2026届江苏省南京市江浦高级中学、六合高级中学、江宁高级中学三校高二数学第一学期期末监测试题含解析

2026届江苏省南京市江浦高级中学、六合高级中学、江宁高级中学三校高二数学第一学期期末监测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．渐近线方程为的双曲线的离心率是（）A.1 B.C. D.22．已知双曲线：与椭圆：有相同的焦点，且一条渐近线方程为：，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.3．已知双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为（）A.16 B.8C.2 D.14．两个圆和的位置是关系是（）A.相离 B.外切C.相交 D.内含5．直线的斜率为（）A.135° B.45°C.1 D.-16．已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆的两条切线、，使得，其中、为切点．在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为（）A. B.C. D.7．不等式的解集为（）A.或 B.C. D.8．已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（）A. B.C.1 D.29．已知三个顶点都在抛物线上，且为抛物线的焦点，若，则（）A.6 B.8C.10 D.1210．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A. B.C D.11．已知命题：，，命题：，，则（）A.是假命题 B.是真命题C.是真命题 D.是假命题12．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是（）A.极差 B.方差C.平均数 D.中位数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如果椭圆上一点P到焦点的距离等于6，则点P到另一个焦点的距离为____14．如图，将一个正方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，若该棱锥的体积为，则该正方体的边长为___________.15．已知直线与直线平行，则实数______16．已知直线与平行，则实数的值为_____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离.18．（12分）已知椭圆C：（）过点，且离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点（）的直线l（不与x轴重合）与椭圆C交于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，直线AC与x轴交于点Q，试问是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由19．（12分）已知是等差数列，其n前项和为，已知（1）求数列的通项公式：（2）设，求数列的前n项和20．（12分）已知抛物线上任意一点到焦点F最短距离为2，（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F的直线，互相垂直，且与C分别交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面积的最小值21．（12分）已知双曲线及直线（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围（2）若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长22．（10分）如图①，在梯形PABC中，，与均为等腰直角三角形，，，D，E分别为PA，PC的中点.将沿DE折起，使点P到点的位置（如图②），G为线段的中点.在图②中解决以下两个问题.（1）求证：平面平面；（2）若二面角为120°时，求CG与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据双曲线渐近线方程可确定a,b的关系，进而求得离心率.【详解】因为双曲线近线方程为，故双曲线为等轴双曲线，则a=b,故离心率为，则，故选：B.2、B【解析】由渐近线方程，设出双曲线方程，结合与椭圆有相同的焦点，求出双曲线方程.【详解】∵双曲线：的一条渐近线方程为：∴设双曲线：∵双曲线与椭圆有相同的焦点∴，解得：∴双曲线的方程为.故选：B.3、C【解析】根据双曲线的渐近线方程的特点，结合虚轴长的定义进行求解即可.【详解】因为双曲线＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，所以，因此该双曲线的虚轴长为，故选：C4、C【解析】根据圆的方程得出两圆的圆心和半径，再得出圆心距离与两圆的半径的关系，可得选项.【详解】圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，则，所以两圆的位置是关系是相交，故选：C.【点睛】本题考查两圆的位置关系，关键在于运用判定两圆的位置关系一般利用几何法.即比较圆心之间的距离与半径之和、之差的大小关系，属于基础题.5、D【解析】由斜截式直接看出直线斜率.