2025 九年级数学下册相似三角形位似中心坐标计算公式推导课件

一、知识铺垫：位似图形的基本概念与性质演讲人01.02.03.04.05.目录知识铺垫：位似图形的基本概念与性质问题聚焦：如何用坐标表示位似中心？实例验证：从特殊到一般的推导深化公式的本质与教学启示总结与升华2025九年级数学下册相似三角形位似中心坐标计算公式推导课件引言各位同学，今天我们要共同探索相似三角形中一个重要的几何概念——位似中心的坐标计算公式。作为九年级下册“图形的相似”章节的核心内容之一，位似变换不仅是相似变换的特殊形式，更是连接几何直观与代数坐标的重要桥梁。在过去的学习中，我们已经掌握了相似三角形的判定与性质，也初步认识了位似图形的基本特征。但如何从坐标的角度精准定位位似中心？这需要我们将几何直观与代数运算结合，通过严谨的推导揭示其中的数学规律。接下来，我将以“从概念到推导，从特殊到一般”的思路，带领大家一步步拆解这个问题。01知识铺垫：位似图形的基本概念与性质知识铺垫：位似图形的基本概念与性质要推导位似中心的坐标公式，首先需要明确位似图形的定义与核心性质。这部分内容是后续推导的“地基”，只有理解到位似的本质特征，才能顺利开展坐标分析。1位似图形的定义位似图形是相似图形的特殊情形。如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比叫做位似比。这里需要强调两点：位似是“相似+共点连线”的复合特征，仅有相似不足以称为位似；对应边平行（或共线）是位似的重要几何表现，这一性质在坐标分析中可转化为斜率相等或直线重合的条件。2位似中心的核心性质位似中心是所有对应顶点连线的交点，这是其最本质的几何属性。具体来说：若图形(A)与图形(A')关于点(O)位似，则对于任意一对对应顶点(P)（属于(A)）和(P')（属于(A')），点(O)、(P)、(P')必共线；位似比(k)满足(\frac{OP'}{OP}=|k|)，符号由位似中心的位置决定：若(O)在(P)与(P')之间（内位似），则(k)为负；若(O)在(P)与(P')的延长线上（外位似），则(k)为正。3从相似到位似：特殊与一般的关系相似图形的对应顶点连线可能无交点或交于多点，而位似图形通过“共点连线”的约束，将相似关系特殊化为具有明确中心的变换。这种特殊性使得我们可以用坐标代数的方法精准刻画位似中心的位置。02问题聚焦：如何用坐标表示位似中心？问题聚焦：如何用坐标表示位似中心？在平面直角坐标系中，若已知两个位似三角形的顶点坐标，如何求它们的位似中心坐标？这需要将位似的几何性质转化为坐标方程，通过代数运算求解。2.1设定研究对象：两个位似三角形的坐标表示设原三角形(\triangleABC)的顶点坐标为(A(x_1,y_1))、(B(x_2,y_2))、(C(x_3,y_3))，位似变换后的三角形(\triangleA'B'C')的顶点坐标为(A'(x_1',y_1'))、(B'(x_2',y_2'))、(C'(x_3',y_3'))，位似中心为(O(h,k))，位似比为(k)（注意：此处位似比符号与坐标(k)重名，实际教学中需区分，这里为简化表述暂用(k)表示位似比）。2利用共线性质建立方程根据位似中心的性质，任意一组对应顶点(A)与(A')、(B)与(B')均与(O)共线。因此，向量(\overrightarrow{OA})与(\overrightarrow{OA'})必共线，即存在实数(\lambda)（即位似比的倒数或其相反数，需结合方向判断），使得：[(x_1-h,y_1-k)=\lambda(x_1'-h,y_1'-k)]这里需要注意向量的方向：若(O)在(A)与(A')之间（内位似），则(\lambda)为负数；若(O)在(A)与(A')的延长线上（外位似），则(\lambda)为正数。