2010年高考（理科）解析几何试题的考查研究

年高考（理科）解析几何试题的考查研究摘要本文以2010年全国理科高考卷（19份）为研究对象，对每份试卷的解析几何试题进行逐题统计、归类分析。阐述2010年全国各地理科高考解析几何试题的特点、命题趋势、数学思维能力考查特点。希望中学教师重新审视解析几何内容的地位和功能，通过命题研究提高课堂教学效率。关键词：命题研究、统计分析、知识点与能力考查

前言总所周知，圆锥曲线在高中教材中是选修部分，而且难度系数一般。然而，在全国各省高考题中，圆锥曲线乃必考知识点，而且以各种题型出现，占分比重很大，命题者很容易将任何必修知识点与之结合一起考，这样一个选修、较为容易的知识点在高考中能占据重要一席，考生又该去如何破解？引人深思。一、2010高考（理科）解析几何试题的总体分布统计本文以2010年全国理科高考卷（19份）为研究对象，对每份试卷（以下简称试卷）的解析几何试题进行逐题统计、归类分析。将试卷分为新课标地区试卷（12份）、非课标地区试卷（6份）、综合改革试点区（1份）进行逐题研究。包括：所在试卷题号、考查分值、曲线背景、主观题设问特点、整卷考查涉及的解析几何知识点、与其它知识交汇点共六部分进行统计。见表一：表一：2010年高考解析几何试题的总体分布情况年份省份试卷题号考查分值曲线背景主观题设问特点涉及知识点与其它知识交汇点2010新课标地区试卷（12份）课标全国卷（12）（15）（20）21分双曲线；圆；椭圆求离心率；求轨迹方程标准方程；切线；椭圆定义；弦长公式；离心率等差数列山东（16）（21）16分双曲线；圆；椭圆求标准方程；证明等式；是否存在的开放设问离心率；直线方程；点到直线距离；标准方程；斜率；弦长公式广东（12）（20）19分双曲线；圆求轨迹方程；求点坐标点到直线距离；直线方程；斜率；直线垂直江苏（文理合一）（6）（8）（9）（18）31分抛物线;双曲线；圆；椭圆求轨迹；求点坐标；证明过定点切线；直线方程；点到直线距离等比数列天津(5)(13)(20)21分双曲线；圆；椭圆;抛物线求标准方程；求点坐标准线；渐近线；标准方程；点到直线距离；离心率；直线方程向量数量积浙江（8）（13）（21）24分双曲线；椭圆;抛物线；圆；求直线方程；求参数取值范围准线；渐近线；双曲线定义；点到直线距离；直线方程辽宁（7）（9）（20）22分双曲线；椭圆;抛物线求离心率；求标准方程准线；渐近线；斜率；离心率；直线方程；标准方程向量共线福建（2）（7）（17）23分双曲线；椭圆;抛物线；圆求标准方程；求直线方程；是否存在的开放设问标准方程；椭圆定义；平行线间的距离；直线方程向量数量积安徽（5）（7）（19）23分双曲线；椭圆；圆求标准方程；求直线方程；是否存在的开放设问标准方程；圆参数方程；点到直线距离；离心率；直线方程北京（5）（13）（19）24分双曲线；椭圆；圆求轨迹；求点坐标；是否存在的开放设问圆极坐标方程；标准方程；渐近线；离心率；点到直线距离；直线方程湖南（3）（14）（19）23分椭圆;抛物线；圆求轨迹方程（局部曲线）；应用题圆极坐标方程；直线参数方程；标准方程；椭圆定义；点到直线距离；平行线间的距离；直线方程等比数列陕西（8）（20）18分椭圆;抛物线；圆求标准方程；求直线方程；是否存在的开放设问准线；切线；斜率；标准方程；直线方程向量的模与数量积非课标地区试卷（6份）大纲全国（Ⅰ）（9）（11）（16）（21）27分双曲线；椭圆；圆；抛物线证明三点共线；求圆方程双曲线定义；切线；离心率；标准方程；斜率；直线方程向量共线与数量积大纲全国（Ⅱ）（12）（15）（21）22分双曲线；椭圆；圆；抛物线求离心率；证明直线与圆相切椭圆、抛物线定义；切线；离心率；标准方程向量共线重庆（8）（10）（14）（20）27分双曲线；椭圆；抛物线求标准方程、渐近线；求三角形面积；倾斜角；点到直线距离；圆参数方程；双曲线定义；准线；渐近线；离心率；标准方程；直线方程立体几何湖北（2）（9）（19）22分椭圆；半圆；抛物线求轨迹方程（局部曲线）；参数取值范围；是否存在的开