2024年中考数学（成都）押题预测卷二（含答案）

2024年中考押题预测卷02【成都卷】数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．的相反数是（）A．2024 B． C． D．2．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（

）A．B．C． D．4．某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法正确的是（

）A．总体是全校965名学生 B．个体是每名学生的课外作业负担情况C．样本是100 D．样本容量是100名5．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）A． B．C． D．6．四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（

）A． B． C． D．7．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另一个三阶幻方，则的值为（

）A．3 B． C． D．68．如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（）个．A．1B．2C．3 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．分解因式．10．已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是．11．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是．12．已知线段轴，若点M坐标为，则N点坐标为．13．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（本小题满分12分，每题6分）(1)计算：；(2)先化简，再求值：，其中x是方程的根．15．（本小题满分8分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：；不合格为C等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人．七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级85cd163八年级88919695.1九年级8991.510077.7根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：，，；(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？16．（本小题满分8分）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，，是转动点，且与始终在同一平面内．

(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）．(2)物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由．17．（本小题满分10分）如图所示，的半径为5，点A是上一点，直线l过点A；P是上的一个动点（不与点A重合），过P作于点B，交于点E，直径的延长线交直线l于点F，点A是的中点．(1)求证：直线l是的切线；(2)若，求的长．18．（本小题满分10分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)请直接写出关于x的不等式的解集；(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．若是方程的根，则代数式的值是．20．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为．21．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．22．如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为．​23．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（本小题满分8分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．①求甲种服装最多购进多少件；②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求取最大值时点的坐标；(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是菱形若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．26．（本小题满分12分）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题．如图，在中，，，点D为平面内一点（点A，B，D三点不共线），为的中线．【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点M，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①；②；【类比探究】（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明：【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点D在以点A为圆心，为半径的圆上运动（），直线与直线相交于点G，连接，在点D的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．2024年中考押题预测卷02【成都卷】数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分。每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．的相反数是（）A．2024 B． C． D．【答案】A【分析】此题考查了相反数的定义．根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．【详解】解：的相反数是2024，故选：A．2．地月距离是指地球与月球之间的距离，有平均距离、月球与地球近地点的距离、月球与地球远地点的距离三种．其中，地月平均距离约为，用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：．故选：C．3．下列运算正确的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了幂的乘方、完全平方公式、单项式与单项式相除、合并同类项，掌握每一种运算法则的正确应用是解题关键．【详解】解：A、，该选项不符合题意；B、，该选项不符合题意；C、，该选项符合题意；D、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；故选：C．4．某校为了了解全校965名学生的课外作业负担情况，随机对全校100名学生进行了问卷调查，下面说法正确的是（

）A．总体是全校965名学生 B．个体是每名学生的课外作业负担情况C．样本是100 D．样本容量是100名【答案】B【分析】本题主要考查直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义，掌握各定义是解题的关键直接利用总体、个体、样本容量、样本的定义逐项分析即可解答．【详解】解：A、总体是全校965名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；B、个体是每名学生的课外作业负担情况，故此选项正确；C、样本是100名学生的课外作业负担情况，故此选项错误；D、样本容量是100，故此选项错误．故选B．5．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】A.，可以，不符合题意，

B.

，不可以，符合题意，C.

，可以，不符合题意，

D.

，可以，不符合题意，故选B．6．四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了简单的概率计算，中心对称图形的定义，先确定正六边形和圆是中心对称图形，正三角形和正五边形不是中心对称图形，再画树状图分析，最后由概率计算公式进行求解即可．【详解】解：正方形、正八边形和圆是中心对称图形，正三角形不是中心对称图形，∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，其中印有图形都是中心对称图形的卡片有三张，设正方形、正三角形、正八边形和圆分别为A、B、C、D，画树状图如下：

∴从中随机抽取两张，一共有12种结果，其中抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形的结果有6种，∴抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形概率为，故选∶C．7．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书（图1）”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．如图2三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．如图3，这是另一个三阶幻方，则的值为（

）A．3 B． C． D．6【答案】C【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．根据幻方中的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，可得关于a，b的一元一次方程，解之即可．【详解】解：如图所示．∵三阶幻方的每行，每列及每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于中间数的三倍∴，解得：∵∴，解得：∴，故选：．8．如图，二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，则下列结论：①；②；③；④对于任意x均有．正确的有（）个．

