2026届河北大名一中高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2026届河北大名一中高二数学第一学期期末达标检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.2．已知双曲线，其渐近线方程为，则a的值为（）A. B.C. D.23．已知直线l：，则下列结论正确的是（）A.直线l的倾斜角是B.直线l在x轴上的截距为1C.若直线m：，则D.过与直线l平行的直线方程是4．已知为虚数单位，复数满足为纯虚数，则的虚部为（）A. B.C. D.5．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm6．若复数的模为2，则的最大值为（）A. B.C. D.7．已知函数，为的导数，则（）A.-1 B.1C. D.8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．若直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则直线与所成的角为（）A30° B.45°C.60° D.90°10．已知集合A=（）A. B.C.或 D.11．在四棱锥中，分别为的中点，则（）A. B.C. D.12．已知等比数列的公比为正数，且，，则（）A.4 B.2C.1 D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆被直线平分，则值为__________14．函数在点处的切线方程是_________15．根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为___________.16．等比数列的前项和为，则的值为_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图①，在梯形PABC中，，与均为等腰直角三角形，，，D，E分别为PA，PC的中点.将沿DE折起，使点P到点的位置（如图②），G为线段的中点.在图②中解决以下两个问题.（1）求证：平面平面；（2）若二面角为120°时，求CG与平面所成角的正弦值.18．（12分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点，；（2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点19．（12分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题在中，内角A，，的对边分别为，，，且满足______________（1）求；（2）若的面积为，在边上，且，求的最小值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20．（12分）区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015年至2019年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5年区块链企业总数量相关数据，如表年份20152016201720182019编号x12345企业总数量y（单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224注：参考数据，，，（其中）.附：样本的最小二乘法估计公式为，（1）根据表中数据判断，与（其中，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y关于x的回归方程；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，则求甲公司获得“优胜公司”的概率.21．（12分）已知椭圆，离心率分别为左右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值.22．（10分）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm（1）以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；（2）为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.2、A【解析】由双曲线方程，根据其渐近线方程有，求参数值即可.【详解】由渐近线，结合双曲线方程，∴，可得.故选：A.3、D【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；故选：D4、D【解析】先设，代入化简，由纯虚数定义求出，即可求解.【详解】设，所以，因为为纯虚数，所以，解得，所以的虚部为：.故选：D.5、A【解析】根据圆锥和球的体积公式以及半球的体积等于圆锥的体积，即可列式解出【详解】由题意可得，，解得．故选：A6、A【解析】由题意得，表示以为圆心，2为半径的圆，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，然后求出切线的斜率即可【详解】因为复数的模为2，所以，所以其表示以为圆心，2为半径的圆，如图所示，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设切线方程为，则，解得，所以的最大值为，故选：A7、B【解析】由导数的乘法法则救是导函数后可得结论【详解】解：由题意，，所以.故选：B8、C【解析】作出辅助线，找到异面直线与所成角，进而利用余弦定理及勾股定理求出各边长，最后利用余弦定理求出余弦值.【详解】如图所示，把三棱柱补成四棱柱，异面直线与所成角为，由勾股定理得：，，∴故选：C9、C【解析】直接由公式，计算两直线的方向向量的夹角，进而得出直线与所成角的大小【详解】因为，，所以，所以，所以直线与所成角的大小为故选：C10、A【解析】先求出集合，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为集合，所以.故选：A.11、A【解析】结合空间几何体以及空间向量的线性运算即可求出结果.【详解】因为分别为的中点，则,,,故选：A.12、D【解析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出【详解】设等比数列的公比为（），由题意得，且，即，，因为，所以，，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可【详解】解：的圆心圆被直线平分，可知直线经过圆的圆心，可得解得；故答案为：1【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题14、【解析】求得函数的导数，得到且，再结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，则且，所以在点处切线方程是，即故答案为：.15、12【解析】求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案.【详解】由得，设，，由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点，，，，所以，所以该光线经过的路程为12.故答案为：12.16、【解析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.故填：.【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过两个线面平行即可证明面面平行（2）以为坐标原点建立直角坐标系，通过空间向量的方法计算线面角的正弦值【小问1详解】如上图所示，在中，因为D，E分别为PA，PC的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，连接，交于点，连接，因为与均为等腰直角三角形，，所以，，所以，且，则四边形是平行四边形，所以是中点，且G为线段的中点，所以中，，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，，所以平面平面【小问2详解】因为，平面，，所以平面，所以可以以为坐标原点，建立如上图所示的直角坐标系，此时，，，，因为G为线段的中点，所以，所以，，，设平面的法向量为，则有，即，得其中一个法向量，，所以CG与平面所成角的正弦值为18、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；（2）由已知可得，，此时焦点在轴上，或，，此时焦点在轴上，进而可得椭圆的标准方程；【小问1详解】解：椭圆经过点，，，，，且焦点在轴上，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：长轴长是短轴长的3倍，且经过点，当点在长轴上时，，，此时焦点在轴上，此时椭圆的标准方程为；当点在短轴上时，，，此时焦点在轴上，此时椭圆的标准方程.综合得椭圆的方程为或.19、选择见解析；（1）；（2）【解析】（1）选条件①．利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式可得，从而可得答案；选条件②．边角互化、切化弦，结合两角和的正弦公式可得，从而得答案；选条件③．边角互化，利用余弦定理可得，从而可得答案；（2）由三角形面积公式可得得，再利用余弦定理与基本不等式可得答案.【详解】（1）方案一：选条件①由可得，由正弦定理得，因为，所以，所以，故，又，于是，即，因为，所以方案二：选条件②因为，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得，即，因为，所以，又，所以，因为，所以方案三：选条件③∵，∴，即，∴，∴又，所以（2）由题意知，得由余弦定理得，当且仅当且，即，时取等号，所以的最小值为20、（1）（2）（3）【解析】（1）根据表中数据判断y关于x的回归方程为非线性方程；（2）令，将y关于x的非线性关系，转化为z关于x的线性关系，利用最小二乘法求解；（3）利用相互独立事件的概率相乘求求解；【小问1详解】根据表中数据适宜预测未来几年我国区块链企业总数量.【小问2详解】，，令，则，，由公式计算可知，即，即所以y关于x的回归方程为【小问3详解】设甲公司获得“优胜公司”为事件.则所以甲公司获得“优胜公司”的概率为.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）方法一：根据离心率以及，可得出，将条件转化为点在以为直径的圆上，即为圆与椭圆的交点，将的面积用表示，求出，进而求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义，，再根据勾股定理和直角三角形的面积公式，即可解得，又由离心率求出，则可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理表示出，再将直线的方程代入椭圆方程，求出，则为定值.【小问1详解】方法一：由离心率，得：，所以椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得所以，解得：，所以椭圆的标准方程为：.方法二：由椭圆定义；，因为，所以，得到：，即，又，得所以椭圆C的标准方程为：；【小问2