2025 九年级数学上册一元二次方程根与系数关系应用课件

一、追本溯源：从方程求解到根与系数关系的发现演讲人追本溯源：从方程求解到根与系数关系的发现01联系实际：根与系数关系在生活中的应用02分层突破：根与系数关系的四大核心应用场景03总结升华：从“工具”到“思想”的跨越04目录2025九年级数学上册一元二次方程根与系数关系应用课件各位同学，今天我们要共同探索一元二次方程中一个非常重要的工具——根与系数的关系，也就是数学史上著名的“韦达定理”。作为一线数学教师，我在多年教学中发现，这一内容既是九年级上册的重点，也是后续学习二次函数、解析几何的基础。它的奇妙之处在于：不需要求出方程的具体根，就能通过系数直接得到根的和、积等关键信息，从而简化计算、解决复杂问题。接下来，我们将从定理的本质出发，逐步深入其应用场景，希望大家能在理解中掌握，在应用中升华。01追本溯源：从方程求解到根与系数关系的发现问题引入：直接求根的局限性在学习一元二次方程时，我们已经掌握了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。但实际解题中，我常听到同学们抱怨：“如果方程的根是无理数或分数，计算起来太麻烦了！”比如方程(x^2-5x+3=0)，用求根公式得到的根是(\frac{5\pm\sqrt{13}}{2})，若题目要求计算两根的和或积，直接代入会涉及复杂的根式运算。这时候，是否存在一种更简便的方法？定理推导：从特殊到一般的归纳让我们从具体例子入手。取方程(x^2-7x+12=0)，因式分解得((x-3)(x-4)=0)，根为3和4。观察系数与根的关系：(3+4=7)（一次项系数的相反数），(3\times4=12)（常数项）。再取方程(2x^2+4x-6=0)，化简为(x^2+2x-3=0)，根为1和-3，此时(1+(-3)=-2)（一次项系数的相反数），(1\times(-3)=-3)（常数项）。若推广到一般形式(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），设两根为(x_1,x_2)，根据求根公式，(x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a})，(x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a})。计算和与积：定理推导：从特殊到一般的归纳根的和：(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a})根的积：(x_1\cdotx_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a})这就是韦达定理：对于一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)），若有两个根(x_1,x_2)，则(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a})。需要注意的是，定理成立的前提是方程有实数根，即判别式(\Delta=b^2-4ac\geq0)。02分层突破：根与系数关系的四大核心应用场景已知方程求根的和与积：基础应用这是韦达定理最直接的应用，关键在于正确识别方程的系数(a,b,c)，注意符号问题。01分析：这里(a=3)，(b=-5)，(c=2)。根据韦达定理：03(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{2}{3})。05例1：求方程(3x^2-5x+2=0)的两根之和与两根之积。02(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-5}{3}=\frac{5}{3})，04易错警示：部分同学容易忽略一次项系数的符号，例如将(b)直接取5而非-5，导致和的符号错误。06已知根的关系求参数：逆向应用当题目给出根的和、积或其他关系（如互为相反数、互为倒数等），可以通过韦达定理建立方程，求解参数值。已知根的关系求参数：逆向应用已知两根之和或积求参数例2：若方程(x^2+(2k-1)x+k^2=0)的两根之和为3，求(k)的值。分析：根据韦达定理，两根之和为(-\frac{b}{a}=-(2k-1))。由题意得：(-(2k-1)=3)，解得(k=-1)。验证：此时判别式(\Delta=(2k-1)^2-4\times1\timesk^2=(-3)^2-4\times1=9-4=5>0)，方程有两个实根，故(k=-1)有效。已知根的关系求参数：逆向应用已知根的特殊关系求参数例3：若方程(2x^2+mx-3=0)的两根互为倒数，求(m)的值。分析：两根互为倒数，则(x_1\cdotx_2=1)。根据韦达定理，(x_1\cdotx_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{2})。但题目要求(x_1\cdotx_2=1)，因此(\frac{-3}{2}=1)，显然矛盾。这说明原方程不存在两根互为倒数的情况，(m)无解。