计算方法考试题及答案

计算方法考试题及答案

一、单项选择题（每题2分，共20分）1.数值计算中，有效数字的位数越多，则（）A.绝对误差越大B.相对误差越大C.绝对误差越小D.相对误差越小2.用二分法求方程\(f(x)=0\)在区间\([a,b]\)内的根，要求误差不超过\(\varepsilon\)，则二分的次数\(n\)至少为（）A.\(\log_2\frac{b-a}{\varepsilon}\)B.\(\log_2\frac{b-a}{2\varepsilon}\)C.\(\log_2\frac{\varepsilon}{b-a}\)D.\(\log_2\frac{2\varepsilon}{b-a}\)3.牛顿迭代法的收敛速度是（）A.线性收敛B.平方收敛C.三次收敛D.四次收敛4.对于\(n\)阶线性方程组\(Ax=b\)，若\(A\)是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法（）A.一定收敛B.一定发散C.不一定收敛D.无法判断5.拉格朗日插值多项式\(L_n(x)\)满足（）A.\(L_n(x_i)=y_i\)，\(i=0,1,\cdots,n\)B.\(L_n^\prime(x_i)=y_i\)，\(i=0,1,\cdots,n\)C.\(L_n(x_i)=y_i^\prime\)，\(i=0,1,\cdots,n\)D.\(L_n^\prime(x_i)=y_i^\prime\)，\(i=0,1,\cdots,n\)6.已知函数\(y=f(x)\)在\(x=x_0\)处的函数值为\(y_0\)，一阶导数值为\(y_0^\prime\)，则用一次埃尔米特插值多项式\(H_1(x)\)近似\(f(x)\)时，\(H_1(x)\)满足（）A.\(H_1(x_0)=y_0\)，\(H_1^\prime(x_0)=y_0^\prime\)B.\(H_1(x_0)=y_0\)，\(H_1(x_1)=y_1\)C.\(H_1^\prime(x_0)=y_0^\prime\)，\(H_1^\prime(x_1)=y_1^\prime\)D.\(H_1(x_0)=y_0\)，\(H_1^\prime(x_1)=y_1^\prime\)7.数值积分公式\(\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]\)是（）A.梯形公式B.辛普森公式C.柯特斯公式D.高斯公式8.对于数值微分公式\(f^\prime(x_0)\approx\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}\)，其截断误差的阶为（）A.\(O(h)\)B.\(O(h^2)\)C.\(O(h^3)\)D.\(O(h^4)\)9.已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\)，则\(A\)的谱半径\(\rho(A)\)为（）A.1B.2C.3D.410.用最小二乘法求拟合曲线\(y=a+bx\)时，需要求解的法方程组为（）A.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i\\a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\end{cases}\)B.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\\a\sum_{i=1}^{n}x_i+b\sum_{i=1}^{n}x_i^2=\sum_{i=1}^{n}y_i\end{cases}\)C.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}y_i=\sum_{i=1}^{n}x_i\\a\sum_{i=1}^{n}y_i+b\sum_{i=1}^{n}y_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\end{cases}\)D.\(\begin{cases}na+b\sum_{i=1}^{n}y_i=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\\a\sum_{i=1}^{n}y_i+b\sum_{i=1}^{n}y_i^2=\sum_{i=1}^{n}x_i\end{cases}\)答案：1.D2.B3.B4.A5.A6.A7.A8.B9.C10.A二、多项选择题（每题2分，共20分）1.以下属于数值计算中误差来源的有（）A.模型误差B.观测误差C.截断误差D.舍入误差2.用迭代法求解线性方程组\(Ax=b\)时，迭代格式\(x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+f\)收敛的充分条件有（）A.