2024年浙江省杭州市学军中学高考数学最后一卷及答案解析

2024年浙江省杭州市学军中学高考数学最后一卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

I.（5分）已知集合4={#+2>。},5={x|?-x-2<0},则（）

A.{.r|-2<x<l}B.{.K\-2<x<2}C.{x|-1<x<1}D.{M-1JV2}

2.(5分)已知z=则Z・2=()

V51V51

A.-B.-C.-iD.-i

5555

3.(5分)已知向量a=(2,-2),c=(2,1）,则：在联方向上投影向量的坐标是（）

i4?1,42

A.(1,B.《，拿C.(-1,-2)D.(-5，一百)

4.(5分)函数f(x)=2x+.v,g(x)=logir+x,h(x)=4+%的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大

小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

5.（5分）在△/13c中，角A,B,。的对边分别为a,b,c,则“（a-ccosB）sinB=（/?-ccosA）sinA

是“A=B”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

6.（5分）3个男生和3个女生随机排成一排照相，有且只有2个女生相邻的排法种数为（）

A.144B.288C.432D.576

7.(5分)已知函数f(x)=+s出2x+sinx-cosx,则/(x)值域为()

A.[-2,2]B.[-2,V2]C.[-a,2]D.[-V2,V2]

8.（5分）三棱锥P-ABC中，。是边长为3的正三角形若三棱锥尸・A8C的体积为手,

则PA的最小值为（）

L5

A.V3B.2C.V5D.-

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

（多选）9.（6分）己知数列｛.｝为等比数列，首项m>0,公比必（-1,0）,则下列叙述正确的是（)

A.数列｛如｝的最大项为切

B.数列｛的｝的最小项为02

C.数列｛曲曲+i｝为递增数列

D.数列｛s入1+42“｝为递增数列

（多选）10.（6分）下列说法正确的是（）

A.小明统计了近5次的数学考试成绩，分别是90,120,108,123,116,则这组数据的第60百分位

数是116

B.一组数据（1,3）,（2,8）,（3,10）,（4,14）,（5,15）的经验回归方程为y=3x+a,则当x=5

时，残差为-1

C.一组数据XI,X2,…，物的均值为后标准差为S,则数据*,熠，…，襦的均值为s2+F

D.设随机变量X〜N（l,3）,且P（X>3）=p,则P（-1WXV1）二号

22

_yxx2

（多选）ii.（6分）如图所示，双曲线三~一z=i（y>。）与抛物线y=6-下围成封闭曲线E.若对于），

轴上一定点A（0,a）,E上恰有3对不同的点关于点A对称，则实数。的值可能是（）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知直线/i,/2为圆Ci：，+）2=1与C2：-6x-8y=0的公切线，设八，〃的夹角为0.则

sin8的值为.

13.（5分）若函数f（x）的定义域为（0,+8）,且/（x）+f（y）=f（xy）,f（a,,）=n+f⑺,则

埠二.

14.（5分）平面四边形A8CO中，AB=BC=CD=2V3,ZC=^,ZA=将△ABC沿BQ翻折，当A。

与BC所成角最大时，四面体4BCO外接球的表面积为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)学军中学进行象棋大赛，甲、乙两人参赛，每局比赛时若决出胜负则获胜方得2分，负方得

0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜、平局、负的概率分别为:，：，7-且各局比赛结果

244

相互独立，若比赛共进行了2局，记其事甲的得分为随机变量x.乙的得分为随机变量匕

(1)求P(X=3)；

(2)记随机变量Z=X-H求Z的数学期望石(Z).

16.(15分)如图所示，四棱锥中，底面A8C。为平行四边形平面ABC。，AD=1,AB=

2,ZBAD=，为线段尸C上一点，且CP=3CH,E为P8的中点，过4E的平面分别交PC,PD于

F,G,且〃平面AE?G.

(1)证明：AG〃平面BOH；

(2)若尸。=2/5,求B/7与立面AEFG所成角的余弦值.

17.(15分)已知函数/(x)=ec+2e'x+a.

(1)若直线y=x+3是曲线y=f(x)的切线，求a的值；

(2)若/(公对任意实数x恒成立，求。的取值范围.

%2y2

18.(17分)已知椭圆Ci：—+77=1(a>b>0)左右焦点分别为Q,广2,且其中一个焦点与抛物线

a2b2

C2：』=4x的焦点重合，直线x=〃?.y-1与椭圆交于4,B两点,Z\AB尸2的周长为8.