A．1B．2C．3 D．4【答案】D【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数的图象与性质．根据二次函数抛物线的开口方向判断出，再根据抛物线与轴的交点，即可得时，的取值范围是，令，即可判定的值，进而对结论①进行判断；求出抛物线的对称轴为，得，即可对结论②和④进行判断；由时，得的取值范围，即可对结论③进行判断．【详解】解：由题意得二次函数抛物线开口向上，，又二次函数的图象与x轴的交点的横坐标分别为，3，当时，，时，，，故结论①正确；抛物线的对称轴为，，，，故结论②正确；当时，，当时，，故结论③正确；抛物线的对称轴为，，当时，二次函数的值最小，，即，故结论④正确；综上所述得正确的结论有①，②，③，④，故选：D．第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．分解因式．【答案】【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【详解】解：，故答案为：．10．已知反比例函数的图象上两点，．若，则m的取值范围是【答案】【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围．【详解】解∶∵反比例函数的图象上两点，，，∴，解得，故答案为∶．11．两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是．【答案】6【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．【详解】解：，，即，在和中，，，，，，，，，，，，故答案为：6．12．已知线段轴，若点M坐标为，则N点坐标为.【答案】或【分析】本题主要考查了平行于坐标轴的点的坐标的特点，解题的关键是熟知：与y轴平行的直线，其横坐标均相等．根据平行于y轴的直线的坐标特点及两点间距离的表示法即可求得答案．【详解】解：∵轴，，∴点N的横坐标也为，又，设N点的纵坐标为a，则，∴，∴或．∴N点的坐标为或．故答案为：或．13．如图，线段，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧交于点，，作直线，连接，，，．若，则四边形的面积为．【答案】24【分析】本题主要考查了作图基本作图及中垂线的性质．由作图可知是线段的中垂线，四边形是菱形，利用求解即可．【详解】解：如图，由作图可知是线段的垂直平分线，，四边形是菱形，，，，，，，故答案为：24．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14．（本小题满分12分，每题6分）(1)计算：(2)先化简，再求值：，其中x是方程的根．【答案】(1)13；(2)【分析】本题考查分式化简求值、解一元二次方程、实数的运算、负整数指数幂、及特殊角三角函数值、绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先计算绝对值、锐角三角函数、负整数指数幂，再进行加减计算即可；（2）先利用分式的性质进行化简，再解一元二次方程求出x的值，再代入分式进行计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：，解方程得，，∵时，分式无意义∴，当时，原式．15．（本小题满分8分）“安全责任重于泰山”，为切实做好学校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高学校的应急处置能力，打造平安校园，培养让学生终身受益的灾害应急能力，某校开展了一次消防、反恐防暴培训及演练活动．为了解此次活动效果，随机抽取了七年级、八年级、九年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：；合格为B等级：；不合格为C等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩的众数出现在A组．A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩中A组共有a个人．七年级、八年级、九年级三组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：年级平均数中位数众数方差七年级85cd163八年级88919695.1九年级8991.510077.7根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：，，；(2)根据以上数据，估计该学校哪个年级的测试成绩最好，并说明理由；(3)若该校七年级、八年级、九年级各有200人，请估计该校初中学生中成绩为优秀的学生共有多少人？【答案】(1)；(2)九年级学生的测试成绩更稳定，理由见详解；(3)估计该校初中名学生中成绩为优秀的学生共有390名【分析】本题考查了方差，众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义和方差的意义是解题的关键．（1）根据条形统计图可得随机抽取各年级人数，再乘可得的值；根据中位数和众数的定义可得、的值；（2）可从平均数、中位数、众数、方差角度分析求解；（3）用样本估计总体解答即可．【详解】（1）解：由题意可知，；七年级学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数是、，故中位数，众数；故答案为：；；；（2）九年级学生的测试成绩更稳定，理由如下：①九年级测试成绩的平均数、中位数和众数均大于七、八年级；②九年级测试成绩的方差均小于七、八年级；（3）(名)，答：估计该校初中名学生中成绩为优秀的学生共有390名．16．（本小题满分8分）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，，是转动点，且与始终在同一平面内．

(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）．(2)物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由．【答案】(1)；(2)手臂端点不能碰到点，理由见解析．【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的性质，掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键．（1）过点作于点，过点作于点，在中，，再根据即可解答；（2）当，，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断．【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，如图：

∵，∴，∵长度为，∴在中，，∵，，∴，∴；（2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下：由题意得，当，，共线时，手臂端点能碰到距离最远，如图：

∵高为，长度为，手臂的长度为，∴，，∴在中，，∵距离底座端的点处，∴，，手臂端点不能碰到点．17．（本小题满分10分）如图所示，的半径为5，点A是上一点，直线l过点A；P是上的一个动点（不与点A重合），过P作于点B，交于点E，直径的延长线交直线l于点F，点A是的中点．(1)求证：直线l是的切线；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：（1）利用圆周角定理可得出，利用等边对等角可得出，则，进而可证，利用平行线的性质可证，最后根据切线的判定即可得证；（2）证明，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明∶连接，，∵点A是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又是的半径，∴直线l是的切线；（2）解：连接，∵是直径，∴，又，∴，又，∴，∴，即，∴．18．（本小题满分10分）如图，一次函数与反比例函数的图像相交于点，，