放设问椭圆、圆的图像；抛物线定义；切线；标准方程向量数量积江西（8）（15）（21）21分双曲线；椭圆；圆；抛物线求离心率；求标准方程弦长公式；双曲线定义；离心率；标准方程；直线方程；垂心、重心向量数量积四川（9）（14）（20）21分双曲线；椭圆；圆求轨迹方程；判断曲线是否过定点；开放性设问椭圆定义；弦长公式；双曲线定义；标准方程；直线方程向量数量积综合改革试点区（1份）上海（3）（5）（13）（16）（23）35分双曲线；椭圆；圆；抛物线求点坐标；证明中点问题；求参数取值范围抛物线定义；点到直线的距离；渐近线；标准方程；直线参数方程；斜率向量加法统计显示，解析几何试题的题量有2、3、4、5题，其中考查三题的最多，有12份试卷，占总数的63%，只有上海考查5题所占比重最大。所占分值由最少的16分（山东）到最多的35分（上海），将所占分值由小到大列出，发现分值的众数是21分，中位数是22分，约占总分的15%。每份试卷考查题型的结构几乎都是由一个主观题和几个客观题组成。二、2010高考（理科）解析几何试题的知识点分类研究《课标》关于本专题的内容主要包括：直线与方程、圆和圆锥曲线．主要涵盖的知识点有直线的倾斜角、斜率、方程、两直线平行或垂直、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两条平行线间的距离.圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系、两圆的位置关系。圆锥曲线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质.直线与圆锥曲线的位置关系。方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

表二：11个具体的常见考查内容。知识点圆锥曲线标准方程切线圆锥曲线定义弦长公式离心率渐近线准线直线方程（含斜率、倾斜角）点到直线距离两直线的位置极坐标参数方程试卷份数1661141065191145由表二可见，虽然解析几何部分的平均分值仅占总分的15%，但涉及的知识点分布广、覆盖全面。涉及的知识点较多的是直线方程、圆锥曲线的标准方程和定义、点到直线的距离以及离心率等概念。和其他知识点交汇命题的主要集中在向量的共线与数量积运算。每份试卷至少涉及三种以上的曲线，有8份试卷即将近一半的试卷涵盖四种曲线，因此对曲线类型的考查覆盖面广，不能说哪种类型的曲线重要或次要。客观题重点考查的内容是：直线方程，圆方程，圆锥曲线的定义，标准方程及其应用，离心率、焦点、准线和渐近线等简单的几何性质.计算量小，突出对解析几何概念和几何性质的理解。主观题重点考查的内容是：圆锥曲线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系.常考的题型有求轨迹、最值、定值、对称、参数范围、几何证明、实际应用和探究性问题等.主观题多数都位于19题以后即后三题，属于把关题性质，意在区分优秀生和中等生。设问方式采取循序渐进的多问递进，以求或证明确定性的结论为主，有7份试卷是开放性的设问，但解决方法仍然是先假设问题的存在性，再依据题意推理或推算结果是否符合逻辑。主观题的题干、设问延续前几年的方式，形式稳定。只有湖南卷是以应用题的形式呈现，考查建模能力和解决实际问题的能力，是该部分主观题题面、设问比较新颖的。三、2010高考（理科）解析几何试题的能力考查研究《课程标准》指出：高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。其中直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，是数学思维能力的具体体现。对比试卷对数学思维能力的考查，主要体现如下特点：（一）考查方程（组）的思想及运算求解能力统计显示，有三份试卷（北京、重庆、江西）的主观题，不需要将直线代入圆锥曲线方程，转化为二次方程的问题求解，但也需要解方程，且字母运算多，往往需要整体消元的思想。