初中数学常见杨辉三角规律（1）-利用横行规律解题

初中数学常见杨辉三角规律（1）——利用横行规律解题杨辉三角形，又称帕斯卡三角形、贾宪三角形、海亚姆三角形，它的排列形如三角形。因为首现于南宋杨辉的《详解九章算法》得名。在欧洲，因为法国数学家布莱兹‧帕斯卡在1653年的《论算术三角》中首次完整论述了这个三角形，故也被称作帕斯卡三角(Pascal'striangle)。人教版初中数学八年级下册第113页，阅读与思考中对杨辉三角进行了简单的介绍。

今天结合初中命题中会用到的情况进行分析，结合具体的题目利用杨辉三角的横行规律解题。在初中数学上，杨辉三角的介绍和二项式展开式有关：

（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5……二项式系数是二项式定理中各项的系数。而二项式系数可排列成杨辉三角，这样可以避免这样的麻烦，直接找到答案。

如何直接写出各项系数？如图，在最上面一行的中央写下数字1；第二行，写下两个1，和上一行形成三角形；随后的每一行，开头和最后的数字都是1，其他的每个数都是它左上方和右上方的数之和，就是说除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和。一．利用杨辉三角的构建过程解题例1．在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将上述等号右边的式子的各项系数排成下表，如图：（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3这个图叫做“杨辉三角”，请观察这些系数的规律，直接写出（a+b）5＝__________，并说出第7排的第三个数是___．【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；15.【解析】根据杨辉三角的构建：把第6行写出来：得到：（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5再借助规律写出第7行：1515201561，故第三个数是二、杨辉三角的横行个数及数字和规律①横着每一行都有对应数字个数，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，……②横着每一行数字相加得到：a1=1=20，a2=2=21，a3=4=22，…，an=2n-1.例2．我们知道(a+b)n展开式中的各项系数依次对应杨辉三角第行中的每一项，如图给出了“杨辉三角”的前7行，请你按照这个规律，直接写出展开式共有______项，展开式的系数和是_______．【答案】2021；22020.【解析】由于第一行对应的是(a+b)0，所以(a+b)2020对应的第2021行，所以共有2021项；展开式系数和为22020.三、巧设未知数的值求展开式系数和当二项式的a，b有了具体的式子时，系数和就不仅仅时杨辉三角横行之和，这时巧设未知数的值可解决问题。例3．我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按x的升幂排列得：．图一图二……依上述规律，若，则__________．【答案】315．【解析】（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．当x=1，s=2时，a0+a1+a2+…+a15=（2+1）15=315．四、杨辉三角中隐含的11的幂杨辉三角还揭示了11为底的幂的值。如图，将每一行的数字挤压到一起，前5行直接得到，第六行将十位数加到它左侧数字上，，，如果出现了三位数同样进位处理即可。…例4．杨辉三角是一个由数字排列成等腰三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（此处，，，，，，）的展开式中的系数，杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字组成的，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．（1）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为）都是上一行的数与_____积．（2）由此你可写出=_________________．【答案】11，161051．【解析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．（1）11，121=11×11，1331=121×11，14641=1331×11，15101051=14641×11，

（2）11

5=（10+1）

5=10

5+5×10

4×1+10×10

3×1

2+10×10

2×1

3+5×10×1

4+1

5=161051，

针对性训练：1．如图，为杨辉三角的一部分，它的作用是指导读者按规律写出形如(为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下列等式中的规律，利用杨辉三角解决下列问题.（1）填出展开式中第二项是_________.（2）求的展开式；（3）计算：.解：（1）由题意可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；（2）；（3）原式=2．利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a1+a2+a3+a4+a5＝（）A．0B．1C．-32D．﹣33【答案】D．【解析】（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a