<1)求椭圆的标准方程；

(2)若斜率为肌的直线人尸2与抛物线交于C,。两点，斜率为上直线8放与抛物线交于£,产两点.

111

①求二+丁和丁丁(用含6的代数式表示)：

kik2k小2

②若OV〃?V与，试判断|CZ)|・|EF|是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

19.(17分)对于〃元数集A={小，〃2,…，a”},B={b\,bi，•,,>bn](nGN,且〃22),定义D人(n)=

Xl<i<;<n\ai-%1&8(九)=XlSjinIai~^j\-

(1)若集合4={1,3,5},8={2,4,6}求。八(3),Du[3),和心8(3)：

(2)是否存在集合A={1,2,3,…，〃}(/?€N)使得DA(〃)=2024,若存在，求出〃的值，若不

存在，请说明理由：

(3)若A和6均为无实数集，且满足AC4=0.试比较DA(〃)+DB(〃)与EAB(〃)的大小关系，

并说明理由.

2024年浙江省杭州市学军中学高考数学最后一卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

I.(5分)已知集合A={x|x+2>。},5={x|?-x-2<0},则()

A.(A|-2<A<1)B.{A|-2<A<2}C.{A|-1<A<1}D.{A|-1<A<2}

【解答】解：由题意得，A={x\x>-2},«={x|-l<x<2},

所以408=3-1<]<2}.

故选：D.

2.(5分)已知z=，工，则z•，二()

遮

N/51c6

A.一B.-5『

55_

12"12

【解答】解：z=£=湍曲=-+-----i•

5555

z^=(-5+5i)(-5-50=(-5)2-(5f)2=25+25=l

故选：B.

3.(5分)已知向量2=(2,-2),2=(2,1),则：在[方向上投影向量的坐标是()

7142

^^--

，-

A.B.^-D.(-5,5

【解答】解：a=(2,—2),c=(2,1),

则Q,c=2x2-2x1=2,|c|=V5,

TTT

t—>Q，CC2T42

故a在c方向上投影向量的坐标是：x—=-c=(-,

©Ic|555

故选；B.

4.(5分)函数/(X)=2'+x,g(x)=log2A+x,九(%)=4+%的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大

小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【解答】解：f(A-)=2'+x=0,则-x=2L

g(x)=loglv+x,贝Ij-=logiY,

h(x)=y/x+x=O,可得x=0,即c=O,

•・•函数/（x）,g（X）的零点分别为。，b,

作出函数y=2Ly=10g2x,y=-x的图象如图,

由图可知：b>O=c>a.

故选：C.

5.（5分）在△/18C中，角A,B,C的对边分别为mb,c,则“（a-ccosB）sinB=（/?-ccosA）sin/1

是“A=B”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【解答】解：*.*（a-ecosB）sinB=Cb-ccosA）sinA,

b（.a-ccofiR）=a（.b-ecosA）,

/.bcosB=acosA,

*bcosAsinB

,acosBsinA'

11

,sin2A=-sin2B,

22

=B或4+8=冬,

故由左不可以推右，由右可以推左.

故选：B.

6.（5分）3个男生和3个女生随机排成一排照相，有且只有2个女生相邻的排法种数为（）

A.144B.288C.432D.576

【解答】解：3个男生和3个女生随机排成一排照相，

则有且只有2个女生相邻的排法种数为或掰&属=432.

故选：C.

7.（5分）己知函数/（无）=V1+sin2x+sinx-cosx,则f（x）值域为（）

A.[-2,2JB.[-2,V2]C.[-V2,2]D.[-V2,V2]

[解答]解：f(x)=V1+sin2x+sinx-cosx=|sin.v+cos.r|+siii¥-COSJ,

当一百+2k;r工工工等+2%71,依Z时，

f(x)=sinx+cosj：+siiu-cosx=2sinv,

函数/(，r)的值域为[-VL2],

,3TT77r,

当一+2kn<x<一+2kn,keZ时，

44

f(x)=-2cosx,

函数/(x)的值域为[一或，2],

综上所述，函数/(工)的值域为[一&，2].

故选：C.