\(\rho(B)<1\)B.\(\|B\|<1\)（某种范数）C.\(A\)对称正定D.\(A\)严格对角占优3.下列关于插值多项式的说法正确的有（）A.拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式形式不同但结果相同B.插值多项式次数越高，逼近效果一定越好C.埃尔米特插值多项式不仅要求函数值相等还要求导数值相等D.分段低次插值多项式比高次插值多项式更稳定4.数值积分方法中，属于牛顿-柯特斯公式的有（）A.梯形公式B.辛普森公式C.柯特斯公式D.高斯公式5.求解非线性方程\(f(x)=0\)的迭代法有（）A.二分法B.牛顿迭代法C.弦截法D.迭代法\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_0)}\)6.关于矩阵的范数，下列说法正确的是（）A.\(\|AB\|\leq\|A\|\|B\|\)B.\(\|A+B\|\leq\|A\|+\|B\|\)C.\(\|\lambdaA\|=|\lambda|\|A\|\)D.对于任意向量\(x\)，\(\|Ax\|\leq\|A\|\|x\|\)7.用最小二乘法拟合曲线时，常用的拟合函数类型有（）A.多项式函数B.指数函数C.三角函数D.幂函数8.数值微分中，常用的数值微分公式有（）A.向前差商公式B.向后差商公式C.中心差商公式D.高阶差商公式9.以下关于收敛速度的说法正确的是（）A.线性收敛速度较慢B.平方收敛速度快于线性收敛C.超线性收敛速度介于线性和平方收敛之间D.收敛速度越快，迭代次数越少10.对于线性方程组\(Ax=b\)，以下哪些方法可以用来判断解的存在性和唯一性（）A.系数矩阵\(A\)的秩与增广矩阵\(\begin{pmatrix}A&b\end{pmatrix}\)的秩关系B.\(A\)是否可逆C.克莱姆法则D.迭代法是否收敛答案：1.ABCD2.AB3.ACD4.ABC5.ABCD6.ABCD7.ABCD8.ABC9.ABCD10.ABC三、判断题（每题2分，共20分）1.有效数字的位数与小数点的位置有关。（）2.迭代法\(x_{k+1}=g(x_k)\)收敛的充要条件是\(|g^\prime(x^)|<1\)，其中\(x^\)是方程\(x=g(x)\)的根。（）3.拉格朗日插值多项式的余项与节点的选取无关。（）4.梯形公式的代数精度是1，辛普森公式的代数精度是3。（）5.数值计算中，为了减少舍入误差，应尽量避免相近数相减。（）6.若矩阵\(A\)是对称正定矩阵，则共轭梯度法求解\(Ax=b\)收敛速度快。（）7.用最小二乘法拟合数据时，拟合曲线一定经过所有数据点。（）8.中心差商公式的截断误差比向前差商公式小。（）9.对于线性方程组\(Ax=b\)，若\(A\)奇异，则方程组无解。（）10.高斯消元法消元过程中，若主元为0，则该方法失效。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题（每题5分，共20分）1.简述数值计算中误差的分类及特点答案：误差分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。模型误差由数学模型简化产生；观测误差源于测量仪器等；截断误差是近似计算方法截断无穷过程导致；舍入误差是计算机有限字长取近似值造成。2.说明牛顿迭代法的基本思想答案：牛顿迭代法基本思想是将非线性方程\(f(x)=0\)在\(x_k\)处进行一阶泰勒展开，取线性部分近似代替原方程求解，得到迭代公式\(x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f^\prime(x_k)}\)，通过不断迭代逼近方程的根。3.简述拉格朗日插值多项式的构造方法答案：已知\(n+1\)个节点\((x_i,y_i)\)，\(i=0,1,\cdots,n\)，拉格朗日插值多项式\(L_n(x)=\sum_{i=0}^{n}y_il_i(x)\)，其中\(l_i(x)=\frac{\prod_{j=0,j\neqi}^{n}(x-x_j)}{\prod_{j=0,j\neqi}^{n}(x_i-x_j)}\)为拉格朗日插值基函数。4.解释数值积分中代数精度的概念答案：若数值积分公式对于次数不超过\(m\)的多项式能准确成立，而对于\(m+1\)次多项式不能准确成立，则称该数值积分公式具有\(m\)次代数精度。代数精度越高，数值积分公式对多项式的逼近能力越强。五、讨论题（每题5分，共20分）1.讨论数值计算中避免误差危害的方法答案：避免相近数相减，防止有效数字损失；防止大数“吃掉”小数，合理安排计算顺序；简化计算步骤，减少运算次数；选择数值稳定的算法，保证计算结果可靠性。2.比较迭代法和直接法求解线性方程组的优缺点答案：直接法如高斯消元法，优点是能在有限步内得到精确解，适用于低阶方程组；缺点是计算量和存储量大。迭代法优点是程序简单、存储量小，适用于大型稀疏矩