总结：此类问题需同时满足韦达定理和判别式条件，避免出现“有解但无实根”的错误。构造新方程：灵活应用已知两个数(x_1,x_2)，可以利用韦达定理构造以它们为根的一元二次方程，形式为(x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0)（二次项系数为1）。例4：已知(x_1=2+\sqrt{3})，(x_2=2-\sqrt{3})，求以(x_1,x_2)为根的一元二次方程。分析：计算和与积：(x_1+x_2=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=4)，(x_1\cdotx_2=(2)^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1)。构造新方程：灵活应用因此，所求方程为(x^2-4x+1=0)。拓展：若要求二次项系数为其他数（如2），则方程为(2x^2-8x+2=0)，本质是原方程的倍数。代数式求值：综合应用在涉及两根的平方和、倒数和、差的平方等问题时，无需求出具体根，可通过韦达定理将代数式转化为和与积的形式。代数式求值：综合应用常见代数式变形公式平方和：(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2)1倒数和：(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2})2差的平方：((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2)3根的立方和：(x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2))4代数式求值：综合应用典型例题解析例5：已知方程(x^2-4x-7=0)的两根为(x_1,x_2)，求下列各式的值：（1）(x_1^2+x_2^2)；（2）(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})；（3）(|x_1-x_2|)。解答：（1）由韦达定理，(x_1+x_2=4)，(x_1x_2=-7)。(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2\times(-7)=16+14=30)。代数式求值：综合应用典型例题解析（2）(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{4}{-7}=-\frac{4}{7})。（3）((x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16-4\times(-7)=16+28=44)，故(|x_1-x_2|=\sqrt{44}=2\sqrt{11})。技巧点拨：此类问题的关键是将目标代数式用和与积表示，这需要熟练掌握代数恒等变形。03联系实际：根与系数关系在生活中的应用联系实际：根与系数关系在生活中的应用数学的价值在于解决实际问题。韦达定理不仅是理论工具，也能帮助我们分析生活中的数量关系，例如几何问题、经济问题等。几何问题中的应用：面积与边长的关系例6：一个矩形的周长为20cm，面积为24cm²，求矩形的长和宽。分析：设长为(x)cm，宽为(y)cm，则：(\begin{cases}2(x+y)=20\xy=24\end{cases})，化简得(x+y=10)，(xy=24)。根据韦达定理，(x)和(y)是方程(t^2-10t+24=0)的两根。解方程得(t=6)或(t=4)，因此矩形的长为6cm，宽为4cm。经济问题中的应用：利润与销量的关系例7：某商品进价为每件40元，售价为60元时，每月可售出300件。经市场调查，每涨价1元，月销量减少10件。设每件涨价(x)元，月利润为(y)元。若月利润为6250元，求(x)的值。分析：月利润(y=(60+x-40)(300-10x)=(20+x)(300-10x))。令(y=6250)，则方程为((20+x)(300-10x)=6250)，展开得(-10x^2+100x+6000=6250)，整理为(x^2-10x+25=0)。经济问题中的应用：利润与销量的关系STEP3STEP2STEP1设两根为(x_1,x_2)，根据韦达定理，(x_1+x_2=10)，(x_1x_2=25)。解得(x=5)（重根），即每件涨价5元时，月利润为6250元。总结：实际问题中，通过建立一元二次方程模型，再利用韦达定理分析根的关系，可快速找到解题路径，避免复杂计算。04总结升华：从“工具”到“思想”的跨越核心价值回顾韦达定理的本质是系数与根的桥梁，它将“求根”转化为“用根的和与积解题”，体现了数学中“整体代换”的思想。无论是已知方程求根的关系，还是已知根的关系求参数，或是解决实际问题，其核心都是通过和与积的表达式简化计算。学习建议01夯实基础：牢记韦达定理的公式，注意符号和判别式的前提条件。02强化变形：熟练掌握常见代数式（如平方和、倒数和）与和、积的转化公式。03联系实际：多尝试用韦达定理解决生活中的问题，体会数学的应用价