3V3

8.(5分)三棱锥0-48C中，AMC是边长为3的正三角形PC_L8C.若三棱锥夕-ABC的体积为二

则PA的最小值为()

LL5

A.V3B.2C.V5D.-

2

【解答】解：〈PCLBC,在过。点且与8C垂直的平面PC4上，

如图平面PC4J■面ABC,且面尸C41n面4BC=/,

3

-

过A作/的垂线段交/于点A',则A4'_L平面PC4,且A4'2

因为三棱锥P-ABC的体积为当，

所以Pp-ABC=5*SdABC,h=挈,

lV3.3y/3

n即一x—x3xL/i=---,

342

解得〃=2,

即点P的轨迹是与/平行且距离为2的直线，

因为点A到直线/的最短距离为AA'=1,

所以此时PA取得最小值v环二调==1,

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

(多选)9.(6分)已知数列｛“〃｝为等比数列,首项m>0,公比物(・1,0),则下列叙述正确的是()

A.数列｛m｝的最大项为m

B.数列｛an｝的最小项为ai

C.数列｛如如+1｝为递增数列

D.数列｛。2〃/+。2“｝为递增数列

【解答】解：对于4由题意知当〃为偶数时，〃“V0Vm,

2

当n为奇数时,an>(),an+2-an=an(q-1)<0,

Afli最大，

综上所述：数列｛斯｝的最大项为m,故A正确；

对于B,当〃为偶数时，an<0,册+2-=即(。2-1)>0，最小；

当n为奇数时,an>0>a2.

综上所述：数列｛〃”｝的最小项为42,故B正确；

2

对于C,ancin^\=anq,a〃+ia〃+2=Q^+Jq,

222

/.an+\cin+2-anan+\=q(an+1—an)=q(g--1)an,

V-\<q<0,At72-1<0,.*.«?,+1fl/,+2-

・•・数列｛。,以〃+|｝是递增数列，故C正确；

对于D,\'ci2n+\+a2n=a2n-1(1+q),62“+1+。2”+2=。2〃+1(1+<7)>

(。2"+1+。2"+2)-C(l2n-=(1+(7)(。2"+1-42”-1)=(I+<7)Cq~-1)Cl2n-1,

V-1<<7<0,/.1+^>0,(f-1<0,

又:.(42〃+|+42〃+2)-(Cl2n-\+d2n')<0,

・••数列｛。2〃-1+42〃｝为递减数列，故。错误.

故选：ABC.

(多选)10.(6分)下列说法正确的是()

A.小明统计了近5次的数学考试成绩，分别是90,120,108,123,116,则这组数据的第60百分位

数是116

B.一组数据(1,3),(2,8〕，(3,10),(4,14),(5,15)的经验回归方程为y=3x+a,则当x=5

时，残差为・1

C.一组数据用,X2,…，物的均值为焉标准差为S,则数据比,以，…，一的均值为数

D.设随机变量X〜N(l,3),且P(X>3)=p,则P(-14XVI)=?

【解答】解：对于A,将5次数学考试成绩按从小到大排序，依次为90,108,116,120,123.

而0.6X5=3,所以这组数据的第60百分位数是116：20=I®故人错误：

“工nr+rH??*—1+2+34-4+5c—3+8+10+14+15.

对于3,由题底，x=---------------=3,y=--------------------=10A，

则a=10—3x3=1,所以y=3x+l,

令x=5,则y=16,所以残差为15-16=-1,故B正确；

对于C,s2=9匕区一守二毙］阳2_白匕2笊+袅］铲

=就陶阳2―2//屋阳年"2,

所以数据*，若，…，琮的均值为S2+/,故C正确；

对于。，由对称性可知，P(-1WXV1)=P(1VXW3)=±#,故。错误.

故选：BC.

y2y22

(多选)u.(6分)如图所示，双曲线=1。>°)与抛物线y=6—5围成封闭曲线£若对于)，

216勺

轴上一定点4(0,a),E上恰有3对不同的点关于点4对称，则实数。的值可能是()

A.2B.-C.3D.—

22

y2X2V-2

【解答】解：双曲线方--=l(y>0)与抛物线y=6-高围成封闭曲线E.若对于)，轴上一定点4(0,

a）,E上恰有3对不同的点关于点A对称，

过点A与▲•轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上.

双曲线的一个顶点为：（0,V2）,抛物线的顶点（0,6）,两个顶点的中点（0,二一）,

两条曲线的〜个交点（4,2）,

可得a＞智并且a＜卜+（3+孝一2尸.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）已知直线八，/2为圆Ci：f+y=l与C2：f+y2-6x-8y=0的公切线，设八，，2的夹角为。.则

24

sin8的值为—.

