2025年统计学专业本科毕业考试试卷及答案

2025年统计学专业本科毕业考试试卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.某城市2024年居民月收入数据呈右偏分布，若计算该数据的均值、中位数和众数，三者关系最可能为（）。A.均值＞中位数＞众数B.中位数＞均值＞众数C.众数＞中位数＞均值D.众数＞均值＞中位数2.设随机变量X~N(μ,σ²)，则P(|X-μ|≤1.96σ)的值为（）。A.0.90B.0.95C.0.99D.0.9973.在假设检验中，若原假设H₀为真，但被错误拒绝，此为（）。A.第一类错误（α错误）B.第二类错误（β错误）C.弃真错误D.取伪错误4.某样本容量为n=50，样本均值为x̄=35，样本标准差s=8，若总体方差未知，对总体均值μ进行95%置信区间估计时，应使用的临界值为（）。（t分布表：t₀.₀₂₅(49)=2.0096，Z₀.₀₂₅=1.96）A.1.96B.2.0096C.1.645D.2.5765.回归分析中，判定系数R²=0.85表示（）。A.自变量解释了因变量85%的变异B.因变量解释了自变量85%的变异C.自变量与因变量的相关系数为0.85D.回归模型的预测误差为85%6.对两个独立样本（n₁=20，n₂=25）进行均值差异的t检验，若总体方差未知但假定相等，其自由度为（）。A.43B.44C.45D.467.时间序列分解中，反映现象长期增长或下降趋势的成分是（）。A.趋势成分（T）B.季节成分（S）C.循环成分（C）D.随机成分（I）8.若要检验三个不同班级学生的数学成绩是否有显著差异，最适合的统计方法是（）。A.卡方检验B.单因素方差分析C.双样本t检验D.相关分析9.某列联表为3×4结构，进行卡方独立性检验时，自由度为（）。A.3B.4C.6D.1210.在分层抽样中，若各层样本量按层的大小比例分配，称为（）。A.按比例分层抽样B.最优分配分层抽样C.奈曼分配分层抽样D.不等概率抽样二、填空题（每题2分，共20分）1.统计数据按计量尺度可分为分类数据、顺序数据和__________。2.样本方差的计算公式为s²=__________（用求和符号表示）。3.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=__________。4.中心极限定理表明，当样本量n足够大时，样本均值的抽样分布近似服从__________。5.假设检验中，显著性水平α是指__________的概率。6.简单线性回归模型的一般形式为__________。7.方差分析的基本思想是将总变异分解为__________和组内变异。8.时间序列的季节指数大于1，说明该季节的观测值__________（填“高于”或“低于”）趋势值。9.相关系数r的取值范围是__________。10.系统抽样的关键步骤是确定__________和抽样起点。三、简答题（每题6分，共30分）1.简述大数定律与中心极限定理的区别与联系。2.说明分层抽样与整群抽样的差异，并各举一例。3.解释假设检验中“拒绝域”的含义，并说明其与显著性水平α的关系。4.简述一元线性回归分析中，t检验与F检验的作用及二者的关系。5.时间序列分析中，为何需要进行季节调整？常用的季节调整方法有哪些？四、计算分析题（第1-3题各10分，第4题15分，共45分）1.某公司10名员工的月绩效得分如下：85,92,78,88,95,80,83,90,87,89。（1）计算该组数据的均值、中位数和标准差；（2）判断数据是否近似服从正态分布（通过偏度系数Sk≈0时为正态，Sk=(3(均值-中位数))/标准差）。2.某品牌手机电池续航时间（单位：小时）的总体均值μ₀=12，现随机抽取25块电池，测得样本均值x̄=12.8，样本标准差s=1.5。假设总体服从正态分布，α=0.05，检验该品牌电池续航时间是否显著高于12小时（要求写出假设、检验统计量、临界值和结论）。3.为研究广告投入（x，万元）与销售额（y，万元）的关系，收集到10组数据，计算得：∑x=50，∑y=800，∑xy=4500，∑x²=300，∑y²=65000。（1）计算相关系数r；（2）建立一元线性回归方程ŷ=a+bx；（3）解释回归系数b的实际意义。4.某超市三个分店（A、B、C）的月销售额（万元）数据如下：A店：120,135,140,125,130（n₁=5）B店：110,105,115,100,120（n₂=5）C店：145,150,155,140,160（n₃=5）（1）检验三个分店的月销售额是否有显著差异（α=0.05，F临界值F₀.₀₅(2,12)=3.89）；（2）若差异显著，进一步进行多重比较（LSD法，t₀.₀₂₅(12)=2.179），判断哪些分店间存在显著差异（要求计算LSD值并比较均值差）。五、综合应用题（25分）某市场调研公司为分析消费者年龄（X，岁）对某产品月消费金额（Y，元）的影响，随机调查了200名消费者，得到以下信息：-样本均值：X̄=35岁，Ȳ=280元；-样本协方差：Cov(X,Y)=-120；-样本方差：Var(X)=100，Var(Y)=40000；-回归分析结果：Ŷ=500-6X，F检验p值=0.001，R²=0.36。