2024年北京北师大实验中学高二12月月考数学试题含答案

答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.要求的一项.3.从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为()4.平的内动点P(x,y)满足方程则动点P的轨迹方程为()5.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=()6.刍甍（chúméng）是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状（如图底面BCDE为矩形，且BC=3，BD=,AF//平面BCDE,ABE和CDF为全等的正三角形，AF=1，则平面ABE和底面BCDE的夹角的余弦值为() 7.如图，某同学用两根木条钉成十字架，并交于点O，制成一个椭圆仪．木条中间分别挖一道槽，在另一活动木条PAB的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A、B各在一条槽内移动，可以光滑移动以保证PA与PB的长度不变，当A、B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆．已知PAAB,且P在椭圆的右顶点时，B恰好在O点，则该椭圆的离心率为()的()A.充分而不必要条件B.必要C.充分必要条件=1与双曲线−y2=1有相同的焦点F1,F2,P是两曲线的一个交F1PF2的面积是()点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则()14.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，点E,F15.已知曲线E过原点，且除原点外的所有点均满足其到原点的距离的①曲线E关于y=x对称；③对于任意λ,曲线E围成的图形的面积一定小于；三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.17.已知点F是抛物线E:y2=4x的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛物线E交于A,B两点，M是线段AB的中点.（1）当k=1时，求AB与M的坐标.（2）O为坐标原点，记直线OA,OB的斜率为k1,k2，若k1+k2=1，（1）求证：AE丄平面B1DM；（2）求平面B1MD与平面B1AD夹角的余弦值；（3）在线段B1C上是否存在点P，使得MP//平面B1AD，若存在，求出的值；若不存在，说明理19.已知C过点A(4,1),B(0,1),D(2,3)，直线l:y=x+2（3）若P是直线l上的动点，Q为OC上的动点，O为坐标原点，直接写出OP+PQ的最小值.（1）当直线l与x轴垂直时，求AB；（2）在x轴上是否存在定点P，使PA.PB为定值？若存在，求点P的坐标及PA.PB的值；若不存在，说明理由.（2）已知F1、F2是椭圆E的左、右焦点，P是第一象限内椭圆E上的一点，分别连接PF1,PF2并延长交椭圆E于点Q1,Q2.S1,S2分别表示PQ1F2和△PQ2F1的面积，求S1−S2的最大值.要求的一项.【分析】将直线方程一般式化成斜截式方程，根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.2.【答案】D【分析】利用圆的方程的条件求解即可.【分析】利用排列组合直接求解.【分析】利用椭圆的定义求解即可.222所以动点P的轨迹方程为.【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线C:y2=8x的所以M到准线x=−2的距离为MF，又M到直线x=−3的距离为5，【分析】利用等边三角形的性质、矩形的性质，结合线面平行的性质、二面角的定义、平面与平面夹角定义进行求解即可.【详解】取BE、CD的中点G、H，连接GH、AG、FH，因为BCDE为矩形，所以有GH//DE，而DE丄BE，因此GH⊥BE，因为AF//平面BCDE，平面AFDE平面BCDE=DE，所以AF//DE，因此AF//GH，因为ABE和CDF为全等的正三角形，所以LAGH是平面ABE和底面BCDE所成二面角的平面角.在等腰梯形AFHG中，过A做AM丄GH，显然于是有cosLAGH=因此平面ABE和底面BCDE的夹角的余弦值为，7.【答案】C【详解】由题意知PA与PB的长度不变，已知PA=3AB，当A滑动到O位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b=3x，当P在右顶点时，B恰好在O点，则长半轴长a=4x，【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解.