【解答】解：由圆Ci：/+32=1,得圆心为。（0,0）,半径川=1,

由圆Q：/+/-6x-8y=0=（x-3）2+（y-4）2=25,得圆心为。2（3,4）,半径n=5,

则r2-1=5-l=4V|CiQ|="32+42=5Vr\+q=6,则两圆相交，有两条公切线，

设两直线交于p,/I,2的夹角为e,设ar_Li于八，CC2T2JJ于乃，如图所示：

n

^\sinz.CAPT2=sin|C⑺尸n=1,|C2及|=rz=5,

4e3

赃s

宁

由几何关系知：—^Q~-%=IGQI=5，代入川=1，，2=5,得si7i?=2一=-

co5

sin-sin-z

所sr以।'Is,i"Ja=Q2sm.2ecos28=西24.

故答案为:n

13.（5分）若函数/（x）的定义域为（0,+8）,且/（x）4/（y）=/（盯），/（如）=〃+/（〃），则里1/（?）=

n(n+l)

2'

【解答】解：•・•函数fQ）的定义域为（0,+8）,且/（x）4/（），）=/（孙）,

，取x=y=l,W/(l)+f(l)=/(lXl),解得f(1)=0,

又因为f(an)=n+f(z?),结合f(x)+/(y)=f(xy),

则E%=/<Y)V(7)+F(争

ii

=[f(671)4/(1)]+|/(。2)—(一)]+・・・+|/+f(-)J

2n

11

=/(£71)+f(42)+--+/,(a〃)(1)+f(£)+…

11

=14/(1)+2+f(2)+,•,+/?+/*(/l)tf(l)+/(-)+•••+/(-)

2ZT

111

=1+2+…4/(-)]+[/,(2)+/-<-)]+•••+[/,<«)+/(-)]

12Tl

=+/⑴4/⑴+•••+/,⑴二鸣曲.

故答案为：等2

14.(5分)平面四边形人8c。中，AB=BC=CD=2®ZC=^,乙仁孑将沿BO翻折，当人。

与/3C所成角最大时，四面体A/3c。外接球的表面积为24c.

【解答】解：平面四边形人BCD中，AB=BC=CD=2®ZC=ZA=

在△CBQ中，由余弦定理得：

7?^=12+12-2x2>/3x2\/3xBD=2同

当AD与5c所成角最大时,AD±BC,

此时四面体ABCD的外接球半径R=|J（2>/3）2十（26）2=瓜.

四面体ABCD的外接球表面积为5=4H/?2=24TT.

故答案为：24TT.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)学军中学进行象棋大赛，甲、乙两人参赛，每局比赛时若决出胜负则获胜方得2分，负方得

。分；若平局则各得I分.已知甲在每局中获胜、平局、负的概率分别为：，"且各局比赛结果

244

相互独立，若比赛共进行了2局，记其事甲的得分为随机变量X.乙的得分为随机变量K

⑴求P(X=3)；

(2)记随机变量z=x-v,求z的数学期望七(Z).

【解答】解：(1)P(X=3)=1x/打

(2)由题意可得Z的所有可能取值为-4,-2,0,2,4,

111

贝iJP(Z=-4)=P(X=0,丫=4)='^=点，

P(Z=-2)=(X=I,Y=3)=7x彳+彳x彳=G，

44448

111111R

P(Z=0)=(X=2,Y=2)=5x彳+彳x亍+了x彳=

24424416

P(Z=2)=(X=3,r=l)=|x1+ix|=i,

24424

P(Z=4)=P(X=4,y=0)=1xi=i,

224

所以z的分布列为：

Z-4-2024

P(Z)11511

1681644

期望E(Z)—­4x/+(-2)x*+0x尚+2x14-4x,=1.

16.(15分)如图所示，四棱锥P・A8co中，底面4BCO为平行四边形PQ_L平面ABCD,AD=1,AB=

2,ZBAD=LH为线段PC上一点,且CP=3CH,E为PB的中点，过的平面分别交PC,PO于

F,G,且BD〃平面AEFG.