【详解】由题意得：直线斜率为-1，故选：D6、D【解析】连接、、，分析可知四边形为正方形，求出点的轨迹方程，分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接、、，由圆的几何性质可知，，又因为且，故四边形为正方形，圆心，半径为，则，故点的轨迹方程为，所以，线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环，故在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为.故选：D.7、A【解析】根据一元二次不等式的解法可得答案.【详解】由不等式可得或不等式的解集为或故选：A8、B【解析】由点在抛物线上，求得参数，焦点到其准线的距离即为.【详解】由点在抛物线上，易知，，故焦点到其准线的距离为.故选：B.9、D【解析】设，，，由向量关系化为坐标关系，再结合抛物线的焦半径公式即可计算【详解】由得焦点，准线方程为，设，，由得则，化简得所以故选：D10、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线的距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A11、C【解析】先分别判断命题、的真假，再利用逻辑联结词“或”与“且”判断命题的真假.【详解】由题意，，所以，成立，即命题为真命题，，所以不存在，使得，即命题为假命题，所以是假命题，为真命题，所以是真命题，是假命题，是假命题，是真命题.故选：C12、C【解析】根据茎叶图依次计算甲和乙的平均数、方差、中位数和极差即可得到结果.【详解】甲的平均数为：；乙的平均数为：；甲和乙的平均数相同；甲的方差为：；乙的方差为：；甲和乙的方差不相同；甲的极差为：；乙的极差为：；甲和乙的极差不相同；甲的中位数为：；乙的中位数为：；甲和乙的中位数不相同.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、14【解析】根据椭圆的定义及椭圆上一点P到焦点的距离等于6，可得的长.【详解】解：根据椭圆的定义，又椭圆上一点P到焦点的距离等于6，，故，故答案：.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.14、2【解析】根据体积公式直接计算即可.【详解】设正方体边长为，则，解得.故答案为：15、【解析】分类讨论，两种情况，结合直线平行的知识得出实数.【详解】当时，直线与直线垂直；当时，，则且，解得.故答案为：16、或【解析】根据平行线的性质进行求解即可.【详解】因为直线与平行，所以有：或，故答案为：或三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）【解析】（1）易得，再由勾股定理逆定理证明，即可得线面垂直；（2）根据（1）得，进而根据几何关系，利用等体积法求解即可.【详解】解：（1）连接，∵，是中点，∴，，又，，∴，∴，∵，∴，∴，，平面，∴平面；（2）∵点在棱上，且，，为的中点.∴，∴由余弦定理得，即，∴，由（1）平面，设点到平面的距离为∴，即，解得：所以点到平面的距离为.18、（1）（2）为定值【解析】（1）由题意可得解方程组求出，从而可得椭圆方程，（2）设直线AB：，，代入椭圆方程，消去，利用根与系数关系，再表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，从而可表示出，然后化简可得结论【小问1详解】由题意得解得故椭圆C的方程为；【小问2详解】设直线AB：，，联立消去y得，设，，得，，因为点C与点B关于x轴对称，所以，所以直线AC的斜率为，直线AC的方程，令，解得可得，所以，因为，所以，所以为定值【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是将直线AB的方程代入椭圆方程中化简，利用根与系数关系，结合已知条件表示出直线AC的方程，从而可求出点Q的坐标，考查计算能力，属于中档题19、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.【小问1详解】因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，故可得：，，解得，又，故.【小问2详解】由（1）知，，又，故.即.20、（1）（2）128【解析】（1）设抛物线上任一点为，由可得答案.（2）由题意可知，的斜率k存在且不为0,设出其方程并与抛物线方程联立，得出韦达定理，从而得出弦长的表达式，同理得出弦长的表达式，进而得出四边形AMBN面积的不等式，从而求出其最小值.【小问1详解】设抛物线上任一点为，则，所以当时，，又∵，∴，即所以抛物线C的方程为【小问2详解】设交抛物线C于点，,交抛物线C于点，由题意可知，的斜率k存在且不为0设的方程为由，得，同理可得，，当且仅当时，即时，等号成立∴四边形AMBN面积的最小值为12821、（1）且；（2）【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出k的范围（2）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可【详解】（1）联立y=2可得∵与有两个不同的交点，且，且（2）设，由（1）可知，又中点的横坐标为，，或又由（1）可知，为与有两个不同交点时，22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过两个线面平行即可证明面面平行（2）以为坐标原点建立直角坐标系，通过空间向量的方法计算线面角的正弦值【小问1详解】如上图所示，在中，因为D，E分别为P