2025-2026学年人教版数学八年级上册18.1 分式及其基本性质 教学课件

18.1分式及其基本性质第十八章

分式18.1.1从分数到分式第十八章

分式通过类比分数的概念，了解分式的概念，能识别整式、分式.能够通过分式的概念理解和掌握分式有无意义和值为零时字母的取值范围.通过分数与分式的类比，使学生亲身经历探究整式扩充到分式的过程，初步学会运用类比、转化的思想方法研究数学问题.

一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，(1)若它以最大航速沿江顺流航行90km，则所用的时间为多少？(2)若以最大航速逆流航行60km，则所用的时间为多少？解：设江水流速为

vkm/h，(1)轮船顺流航行90km所用时间[90÷(30+v)]h.两个数相除可以表示成分数的形式，整式的除法也可以类似表示.

1.(1)长方形的面积为

10cm2，长为

7cm，则宽为_______cm；(2)长方形的面积为

S

，长为

a

，则宽为_____.知识点一：

分式的概念探究：思考下列问题并填空：(2)若他在上坡滑行

akm比在平地滑行同样的距离多用

ch，则他的平均速度为

km/h.2.(1)在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行

akm用时

b

h，则他的平均速度为

km/h；

分式的定义

注意：①分式是不同于整式的另一类代数式，分母中含有字母是分式的一大特点；②分数是分式中的字母取某些值的结果，分式比分数更具有一般性.

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，分母中含有字母的代数式是分式.π不是字母要看化简前形式整数分数整式分式有理数有理式数、式通性思考2：既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统称为什么呢？数的扩充式的扩充探究：从下列4个整式中任选两个分别作为分子和分母，你能构造多少个分式？8，x，x²－1，x－1.知识点二：分式有意义、值为0的条件

x的值···－2－1012···

······

······

······问题1：你能给选几个适当的值，并求出各分式的值？

－4－1无意义－800无意义无意义1无意义8

43当_______时，分式有意义；当_______时，分式无意义.分式有（无）意义的条件

分式的分母表示除数，由于除数不能为

0，所以分式的分母不能为

0.B≠0B=0问题2：我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为0.要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件?注意：分式的值为零是分式有意义的一种特殊情况.前提：分式有意义

B≠0

A=0

例1下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？解析：要使分式有意义，必须使分母不等于零.

分式概念

分式有意义的条件分式值为0的条件B≠0.A=0且B≠0.1.下列式子是分式的是(

B

)A.

B.

C.

＋yD.

A.x＞－1B.x≠－1C.x≥－1D.x≤－1BB

…

012…

…0**无意义*…C

18.1.2课时1分式的基本性质第十八章

分式通过类比分数的基本性质，经历分式的基本性质的探究过程，体会类比的数学思想.通过运用分式的基本性质进行分式的恒等变形，理解分式变形中的符号法则，提高运算能力.问题：下列分数哪两个之间是相等的？并说出理由.

理由：分数的性质：分数的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的数，分数的值不变.＝那分式有类似的性质吗？想一想.(1)

一列匀速行驶的火车，如果

t

(h)

行驶了

s

(km)，那么火车的速度是多少?(2)

如果

2t

(h)行驶了

2s

(km)，那么火车的速度是多少?探究：思考下列问题：(3)

如果

nt

(h)

(n

≠0)

行驶了ns

km，那么火车的速度是多少?思考1：上述结果有什么特点？思考2：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？

分式的基本性质

分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．

例2下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的?

例3

填空：

÷x2÷x2x3x(x

+y)÷3x÷3x×a×aa×b×b2ab－b2

2x看分母如何变化，想分子如何变化.看分子如何变化，想分母如何变化.想一想：运用分式的基本性质应注意什么?(1)“都”：分子和分母是同时乘或除以某个整式，而不是只有分子或分母单独进行.(2)“同一个”：分子和分母都乘或除以同一个整式，该整式是同一个.(3)“不为0”：时刻注意分母不等于零.

a2-abx2x(m-n)2

相等.相等.分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变.

分式的基本性质内容分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身这三处的符号，同时改变两处，分式的值不变.注意(1)“都”；(2)“同一个”；(3)“不为0”.

A

A3.判断正误.

××√√4.填空：

5yb+12abx2-1

18.1.2分式的基本性质课时2分式的约分和通分第十八章

分式通过类比分数的约分与通分，理解分式的约分、最简分式、分式的通分、最简公分母的概念.能够准确确定分式的公因式和最简公分母，再运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.学会运用类比转化的思想方法研究数学问题.

约分通分

分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用.类似地，在分式的运算中，分式如何进行约分和通分？思考：联想分数的约分，由例3(1)(2)，你能想出如何对分式进行约分吗？约去分子分母的公因式.知识点一：约分及最简分式

÷x2÷x2÷3x÷3x

像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分.

分式的约分例4

约分：分析：约分要先找出分子和分母的公因式：_______①找系数：最大公约数：___②找相同的最低次幂因式：___abc5abc5

分析：分子或分母若是多项式，能分解则必须先进行因式分解.

再找出分子和分母的公因式进行约分.原式原式分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或整式.讨论1：结合上面的例题，你认为约分有哪些基本步骤？(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.讨论2：由例题中约分后的结果，你认为约分要达到怎样的程度？1.下列分式是最简分式的个数为().A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B知识点二：分式的最简公分母与通分

公分母为

23×3²×5².

公分母为

23x²y².思考：联想分数的通分，由例3(3)(4)，你能想出如何对分式进行通分吗？将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把两个分式化成分母相同的分式.

×a×a×b×b

像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分.

分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的分母叫作最简公分母.分式的通分

2z最简公分母思考：如何确定最简公分母呢？x3y2例5

通分：解：(1)最简公分母是6a2b2c.

(x

+5)·(x

-

5)2·(x+5)解：(2)最简公分母是2(x－5)(x＋5).

a2b2x2－y2abc想一想：分数和分式在约分和通分的做法上有什么特点？这些做法的根据是什么？将答案填入下表中：约分通分分数分式依据找分子与分母的最大公约数找分子与分母的公因式找所有分母的最小公倍数找所有分母的最简公分母分数