（1）计算年龄与月消费金额的相关系数r，并说明其方向和强度；（2）解释回归方程中截距项和斜率项的实际意义；（3）判断回归模型的拟合优度和显著性（结合R²和F检验结果）；（4）若某消费者年龄为40岁，预测其月消费金额，并说明预测的注意事项；（5）根据分析结果，为企业提出针对性的营销策略建议。答案一、单项选择题1.A2.B3.A4.B5.A6.A（自由度=n₁+n₂-2=20+25-2=43）7.A8.B9.C（自由度=(3-1)(4-1)=6）10.A二、填空题1.数值型数据2.(1/(n-1))∑(xᵢ-x̄)²3.P(A)+P(B)4.正态分布（或N(μ,σ²/n)）5.拒绝真原假设（或犯第一类错误）6.yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ（εᵢ~N(0,σ²)）7.组间变异8.高于9.[-1,1]10.抽样间隔三、简答题1.区别：大数定律研究样本均值（或频率）向总体均值（或概率）收敛的趋势（依概率收敛）；中心极限定理研究样本均值的抽样分布趋近正态分布的规律（分布收敛）。联系：均用于描述样本统计量随样本量增大的渐近性质，是推断统计的理论基础。2.差异：分层抽样将总体划分为若干层（同层内差异小，层间差异大），从每层独立抽样；整群抽样将总体划分为若干群（群内差异大，群间差异小），随机抽取整群调查。例子：分层抽样（按学历分层调查收入）；整群抽样（按社区分群调查居民健康状况）。3.拒绝域：样本统计量取值导致拒绝原假设的区域。α是拒绝域的概率，即当H₀为真时，统计量落入拒绝域的概率等于α。4.作用：t检验用于检验单个回归系数（如β₁）是否显著不为0；F检验用于检验整个回归模型的显著性（即自变量与因变量是否线性相关）。关系：在一元线性回归中，t²=F，二者等价。5.原因：季节成分会掩盖趋势和循环成分，季节调整后可更清晰分析长期趋势和循环波动。方法：移动平均趋势剔除法、X-13ARIMA-SEATS方法等。四、计算分析题1.（1）均值x̄=(85+92+…+89)/10=87.7；排序后数据：78,80,83,85,87,88,89,90,92,95，中位数=(87+88)/2=87.5；标准差s=√[∑(xᵢ-x̄)²/(10-1)]≈√[(7.7²+4.3²+…+7.3²)/9]≈5.21。（2）偏度系数Sk=3(87.7-87.5)/5.21≈0.115，接近0，数据近似正态分布。2.假设H₀:μ≤12，H₁:μ>12（单侧检验）；检验统计量t=(x̄-μ₀)/(s/√n)=(12.8-12)/(1.5/√25)=2.667；自由度n-1=24，t临界值t₀.₀₅(24)=1.711；t=2.667>1.711，拒绝H₀，结论：续航时间显著高于12小时。3.（1）r=[n∑xy-∑x∑y]/√[n∑x²-(∑x)²][n∑y²-(∑y)²]代入n=10，得分子=10×4500-50×800=5000；分母=√[(10×300-50²)(10×65000-800²)]=√[(500)(10000)]=√5,000,000≈2236.07；r=5000/2236.07≈0.894（高度正相关）。（2）b=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²)=5000/500=10；a=ȳ-bx̄=800/10-10×(50/10)=80-50=30；回归方程：ŷ=30+10x。（3）b=10表示广告投入每增加1万元，销售额平均增加10万元。4.（1）计算各组均值：x̄₁=130，x̄₂=110，x̄₃=150；总均值x̄=130；组间平方和SSB=5×[(130-130)²+(110-130)²+(150-130)²]=5×(0+400+400)=4000；组内平方和SSW=∑(xᵢⱼ-x̄ᵢ)²，计算得A店：(120-130)²+…+(130-130)²=250；B店：(110-110)²+…+(120-110)²=500；C店：(145-150)²+…+(160-150)²=250；SSW=250+500+250=1000；总平方和SST=SSB+SSW=5000；均方MSB=SSB/(k-1)=4000/2=2000；MSW=SSW/(n-k)=1000/12≈83.33；F=MSB/MSW≈24；F临界值=3.89，24>3.89，拒绝H₀，差异显著。（2）LSD=t₀.₀₂₅(12)×√(2MSW/n)=2.179×√(2×83.33/5)≈2.179×√33.33≈2.179×5.77≈12.59；均值差：A-B=20>12.59（显著）；A-C=-20<-12.59（显著）；B-C=40>12.59（显著）。五、综合应用题（1）r=Cov(X,Y)/(σ_Xσ_Y)=-120/(√100×√40000)=-120/(10×200)=-0.6，负相关，中度相关（|r|=0.6在0.4-0.7之间）。（2）截距项500：当年龄为0岁时，预测月消费金额为500元（无实际意义，因年龄无0岁）；斜率项-6：年龄每增加1岁，月消费金