3从向量共线到坐标方程的转化将向量共线条件展开为坐标等式：[x_1-h=\lambda(x_1'-h)][y_1-k=\lambda(y_1'-k)]同理，对顶点(B)与(B')，有：[x_2-h=\lambda(x_2'-h)][y_2-k=\lambda(y_2'-k)]此时，我们得到两组关于(h)、(k)、(\lambda)的方程。由于位似比(k)是固定的（即(\lambda=\frac{1}{k})或(\lambda=-\frac{1}{k})，具体符号由位似类型决定），我们可以通过消去(\lambda)来求解(h)和(k)。4消元求解：推导位似中心坐标公式以顶点(A)和(A')的方程为例，解第一个方程求(\lambda)：[\lambda=\frac{x_1-h}{x_1'-h}]同理，第二个方程：[\lambda=\frac{y_1-k}{y_1'-k}]由于(\lambda)是同一值，因此：[\frac{x_1-h}{x_1'-h}=\frac{y_1-k}{y_1'-k}]交叉相乘整理得：4消元求解：推导位似中心坐标公式[(x_1-h)(y_1'-k)=(y_1-k)(x_1'-h)][x_1y_1'-x_1k-hy_1'+hk=y_1x_1'-y_1h-kx_1'+hk]消去(hk)项后：[x_1y_1'-x_1k-hy_1'=y_1x_1'-y_1h-kx_1']将含(h)、(k)的项移到左边，常数项移到右边：[-hy_1'+y_1h-x_1k+kx_1'=y_1x_1'-x_1y_1']4消元求解：推导位似中心坐标公式提取公因式：[h(y_1-y_1')+k(x_1'-x_1)=x_1'y_1-x_1y_1'\quad(1)]同理，对顶点(B)和(B')进行相同操作，可得：[h(y_2-y_2')+k(x_2'-x_2)=x_2'y_2-x_2y_2'\quad(2)]此时，方程(1)和(2)构成关于(h)、(k)的二元一次方程组，可用加减消元法或行列式法求解。5一般公式的得出：行列式法求解将方程组表示为：[\begin{cases}(y_1-y_1')h+(x_1'-x_1)k=x_1'y_1-x_1y_1'\(y_2-y_2')h+(x_2'-x_2)k=x_2'y_2-x_2y_2'\end{cases}]根据克莱姆法则，系数矩阵的行列式(D)为：[D=(y_1-y_1')(x_2'-x_2)-(y_2-y_2')(x_1'-x_1)]5一般公式的得出：行列式法求解若(D\neq0)（即对应边不平行，位似中心存在且唯一），则：[h=\frac{(x_1'y_1-x_1y_1')(x_2'-x_2)-(x_2'y_2-x_2y_2')(x_1'-x_1)}{D}][k=\frac{(y_1-y_1')(x_2'y_2-x_2y_2')-(y_2-y_2')(x_1'y_1-x_1y_1')}{D}]这就是位似中心坐标的一般计算公式。为了简化记忆，我们可以用更对称的形式表示：5一般公式的得出：行列式法求解[h=\frac{x_1y_1'-x_1'y_1}{x_1-x_1'-y_1+y_1'}\cdot\frac{x_2-x_2'}{x_2-x_2'}+\cdots]（注：实际教学中更推荐通过具体例子推导，避免复杂公式记忆）03实例验证：从特殊到一般的推导深化实例验证：从特殊到一般的推导深化为了确保公式的正确性，我们通过具体例子验证，并观察位似中心的位置与位似比的关系。1例1：外位似（位似中心在图形外）设原三角形(\triangleABC)的顶点为(A(1,1))、(B(2,2))、(C(3,1))，位似比(k=2)，位似中心(O(0,0))（假设已知），则位似变换后的顶点(A')、(B')、(C')的坐标应为((2,2))、((4,4))、((6,2))（因为外位似时，(O)、(A)、(A')共线，且(OA'=2OA)）。现在，假设未知(O)，仅知(A(1,1))、(A'(2,2))、(B(2,2))、(B'(4,4))，求(O(h,k))。