2025年北京平谷区高二（上）期末数学试题和答案

高中2025北京平谷高二（上）期末数学2025.11注意事项本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.共150分，考试时间为120分钟.2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.已知直线过点，则直线倾斜角为（）A. B. C. D.2.圆心为且过原点的圆的方程是（）A. B.C. D.3.以为焦点的抛物线标准方程是（）A. B. C. D.4.长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.5.某学校高二趣味运动会中设置了障碍投篮比赛，每名运动员投篮3次.已知甲同学投篮命中率为，那么投篮比赛中甲同学恰好命中一次的概率是（）A. B. C. D.6.已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（）A. B. C. D.8.某学校对男生立定跳远和米跑两个单项进行体育达标测试.下表为名学生的测试成绩，其中有三名同学成绩模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米）2.562.522.482.482.462.452.442.422.382.3550米跑（单位：秒）7.487.437.717.347.428.03769已知在这名学生中，立定跳远有人优秀，立定跳远和米跑同时优秀的有人，则（）A.号学生进入米跑优秀 B.号学生进入米跑优秀C.号学生进入米跑优秀 D.号学生进入米跑优秀9.已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（）A.3 B. C.2 D.10.如图，正方体中，、分别是、上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（）A.存在点，使得平面B.C.平面截正方体所得截面为等腰梯形D.平面平面第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11.双曲线的焦点到顶点的最小距离是______.12.经过点，且与直线平行的直线方程是______.13.抛物线上一点到焦点的距离等于3，则点的坐标为______.14.将2名男生和1名女生随机排成一排，则2名男生相邻的概率为______.15.已知圆锥曲线的离心率为，则实数______.16.某玩具模型设计图为一个六面几何体，如图所示，、和均为等边三角形，测得cm，cm，则这个玩具模型的体积是______cm3.17.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论：①曲线关于原点中心对称；②曲线上点的横坐标取值范围是③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为；④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是其中所有正确结论的序号是______.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18.已知直线与圆相交于、两点.（1）求线段的长；（2）求线段的垂直平分线方程.19.已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.某学校为提升学生的体质水平，要求所有学生在一学期内完成规定的运动任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其运动打卡成绩的频率分布直方图及相应过程性积分数据，整理如下：运动打卡成绩（km）运动过程性积分54321（1）求的值，并估计从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率；（2）在抽取的100名学生中，采取分层抽样的方法从运动打卡成绩在和内抽取5人，再从这5名学生中随机选取2人，求这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率；（3）从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动打卡成绩记为，上述100名学生运动打卡成绩的平均值记为.若根据图表信息是否能推断恒成立？（直接写出结论）21.如图，平面平面，，，，，为中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值.22.已知点和椭圆，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）点为椭圆上一点（不与椭圆顶点重合），直线交轴于点，直线交直线于点，证明：直线经过右顶点.

参考答案第Ⅰ卷选择题（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.【答案】B【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可.【详解】直线过点，则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，所以直线的倾斜角为.故选：B.2.【答案】B【分析】根据条件求出半径即可.【详解】因为圆心为且过原点，所以所以圆方程是故选：B3.【答案】D【分析】根据抛物线焦点位置，设其标准方程，求出的值，即得.【详解】由题意，抛物线方程形如，因，解得，故以为焦点的抛物线标准方程是.故选：D.4.【答案】C【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得.【详解】如图所示，因，则即异面直线与所成角.连接，在中，，则，即异面直线与所成角为.故选：C.5.【答案】C【分析】由次独立重复试验中恰有次发生的概率公式，计算可得答案.【详解】因为甲同学投篮命中率为，所以在3次投篮比赛中，甲同学恰好命中一次的概率，故选：6.【答案】A【分析】由面面垂直的判定定理及性质定理即可判断【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若，则成立，满足充分性；反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.7.【答案】C【分析】根据题意求出A点坐标后，再代入双曲线渐近线方程可得，再代入可得双曲线的离心率.【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为，不妨设焦点F为右焦点，因为轴，A在椭圆上，假设A点在第一象限，所以A点坐标为.由题可知，双曲线的渐近线方程为，又因为双曲线的一条渐近线经过点A，所以代入可知，所以双曲线的离心率为故选：C.8.【答案】B【分析】分析可知立定跳远成绩优秀的学生序号为号，则立定跳远和米跑同时优秀的名学生从号产生，然后将号米跑成绩由小到大排列，并对、的取值进行讨论，逐项判断即可.