2025 九年级数学上册余弦函数实际问题课件

一、教学背景分析：为何要学习余弦函数的实际问题？演讲人CONTENTS教学背景分析：为何要学习余弦函数的实际问题？教学目标设计：从知识到素养的进阶教学过程：从生活情境到数学建模的深度探究总结提升：余弦函数——连接数学与现实的桥梁课后作业：从课堂到生活的延伸目录2025九年级数学上册余弦函数实际问题课件作为一线数学教师，我始终相信：数学的生命力不在于公式的堆砌，而在于它与生活的紧密联结。当我们将余弦函数从课本中的“邻边比斜边”延伸到实际问题时，那些抽象的符号便会化作解决问题的工具，让学生真正体会到“数学有用”。今天，我将围绕“余弦函数实际问题”展开教学，带领学生从“知其然”走向“知其所以用”。01教学背景分析：为何要学习余弦函数的实际问题？1课标的要求与教材的定位《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：“要引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维分析现实世界，用数学的语言表达现实世界。”九年级上册“锐角三角函数”章节中，余弦函数作为刻画直角三角形边角关系的核心工具，其实际应用是本章的重要教学目标。教材通过“测量物体高度”“解决航行问题”等情境，将余弦函数从概念学习过渡到模型构建，这既是对“函数思想”的深化，也是培养学生数学应用能力的关键环节。2学生的认知基础与学习难点从学情来看，九年级学生已掌握直角三角形的基本性质、锐角余弦的定义（cosA=邻边/斜边），并能解决简单的“已知两边求余弦值”或“已知余弦值求边长”的问题。但面对实际问题时，他们往往卡在“如何将实际情境转化为数学模型”这一步——比如，复杂的背景描述会干扰对关键信息的提取，非标准的直角三角形需要添加辅助线构造，动态变化的问题需要分析变量间的关系。这些难点恰恰是本节课需要突破的重点。02教学目标设计：从知识到素养的进阶教学目标设计：从知识到素养的进阶基于课程标准与学情分析，我将本节课的教学目标设定为以下三个维度：1知识与技能目标能准确识别实际问题中与余弦函数相关的几何元素（如直角三角形的邻边、斜边、锐角）；掌握利用余弦函数解决“距离测量”“角度计算”“动态变化分析”三类典型问题的步骤；理解“数学建模”的基本流程：实际问题→抽象图形→设定变量→应用公式→验证结果。0201032过程与方法目标通过“台风路径预测”“塔吊臂长计算”等真实情境的探究，经历“观察→抽象→推理→验证”的数学思维过程；在小组合作中学会从复杂信息中提取关键数据，提升“用数学语言描述问题”的能力；通过对比不同解法（如勾股定理与余弦函数的选择），体会余弦函数在特定情境下的优势。0203013情感态度与价值观目标感受余弦函数在工程测量、气象预报、机械设计等领域的广泛应用，激发“学数学、用数学”的兴趣；010203通过解决实际问题中的误差分析（如测量工具精度、环境因素影响），培养严谨的科学态度；在团队合作中增强交流意识，体会数学的工具性与人文性的统一。03教学过程：从生活情境到数学建模的深度探究教学过程：从生活情境到数学建模的深度探究3.1情境引入：余弦函数，藏在生活中的“测量师”上课伊始，我会展示三幅图片：图1：工程师用全站仪测量大楼与基站的水平距离；图2：气象员标注台风中心与沿海城市的位置，预测影响范围；图3：机械师计算起重机吊臂与水平线的夹角，确保起吊安全。“这些场景中，工程师、气象员、机械师都在悄悄使用同一个数学工具——余弦函数。为什么余弦函数能成为他们的‘得力助手’？今天我们就一起揭开它的‘应用密码’。”通过生活化的场景，学生的注意力被迅速吸引，好奇心被点燃。教学过程：从生活情境到数学建模的深度探究3.2探究活动一：从“简单测量”到“模型构建”——以“测量树高”为例问题1：校园内有一棵倾斜的树（如图1），测得树根到观测点A的水平距离为8米，观测点A到树梢B的视线与水平线的夹角（仰角）为30，且树与地面的夹角为120。求树的高度BC（结果保留根号）。2.1第一步：抽象图形，明确已知与未知我会引导学生画出示意图（图2）：地面为水平线AD，观测点A到树根C的水平距离AC=8米，∠BAC=30（仰角），∠ACB=180-120=60（树与地面的夹角为120，则树与水平线的夹角为60），求BC的长度。2.2第二步：选择工具，建立数学关系“我们需要找到包含BC的直角三角形吗？”有学生提出。但观察图形发现，△ABC并非直角三角形，而是一个普通三角形（已知两角一边）。此时，我会提示：“当遇到非直角三角形时，是否可以通过作高构造直角三角形？”学生尝试过点B作BD⊥AC于D（图3），则在Rt△ABD中，AD=ABcos30，BD=ABsin30；在Rt△BCD中，CD=BCcos60，BD=BCsin60。由于AD+CD=AC=8米，联立方程可解BC。2.3第三步：计算验证，总结方法通过计算，学生得出BC=8/(cos30cos60+sin30sin60)，化简后BC=8/[cos(30-60)]（此处可渗透余弦差角公式的雏形）。最终结果BC=8√3/3米。“这个问题中，我们通过作辅助线将非直角三角形转化为两个直角三角形，再利用余弦函数建立边与角的关系。这就是用余弦函数解决实际问题的核心——构造或识别包含已知角和未知边的直角三角形。”我总结道。3.3探究活动二：从“静态问题”到“动态分析”——以“台风影响范围”为例问题2：如图4，台风中心P正以20km/h的速度向正北方向移动，城市A位于台风中心的北偏东30方向，距离200km处；城市B位于台风中心的北偏东60方向，距离100√3km处。