一，三边成比例必须是‘对应’成比例，顺序不能错；第二，相似比是有向的，△ABC∽△A'B'C'的相似比是AB/A'B'，而反过来是A'B'/AB；第三，全等三角形是相似比为1的特殊情况，也符合三边成比例的判定。”06课后作业：从巩固提升到拓展创新的分层设计课后作业：从巩固提升到拓展创新的分层设计为了满足不同学生的需求，作业分为三个层次：基础层（全体）：教材P45习题1、2（直接应用定理判定相似）；提高层（选做）：教材P46习题5（综合应用相似三角形与勾股定理）；拓展层（兴趣组）：测量校园内某栋建筑的高度，要求用“三边成比例”的判定方法设计方案，写出测量步骤和计算过程。下课铃响起时，小航拿着拓展层作业来找我：“老师，我想测量教学楼的高度，需要准备卷尺和计算器吗？”“当然，还需要你的数学思维。”我拍拍他的肩膀，看着他眼里的光芒，忽然想起自己刚当老师时，也是这样对几何充满好奇。教育的意义，