【详解】由题意可知，立定跳远成绩优秀的学生序号为号，所以，立定跳远和米跑同时优秀的名学生从号产生，将米跑成绩由小到大排列可知，号、号、号、号必然在米跑中成绩优秀，那么米跑成绩为、、、中优秀的只有人，若、，则CD选项错误；若，则A选项错误.故选：B.9.【答案】D【分析】根据题意，只需使圆心到直线的距离，解得的范围，根据选项逐一判断即得.【详解】由圆方程可得圆心坐标为，依题意需使点到直线的距离，解得.故选：D.10.【答案】B【分析】通过建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，写出相关点的坐标，求得相关向量的坐标，利用空间向量的相关运算即可判断线面、线线以及面面之间的位置关系，逐一判断A，B，D项，对于C，只需通过作截面，说理计算即可判断.【详解】如图建系，设正方体的棱长为2.对于A，易得，因是的中点，故，点在上，设，则，平面的法向量可取为，由，解得，即存在，使得平面，此时，点恰为的中点，故A正确；对于B，由上建系，则，由，可知与不垂直，故B错误；对于C，如图，取的中点为，连接，易得，因，则得，故有，则，又平面平面，平面平面，故即为平面与平面的截线，又，故平面截正方体所得截面为等腰梯形，故C正确；对于D，由上建系，因为的中点，则，，设平面的法向量为，则，故可取，又，设平面的法向量为，则，故可取，由，可得，故平面平面，即D正确.故选：B.第Ⅱ卷非选择题（共110分）二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上.）11.【答案】1【分析】双曲线焦点到顶点的最小距离为.【详解】双曲线的焦点到顶点的最小距离为，故答案为：112.【答案】【分析】利用所求直线与直线平行，可设其方程，代入点，计算即得.【详解】因所求直线与直线平行，故可设为，代入点，解得，故所求的直线方程为：.故答案为：.13.【答案】【分析】由抛物线的焦点坐标求出，结合抛物线的定义求出，再代入抛物线方程求解即可.【详解】因为抛物线的焦点，则，即，所以抛物线方程为，准线方程为，因为到焦点的距离等于3，所以到的距离等于3，则，，则，则点的坐标为故答案为：.14.【答案】【分析】利用“相邻”问题捆绑法求得2名男生相邻的排法数，根据古典概型概率公式即可求得概率.【详解】将2名男生和1名女生随机排成一排，方法数有种，而2名男生相邻的排法数有种，由古典概型概率公式，可得2名男生相邻的概率为.故答案为：.15.【答案】【分析】先根据离心率的范围确定是双曲线，结合离心率公式即可求得的值.【详解】因离心率为，故表示双曲线，故，由，解得,符合题意.故答案：.16.【答案】【分析】取中点，连接，可证明平面，可得三棱锥的体积为，再根据对称性可知三棱锥，三棱锥，棱锥全等，进而可得答案.【详解】如图，取中点，连接，则由、和均为等边三角形，可得，，又，平面平面，又易知，，等腰三角形的底边边上的高为，三角形的面积为，三棱锥的体积为，又根据对称性可知三棱锥，三棱锥，棱锥全等，这个玩具模型的体积是.故答案为：.17.【答案】①③④【分析】利用曲线的对称性可判断①；由可解出的取值范围，可判断②；利用二次函数的基本性质可求出曲线上任一点到坐标原点的距离的取值范围，可判断③；作出曲线的图象，数形结合可判断④.【详解】对于①，在曲线上任取一点，则点关于原点的对称点为，因为，即点在曲线上，所以，曲线关于原点对称，①对；对于②，由可得，解得或，所以，曲线上点的横坐标取值范围是，②错；对于③，在曲线在曲线上任取一点，则，可得，则，所以，，故，所以，曲线上任一点到坐标原点的最小距离为，③对；对于④，在曲线上任取一点，则点关于轴的对称点为，因为，即点在曲线上，所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线也关于轴对称，当，时，曲线的方程可化为，化简得，此时，，作出曲线的图象如下图所示：考查当直线与圆相切，且圆的圆心为，半径为，则，解得，由对称性结合图形可知，若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是，④对.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：解本题的关键点在于利用曲线的对称性，化简曲线方程，再结合对称性作出图形，数形结合来求解.三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）18.【答案】（1）（2）【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后根据弦长公式求出线段AB的长.（2）线段AB的垂直平分线一定过圆心且与直线AB垂直，先求出直线AB的斜率，进而得到垂直平分线的斜率，再利用点斜式求出垂直平分线方程.【小问1详解】圆，配方可得，所以圆心，半径.求圆心C到直线的距离：根据点到直线的距离公式,.根据弦长公式，把，代入可得.【小问2详解】直线，可化为，其斜率.求线段AB垂直平分线的斜率：因为垂直的两条直线斜率乘积为，所以线段AB垂直平分线的斜率.线段AB的垂直平分线过圆心，由点斜式（为直线上一点，为直线斜率）可得垂直平分线方程为，即.19.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）利用线线垂直易证得线面垂直，进而可证面面垂直；（2）由（1）平面，易得即直线与平面所成角，借助于直角三角形和三角函数即可求得.【小问1详解】图（1）中，因，折起后，，因，则平面，又平面，故平面平面.【小问2详解】由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影，故即直线与平面所成角.在图（1）中，，在图（2）中，，则，在中，，故，即直线与平面所成角的正弦值为.20.【答案】（1）；（2）（3）能推断恒成立【分析】（1）根据频率分布直方图的特征建立方程，解之即可求出；结合古典概型的概率公式计算即可求解；（2）根据古典概型的概率公式计算即可求解；（3）求出的最大值和的最小值即可下结论.【小问1详解】由图可知，，解得；所以组对应的频率为，对应的人数为，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的运动过程性积分不少于4分的概率为.【小问2详解】由题意知，成绩在和的人数分别为和20，比例为，从这两组按分层抽样的方法抽取5人，则从组内抽得1人，从组内抽得4人，从这5名学生中随机选取2人，这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率为.所以从这5名学生中随机选取2人，这2名学生的运动过程性积分之和为3的概率为.【小问3详解】从该校运动过程性积分不高于2分的学生中随机抽取一名，其运动成绩记为，又运动过程性积分为2的成绩对应的组是，则的最大值为，100名学生运动成绩的平均值记为，则的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，即，所以，