(1)证明：AG〃平面BDH：

(2)若PO=2百，求B/与立面A£FG所成角的余弦值.

p

【解答】解：(1)证明：因为B。〃平面4ER7,3Ou平面5OP,平面AEFGA平面8QP=EG,

所以BD//EG,

因为£为8。中点，所以G为。户中点，

连接GC,AC分别交QH,BD于M,N,

在△POC中，G为DP中点,CH二CP,

所以何为GC中点，又N为AC中点，所以用N〃AG,

因为MMz平面BDH,人GC平面BDH,所以人G〃平面BDH；

(2)因为40=1,48=2,ZBAD=所以

又PD_L平面ABC。，所以P。，AD,两两互相垂直，

则以D为坐标原点，PD,AD,DB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(1,0,0),B(0,V3,0),C(-1,V3,0),P(0,0,2遮)，G(0,0,V3),E(0,号，V3),

因为〃平面AER7,平面BOPA平面4ER7=EG,所以BD〃EG,

因为BOu平面BOH,EGC平面BDH,所以EG〃平面BD”，

由(1)知，4G〃平面8。“，EGCiAG=G,所以平面8D”〃平面4EFG,

因为G为尸。中点，由面面平行的性质，可知”为PH中点，

故此时F(—1,卓，华)，所以加=(T，一竽，等)，

因为京=(一1,o,V3),AE=(-1,卓，V3),

乙

设平面A£FG的法向量为m=(X,y,z),

m-AG=-x+V3z=0…

--/q,解得y=0,

(m-AE=-x+号y+V5z=0

令％=则z=1,所以m=(6，0,1),

\BF-m\373

设8尸与平面AEFG所成角为8,于是sin。==

\BF\\m\2闹’

17.(15分)已知函数/(x)="+2ex+a.

(1)若直线y=x+3是曲线)，=/(、)的切线，求〃的值：

(2)若/(x)-x+1对任意实数x恒成立，求a的取值范围.

【解答】解：(1)因为/(x)=ex-2e\直线y=x+3是曲线y=/(x)的切线，

令，(x)=1,所以山・2/1=1,所以S-2)(F+1)=0,解得F=2或/=・1(舍去),

所以x=/〃2,代入直线y=x+3得y=/〃2+3,即切点为(加2,/〃2+3),

即/立+2/加2+〃=/〃2+3,所以a=ln2；

vx2

(2)令g(A)=e+2e'+a-x^x~1,则£Q)=b-2e-2A十1,

令h(x)="-2eT-2r+l,则九'(％)=婕+26-”-222J/.-2=2四-2>0,

所以可得g'(x)="-2e"-2r+l为递增函数，又g(0)=』-2e°+l=(),

所以g(x)="+26»"+〃-Phr-1在(-8,o)上单调递减，在(0,+«>)上单调递增，

故g(x)min=g(0)=2+4若/(x)2.1-工+1对任意实数上恒成立，

则2+。20,解得。2-2,即〃的取值范围是［-2,+8).

x2y2

18.（17分）已知椭圆。：—+—=1（«>/?>0）左右焦点分别为尸1,尸2,且其中一个焦点与抛物线

Q：尸=4犬的焦点重合，直线1与椭圆交于A,8两点,△A/3F2的周长为8.

（1）求椭圆的标准方程：

（2）若斜率为上的直线AF2与抛物线交于C,。两点，斜率为上直线BF2与抛物线交于E,E两点.

①求;+；和二一（用含m的代数式表示）；

k]k2k1k2

②若0<〃?V当，试判断|C7）|”EF|是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）抛物线C2：的焦点坐标为（1,0）,

由题意可得尸2（1,0）,即c=l,

尸2的周长为8,由椭圆的定义可得4a=8,a=2,

:・b=y/a2—c2=V3,

42y2

二•椭圆的标准方程为+77=1.

43

_x2y2(my—I)2v2

(2)①联立直线x=my-1与椭圆方程4-i―=1＞可得」,――+^―-=1.

4343

整理得(3/J+4))，2・6/町，-9=0,设4(xi,)“)，B(必”)，

.,6m-9

，，yi+y2=W+4,yi'y2=W+4f

VFi(-1,0),F2(1,0),・・・七二^\,k2=-^r»

1L

Xj-1x2-1

.11Xi-1久2Ty21-2)+yi(my2-2)2myy-2(y+y)-187n-l2m10

••一+-=----+-----=------------------------=-----1--2------1----2-=------------=—m»

电&yiy2为为-93