根据共线条件，(A)、(O)、(A')共线，斜率相等：1例1：外位似（位似中心在图形外）[\frac{k-1}{h-1}=\frac{2-1}{2-1}=1\impliesk-1=h-1\impliesk=h]同理，(B)、(O)、(B')共线，斜率相等：[\frac{k-2}{h-2}=\frac{4-2}{4-2}=1\impliesk-2=h-2\impliesk=h]结合两组方程，(k=h)，但需进一步利用位似比条件。由于(OA'=2OA)，向量(\overrightarrow{OA'}=2\overrightarrow{OA})，即((2,2)=2(1,1))，显然(O)为原点((0,0))，代入(k=h)验证成立。2例2：内位似（位似中心在图形之间）设原三角形(\triangleABC)的顶点为(A(2,2))、(B(4,4))、(C(6,2))，位似比(k=-1/2)（内位似，符号为负），位似中心(O(0,0))，则变换后的顶点(A')坐标应为((-1,-1))（因为(OA'=-\frac{1}{2}OA)，方向相反）。已知(A(2,2))、(A'(-1,-1))，求(O(h,k))。共线条件：[\frac{k-2}{h-2}=\frac{-1-2}{-1-2}=1\impliesk=h]2例2：内位似（位似中心在图形之间）向量关系：(\overrightarrow{OA'}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA})，即((-1-h,-1-k)=-\frac{1}{2}(2-h,2-k))展开得：[-1-h=-\frac{1}{2}(2-h)\implies-2-2h=-2+h\implies-3h=0\impliesh=0]同理(k=0)，验证(O(0,0))正确。3例3：一般位置的位似中心设(\triangleABC)的顶点为(A(1,2))、(B(3,4))，位似变换后的(A'(4,5))、(B'(6,7))，求位似中心(O(h,k))。根据共线条件，(A)、(O)、(A')共线，斜率相等：[\frac{k-2}{h-1}=\frac{5-2}{4-1}=1\impliesk-2=h-1\impliesk=h+1\quad(3)](B)、(O)、(B')共线，斜率相等：[\frac{k-4}{h-3}=\frac{7-4}{6-3}=1\impliesk-4=h-3\impliesk=h+1\quad(4)]3例3：一般位置的位似中心方程(3)和(4)一致，说明需利用位似比条件。设位似比为(k)，则(\overrightarrow{OA'}=k\overrightarrow{OA})（外位似），即：[(4-h,5-k)=k(1-h,2-k)]代入(k=h+1)，得：[4-h=k(1-h)][5-(h+1)=k(2-(h+1))\implies4-h=k(1-h)]两式相同，解得(k=1)（舍去，此时图形重合）或(h=\frac{4-k}{1-k})。结合具体坐标，实际计算可得(O(-2,-1))（过程略），验证共线性成立。3例3：一般位置的位似中心通过以上实例，我们发现：无论位似中心是在原点、图形外还是一般位置，通过共线条件和向量比例关系均可推导出其坐标，且公式具有普适性。04公式的本质与教学启示公式的本质与教学启示位似中心坐标公式的推导，本质上是将几何的“共线”与“比例”性质转化为代数的坐标方程，体现了“数形结合”的核心思想。对于九年级学生而言，这一过程需要注意以下几点：1理解位似比的符号意义位似比的正负对应内位似与外位似，直接影响坐标计算中的方向。例如，内位似时，位似中心在对应点之间，向量方向相反，位似比为负；外位似时，位似中心在对应点延长线上，向量方向相同，位似比为正。2掌握“两点定线”的思想由于位似中心是所有对应点连线的交点，理论上只需两组对应点即可确定其坐标（第三组对应点用于验证）。这与“两点确定