(1)求一次函数及反比例函数的解析式；(2)请直接写出关于x的不等式的解集；(3)点P是x轴负半轴上一动点，连接、，当面积为12时，求点P的坐标．【答案】(1)反比例函数表达式为：，一次函数的表达式为：；(2)或；(3)【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合运用，涉及到面积的计算、待定系数法求函数表达式，利用图象法求不等式解集，综合性强，难度适中．（1）由待定系数法即可求解；（2）观察函数图象即可求解；（3）由面积，即可求解．【详解】（1）解：将代入双曲线，∴，∴双曲线的解析式为，将点代入，∴，∴，将代入，，解得，∴直线解析式为；（2）解：观察函数图象知，不等式的解集为：或；（3）解：设直线交轴于点，设点，

由直线的表达式知，点，则面积，解得：，即点的坐标为：．B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19．若是方程的根，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义、整体代入法求代数式值、分式的混合运算等知识，根据题中所给代数式的结构特征，结合已知条件，恒等变形代值求解即可得到答案，熟练掌握分式混合运算法则化简求值是解决问题的关键．【详解】解：是方程的根，，即，，故答案为：．20．如图，在中，，，，为的角平分线．为边上一动点，为线段上一动点，连接、、，当取得最小值时，的面积为．【答案】【分析】本题考查了轴对称最短路线问题．在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．再根据，列出比例式求出，即可求出的面积．【详解】解：如图，在上取点，使．作，交于点．则，，即为的最小值．，，，，，，∴，，，，的面积为：．故答案为：．21．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．【答案】1【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由折叠的性质可得，∴，又∵，∴，

∴，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，如图所示，连接∵分别与，，相切，切点分别为，，，∴，∵，∴，∴，∴的半径为，故答案为；1．22．如图，矩形中，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接，则的最小值为．​【答案】【分析】本题考查了图形的折叠与旋转，两点之间线段最短的应用，勾股定理等知识点，将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在以点E为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算得出答案即可，熟练掌握图形的旋转及图形的折叠对称的性质是解决此题的关键．【详解】将绕点C顺时针旋转得到，连接，连接，则三点共线，，∴，∴，∵点E是的中点，∴，∵，∴，由折叠成，∴，∴点在以点E为圆心，为半径的圆上，∴，∵两点间线段最短，∴，即，∴，∴，则的最小值为，故答案为：．23．若一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，个位数字比十位数字大1，则称这样的四位正整数为“吉祥数”．比如2345就是一个“吉祥数”，那么最小的“吉祥数”是．若A是一个“吉祥数”，由A的千位数字和百位数字依次组成的两位数与A的十位数字和个位数字依次组成的两位数的和记为，比A的各个数位上的数字之和大2，若为整数，则满足条件中的A的最大值为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减，根据最大的四位数和最小的四位数的特点，结合题意，依次确定百位数和十位数，进而即可求解．【详解】解：依题意，一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0，∴最小四位数的千位与百位数字为，∵百位数字的2倍等于千位数字与十位数字的和，∴十位数字为，∵个位数字比十位数字大1，∴个位数字为，∴这个数为；依题意，设∴，∵比A的各个数位上的数字之和大2，∴∴又∵为整数，∴能被整除要使得最大，则，当时，能被整除∴∴，∴满足条件中的A的最大值为故答案为：，．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24．（本小题满分8分）利群商场准备购进甲、乙两种服装出售，甲种服装每件售价130元，乙种服装每件售价100元，每件甲种服装的进价比乙种服装的进价贵20元，购进3件甲种服装的费用和购进4件乙种服装的费用相等，现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于65件．(1)甲、乙两种服装每件的进价分别是多少元？(2)若购进这100件服装的费用不得超过7500元．①求甲种服装最多购进多少件；②利群商场对甲种服装每件降价元，乙种服装价格不变，如果这100件服装都可售完，那么如何进货才能获得最大利润？【答案】(1)甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；(2)①甲种服装最多购进75件；②当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．【分析】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．（1）设甲种服装每件的进价元，根据题意得：，解出的值可得答案；（2）①设甲种服装购进件，根据甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元得不等式组，求出范围可知甲种服装最多购进75件；②设获得利润为元，根据题意得，分三种情况讨论可得答案．【详解】（1）解：设甲种服装每件的进价元，则乙种服装每件的进价元，根据题意得：，解得，，甲种服装每件的进价80元，乙种服装每件的进价60元；（2）解：①设甲种服装购进件，甲种服装不少于65件，购进这100件服装的费用不得超过7500元，，解得；甲种服装最多购进75件；②设获得利润为元，根据题意得：，当时，随的增大而增大，当时，取最大值，此时购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；当时，随增大而减小，当时，取最大值，此时购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．综上所述，当时，购进甲种服装75件，乙种服装25件利润最大；当时，所有进货方案利润都是4000元；时，购进甲种服装65件，乙种服装35件利润最大．25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且．(1)试求抛物线的解析式；(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求取最大值时点的坐标；(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在