2025年北京密云区高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京密云高二（上）期末数学2025.01一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）抛物线的准线方程是（A）（B）（C） （D）（2）圆心为且过原点的圆的方程是（A）（B）（C）（D）（3）已知数列，，，若，则的取值为（A）（B）（C） （D）（4）已知函数，，则的解集为（A）（B）（C）（D）（5）已知等差数列，若，则（A） （B）（C） （D）（6）曲线在点处的切线与直线平行，则（A） （B）（C） （D）（7）已知圆和圆，则它们的位置关系是（A）外离 （B）相切第（8）题图第（8）题图（8）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（A）（B）（C） （D） 第（9）题图Ox第（9）题图Oxy-2-3-11（A）在区间上单调递减（B）是的极小值点（C）是的极大值点 （D）曲线在处切线的斜率小于零（10）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是OOMNPPOOOPPMMMMNNN（A） （B）（C）（D）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．（11）已知直线和直线垂直，则实数的值为_______．（12）双曲线的渐近线方程为_______，离心率为_______．（13）如图，在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为_______．A1A1ACC1D1B1DB第（13）题图（14）若函数，则_________．（15）已知数列的各项均为正数，其前项和满足，给出下列四个结论：=1\*GB3①的第2项大于1；=2\*GB3②为递减数列；=3\*GB3③为等比数列；=4\*GB3④中存在小于的项．其中所有正确结论的序号为_______．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题满分14分）已知圆．（Ⅰ）若直线与圆相切，求切线的方程；（Ⅱ）若过点的直线与圆相交于两点，且为直角三角形，求直线的方程.（17）（本小题满分15分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）求的极值．（18）（本小题满分14分）ABCDPM如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点．ABCDPM（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（19）（本小题满分15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程．

（20）（本小题满分15分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）证明：．（本小题满分12分）给定数列：，，…，，其中，且各项均为正整数．若数列满足如下两个条件，则称数列具有性质．①（）；②在三个数，，（）中至少有一个数是数列中的项．（Ⅰ）分别判断数列1，2，3，6和数列2，4，5，8是否具有性质；（直接写出结论）（Ⅱ）若数列具有性质，试判断，，是否能同时为数列中的项，并说明理由．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案BDAACCBCCA二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．（11）（12）（13）（14）（15）①②=4\*GB3④三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得圆心的坐标为，半径．

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即．解得或．故直线的方程为或．（Ⅱ）显然，当直线垂直于轴时，不合题意．设直线不垂直于轴时，设它的方程为．在直角中，因为，所以．因此直线与圆所截的弦长为．设圆心到直线的距离为，则．即，解得

．故直线的方程为．（17）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由函数，得．所以，．所以函数在点处的切线方程为．（Ⅱ）函数的定义域为．由（Ⅰ）得，令，得或．与的情况如下：+00+↗↘↗所以，的单调递增区间是和，单调递减区间是．（Ⅲ）当时，有极大值，并且极大值为；当时，有极小值，并且极小值为．ABCDPMxyABCDPMxyz解：（Ⅰ）因为是正方形，所以．又因为平面，所以，．如图建立空间直角坐标系， 所以，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则即取，则．所以向量是平面的一个法向量．所以．设直线为与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值是．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．设平面的法向量为，则即 取，则．所以平面的法向量． 因此． 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．（19）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）因为椭圆过点，所以则． 又因为离心率，， 所以． 故椭圆的方程为． （Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，且不为0．设直线， 令消去得．令，解得或．①设，，则，， 又因为直线， 令，则． 同理． 因为，且，所以．所以． 故，解得，满足①式．所以直线的方程为或． （20）（本小题满分15分）解：（Ⅰ）由，，得． 因为，令，所以． 当时，，在区间单调递减； 当时，，在区间单调递增． 所以，在区间单调递减，在区间单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，==．所以，要证，只需证，即证，．令，则．0↘极小值↗所以． 因此，对于任意正数，恒成立．所以当时，恒成立．（21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）数列具有性质，数列不具有性质．（Ⅱ）答：2，4，7不能同时为数列中的项．理由如下：假设2，4，7同时为数列中的项