若台风的影响范围是半径50km的圆形区域，问：2.3第三步：计算验证，总结方法（1）城市A是否会受到台风影响？（2）城市B受台风影响的持续时间是多少？3.1分析问题，建立坐标系“动态问题中，关键是找到变量之间的关系。”我引导学生以台风中心初始位置为原点O，正北方向为y轴建立平面直角坐标系（图5）。则城市A的坐标为(200sin30,200cos30)=(100,100√3)，城市B的坐标为(100√3sin60,100√3cos60)=(100√3×√3/2,100√3×1/2)=(150,50√3)。3.2用余弦函数分析距离变化台风移动t小时后，中心P的坐标为(0,20t)。城市A到P的距离PA=√[(100-0)²+(100√3-20t)²]。若PA≤50，则A受影响。代入计算得：100²+(100√3-20t)²≤50²，化简后(100√3-20t)²≤-7500，显然无解，故A不受影响。对于城市B，距离PB=√[(150-0)²+(50√3-20t)²]≤50。解得：(50√3-20t)²≤50²-150²=负数，这说明我的引导有误？学生们疑惑地抬头。“这里问题出在坐标系的建立是否正确。”我及时纠正：台风向正北移动，城市B的初始位置应是北偏东60，即与y轴夹角60，因此横坐标应为100√3×sin60=100√3×√3/2=150，纵坐标为100√3×cos60=100√3×1/2=50√3，正确。但PB的距离计算中，150²=22500，50²=2500，22500>2500，说明B到台风中心的水平距离已超过影响半径，因此B也不受影响？这与题目设定矛盾，说明我在问题设计时需更严谨。3.2用余弦函数分析距离变化“这说明实际问题中，我们需要先判断点与移动路径的最短距离是否小于影响半径。”我调整思路：台风路径为y轴，城市到y轴的水平距离即为到路径的最短距离（垂直距离）。对于A，水平距离=200×sin30=100km>50km，故不受影响；对于B，水平距离=100√3×sin60=100√3×√3/2=150km>50km，同样不受影响。“这说明我的问题设计有漏洞，但正是这样的‘错误’，让我们更深刻理解：判断点是否受圆形移动区域影响，关键是比较点到移动路径的垂直距离与半径的大小。”学生们在笑声中掌握了分析方法。3.4探究活动三：从“单一应用”到“综合实践”——以“机械传动角度计算”为例问题3：如图6，某机械装置由两根连杆AB和BC组成，AB=20cm，BC=30cm，当AB与水平线AD成45角时，点C到AD的垂直距离为25cm。求此时BC与水平线的夹角θ（精确到1）。4.1分解模型，提取关键信息学生画出示意图（图7）：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，则BE=ABsin45=20×√2/2=10√2≈14.14cm，CF=25cm，EF=BCcosθ=30cosθ，BE+BCsinθ=CF（因为CF=BE+BG，其中BG是BC在垂直方向的分量）。因此有：10√2+30sinθ=25，解得sinθ=(25-10√2)/30≈(25-14.14)/30≈0.362，θ≈21。4.2反思验证，优化模型“是否还有其他方法？”有学生提出用余弦定理：连接AC，在△ABC中，AC的水平距离=ABcos45+BCcosθ=20×√2/2+30cosθ=10√2+30cosθ，垂直距离=CF=25cm，故AC=√[(10√2+30cosθ)²+25²]。但此方法需要更多未知量，不如直接分解垂直分量简便。“这说明在解决实际问题时，选择合适的分解方向（水平或垂直）能简化计算，这正是余弦函数‘邻边比斜边’的直观应用。”我总结道。04总结提升：余弦函数——连接数学与现实的桥梁1知识脉络回顾本节课我们通过“测量树高”“台风影响”“机械传动”三个典型问题，总结出用余弦函数解决实际问题的“四步建模法”：1抽象图形：根据题意画出包含已知角、已知边和未知量的几何图形；2构造直角：通过作高、分解力（位移）等方式构造直角三角形；3建立关系：利用余弦函数（cosθ=邻边/斜边）或余弦定理（c²=a²+b²-2abcosC）建立方程；4求解验证：计算未知量并结合实际意义验证结果合理性。52思想方法提炼数学建模思想：将实际问题转化为数学问题的关键是“去情境化”，提取几何元素（点、线、角、边）；数形结合思想：图形是理解问题的“可视化工具”，通过画图能快速定位已知与未知的关系；函数思想：余弦函数本质是“角度与边长的对应关系”，动态问题中需关注角度变化对边长的影响。3情感升华“今天的学习让我们看到：余弦函数不是课本上冰冷的公式，而是工程师手中的‘测量尺’、气象员桌上的‘预测图’、机械师图纸上的‘角度标’。数学的魅力，就在于它能让我们用简单的符号解释复杂的世界。希望同学们今后遇到问题时，能多想想‘是否可以用余弦函数来解决’，用数学的眼光发现生活中的美。”05课后作业：从课堂到生活的延伸1基础巩固题教材P85习题28.1第5题（测量旗杆高度，已知仰角和水平距离）；补充题：如图8，某渔船在A处观测到东北方向有一小岛C，距离为20√2海里，渔船向正东航行10海里到达B处，此时观测到小岛C在北偏东30方向，求B到C的距离（用余弦函数解）。2能力提升题调查生活中利用余弦函数的实例（如楼梯倾斜角设计、太阳能板角度调整），拍摄照片并标注相关数据，尝试用数学语言描述问题；选做题：如图9，摩天轮半径为20米，中心O离地面25米，转动一周需60秒。当乘客从最低点出发转动t秒时，求乘客离地面的高度h（用余弦函数表示）。3实践探究题分组测量学校教学楼的高度