若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为反之，双曲线C的一条渐近线为y=3x，【分析】由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n， PF1到结果.【详解】由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2m，双曲线的实轴长为2n， F1F22=4(m−1)，即PF1[y≤x2【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域{y≥x，结合图形分析求解即可.≤x+x2[y≤x2再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域{y≥x，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.【分析】根据空间向量共线的坐标运算可得答案.【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.2x24k22解得或无解，即k=±经检验，符合题意.故答案为：（或−,答案不唯一）.【分析】根据直线l的方程，求得直线l所过的定点A(1,1)，进而判断点A(当OA丄l时弦长最短，进而求解即可.设直线l与圆O交于M，N两点，则当OA丄l时，MN取最小值， 【分析】记AB的中点为G，点T的轨迹与PB交于点H，则平面CHG//平面AEF，建立空间直角坐标系，利用CH垂直于平面AEF，的法向量确定点H的位置，利用向量即可得解.【详解】由题知，AB,AD,AP两两垂直，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，记AB的中点为G，连接CG，因为ABCD为正方形，E为CD中点，所以AG//CE，且AG=CE，所以AGCE为平行四边形，所以CG//AE，记点T的轨迹与PB交于点H，由题知CH//平面AEF，设PH=λPB，设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量，2(22)2(22)(22)(12)(22)(12) 3【点睛】关键点睛：本题关键在于利用向量垂直确定点T的轨迹与PB的交点位置，然后利用向量运算求解即可.【分析】首先根据已知条件求出曲线方程，运用曲线的对称性判断①;将(1,1)代入曲线方程(x2+y2)3=λ2x2y2即可判断②;利用基本不等式放缩解决曲线所围图形面积判断③;由整点定义判断④.【详解】对于①,先求曲线方程，设曲线E上除原点外一点为(x,y)，由已知，即x2y2.若点(x,y)在曲线E上，则(y,x)也满足曲线方程(y2+x2)3=λ2y2x2，所以曲线E关于直线y=x对称，①正确；对于②,将(1,1)代入曲线方程(x2+y2)3=λ2x2y2，得(1+1)3=λ2，对于x2y2≤所以E在以圆心为O，半径为的圆内，结合图且(2,2),(1,1)均不在曲线E上，其有5个整点，满足题意，④正确.【点睛】关键点点睛：本题关键是求出曲线方程，后运用性质，如对称性，整点，面积借助放缩成半圆即可求解.三、解答题共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0)，,y1),B(x2,y2)，=1，设中点M(x0,y0)，联立，消去y得k2x2−x+k2=0，>0，所以设点A(x1,y1),B(x2,y2)，=λBC，即可表示出MP，由线面平行可得MP.m=0，即可求解.在菱形AECD中，连接DE，得等边ADE，因为M是AE的中点，所以DM丄AE，因为B1M丄平面AECD,AE平面AECD，所以B1M丄AE.因为B1M平面B1MD,DM平面B1MD，且B1M∩DM=M，所以AE丄平面B1DM.因为B1M丄平面AECD,DM平面AECD，则有B1M丄DM，丄DM，故AE,B1M,DM两两垂直，如图建立空间直角坐标系M−xyz，因为AB=BE=AE，所以ABE为等边三角形，同理ADE也为等边三角形，则B1，，故平面B1MD与平面B1AD夹角的余弦值为\5设B1P=λBC，22 （2）22（3）作出草图，根据对称得到OP+PQ=O,P+PQ≥O,P+PC−2，可知当O,,P,C三点共线时，OP+PQ取得最小值，进而求解即可.由kAD=−1，线段AD中点为(3,2)，可知线段AD的垂直平分线方程为y=x−1，2所以直线AD截⊙C/所得的弦长为2=2.所以当O/,P,C三点共线时，OP+ (5)2(3,，9(3,，9（2）当直线l斜率存在时，设出直线方程，与椭圆联立，写出韦达定理，用坐标表示PA.PB，代入韦达定理，分析PA.PB为定值的条件，求出点P的坐标，再验证斜率不存在时的情况，得出答案.假设存在P(m,0)，使PA.PB为定值.显然△>0，设A(x1,y1),Bx22若PA.PB为常数，只需解得此时PA.PB=−.()()(5)(5)(5)4(5)(5)(5)462