有一份试卷（安徽）入手宽，即可用传统的直线、曲线联立，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的思想，用整体运算、对称运算的方法求解。有15份即接近八成的试卷，都需要联立直线和曲线方程，进而转化为二次方程的运算，而且联立后得到的新二次方程均含有参数，其中有8份试卷含一个参数；5份试卷含两个参数；各有一份含三个（课标全国Ⅰ卷）和四个参数（上海卷）。显然含参数二次方程的运算能力是区分得分率的最重要的能力。几乎每份试卷的主观题都涉及直线方程，方程的求解运算。主观题的题干明显趋向于考查直线与曲线的位置关系、函数方程思想的运用、分类讨论的思想。对数形结合的思想、圆锥曲线的几何性质考查似乎有所淡化。因此将直线方程代入曲线方程，形成新的二次方程是计算的基本功，对参数的运算处理和面对繁琐运算的毅力是考生非常重要的素质。在教学中，切记不能将教案的计算结果直接给出，在课堂上舍得花时间和学生同甘共苦计算、阐述每步计算的算理、区分不同参数的地位作用都是解析几何教学的重点。（二）考查归纳类比和演绎证明的能力数学问题的新颖和陌生往往会增加难度，但若能联想或转化为熟悉的知识，能充分运用归纳类比的思想，问题难度就自然降低。例如2010上海理科的解析几何试题是本年度该板块最难的考题，涉及字母运算参数最多、要求考生计算和构建能力最强，而且是唯一以解析几何内容作为压轴题。认真研究本题，发现该题的题源来自圆的知识。其核心问题是圆的任一条弦与圆心和弦中点连线垂直。问题若设计为：问题1：已知圆S:（a>0），直线L1：y=交圆S于C、D两点，交直线L2：y=于E点，若，证明：E是CD的中点。问题2：已知椭圆(a>b>0)，直线L1：y=交圆S于C、D两点，交直线L2：y=于E点，若，证明：E是CD的中点。问题2就是上海理科高考的第二问。给出问题1就能启发学生对问题2的类比思维。若分别联立两条直线方程与椭圆方程，就会出现含四个参数的二次方程，运算复杂，若能联想到是问题1的迁移，就可转化为：若直线与椭圆相交所成的弦，与过原点的直线的斜率之积为定值，则过原点的直线必过弦的中点，从这个角度思考就可避免直线方程中参数的困扰，减少字母运算。四、2010高考（理科）解析几何试题的综合评述对比该专题在前三年全国高考（理科）试卷的特点，2010年体现的显著特点是继承和稳定。没有区分于前三年的特别出彩的亮点。表三：2007~2009全国高考（理科）试卷共41份的统计结果试卷年份直线方程及斜率圆锥曲线标准方程直线与椭圆位置关系直线与双曲线位置关系直线与抛物线位置关系圆的方程几何性质曲线与曲线位置关系曲线的切线向量及坐标运算弦长表示及运算动点轨迹局部曲线开放性设问最值或参数范围含参二元二次方程200725112432181537842008289441249523573200951310445238452361本专题命题趋势依然集中在圆锥曲线标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系。前三年集中在直线与椭圆的位置关系上，2010年考查范围更广，对曲线背景呈现出多样化的特点，和其它知识的交汇命制依然集中在向量及坐标运算上。进一步深化能力立意，进一步加强解析几何与平面向量、函数（包括三角函数）、方程、不等式、数列、导数等相关知识的链接、渗透与融合，注重在知识网络的交汇点处设计试题，注重数学知识的整体性.多数试题在强调考查通性通法、淡化特殊技巧的同时，增加了思维量和运算量（特别是字母运算）的考查.

结论综观2010年全国各地高考解析几何试卷，基本上继承和发扬了“题型、内容和难度相对稳定，突出考查数学主干知识，注重通性、通法和适度创新”的特点，命题日趋成熟，多数题目源于教材又高于教材且综合运用方程、不等式、函数和平面向量等工具，合理调控综合难度，宽覆盖面、高视点、多层次地考查了解析几何的基本思想和学生的数学素养，遵循了“有助于高校选拔人才，有助于中学实施素质教育”的原则.参考文献[1]储瑞年.《2003年数学高考