重庆市七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学(解析版)

重庆市七校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知直线过，两点，则直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，直线过，两点，且，点的横坐标相同，所以直线垂直于轴，所以直线的倾斜角的大小为.故选：C.2.已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是.故选：D.3.在等差数列中，，，则公差为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】设公差为，依题意，，解得.故选：B.4.若点在圆外，则的取值范围（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将圆，化为标准方程得，因为点在圆外，所以，解得，所以的取值范围.故选：D5.已知圆与圆的公共弦所在的直线与直线平行，则两平行线间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程，由直线与直线平行，得，解得，当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去；当时，公共弦所在直线方程为，即，直线，两直线平行，此时圆，即，即圆心，半径，圆的圆心，半径，，符合题意，所以的值为，此时两直线距离为.故选：C.6.如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（）A. B.3 C.6 D.7【答案】D【解析】由图可知：，且，则.由题意可得：，因为，则，所以.故选：D.7.点到直线的距离的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】直线，即，由，解得，所以直线过定点，，点到直线的距离的最大值为.故选：C8.已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，则的最小值为（）A.6 B.3 C.12 D.9【答案】A【解析】由抛物线可得，其准线方程为,作垂直于准线，垂足为，如下图所示：设过的直线方程为，；联立直线与抛物线方程可得；因此可得，所以,可得，由抛物线定义可知，当三点共线时，的最小值为，此时，即动直线垂直于轴时，的最小值为6.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选错的得0分，若只有2个正确选项，每题选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9.下列有关双曲线的命题中，叙述正确的是（）A.双曲线的虚轴长为4B.双曲线上的点到焦点的最小距离为3C.双曲线的焦点到渐近线的距离为4D.经过焦点的最短弦长为6【答案】CD【解析】由题意有：，所以，即，所以虚轴长为：，故A错误；双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误；因为双曲线的渐近线方程为：，即，焦点到的距离为，故C正确；当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为，当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴，又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确；故选：CD.10.下列说法正确的为（）A.为空间任意一点，若，若四点共面，则实数等于B.若为空间的一个基底，则能构成基底C.向量，向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为D.圆与圆的公切线有3条【答案】ACD【解析】选项A:由，代入，得：.因四点共面，故的系数和为1，即，解得，A正确.选项B:设，整理得：，列方程，解得，即三向量线性相关，不能构成基底，B错误.选项C:，，投影向量为，C正确.选项D:圆：圆心，半径；圆配方得，圆心，半径.两圆心距，而，故两圆外切，公切线有3条，D正确.故选：ACD.11.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A.B.点到直线的距离是C.直线与平面的夹角正弦值为D.异面直线与所成角的正切值为【答案】BCD【解析】，即，A错误；如图，以为原点建立空间直角坐标系，则所以，设，则点到直线的距离，B正确；设面的法向量为，则，取，则，则，即直线与平面的夹角正弦值为，C正确；所以，则，即异面直线与所成角的正切值为，D正确.故选：BCD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.抛物线的准线方程为______.【答案】【解析】试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是13.已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】若数列递减数列，且，则，可得对任意恒成立，可知当时，取到最小值9，可得，所以实数的取值范围是.故答案为：.14.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线过，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是___________．【答案】【解析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，焦距都为，根据椭圆定义，可得①，根据双曲线定义，可得，又，所以②，联立①②，可求得，又线段的中垂线过，所以，所以，所以，即，所以，所以，又根据双曲线的性质，可得，所以，所以，即，所以的取值范围是.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.数列满足.（1）求证:数列是等差数列；（2）求数列的通项公式．（1）证明：∵数列满足，∴，∴数列是公差为的等差数列.（2）解：由（1）已知数列是公差为的等差数列，又∵，∴数列的首项为，∴，∴.16.已知点，，直线的方程为：．（1）求直线关于点对称的直线的方程；（2）求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．解：（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，则，因为，所以，整理得，即直线的方程．（2）设圆心，由，则，解得，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为．17.已知双曲线的实轴长为2，点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）过点的动直线交双曲线于两点，设线段的中点为，求点M的轨迹方程．解：（1）双曲线的实轴长为，由已知，，则．因为双曲线的一条渐近线为．点到双曲线的渐近线的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的方程为；（2）（法一）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、、，联立直线与双曲线的方程，得，消去，得，由且，得且．由韦达定理，得，所以，由消去，得．由且，得或，所以，点的轨迹方程为，其中或．（法二）设，中点，则：，因为在双曲线，故，两式相减（点差法）：，因式分解得：，两边除以（直线斜率显然存在），代入：，又直线过和，故斜率，因此：，整理得轨迹方程（将换为）：，所以点的轨迹方程为，其中或．18.如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足.（1）证明：平面平面；（2）若，平面与平面交线为，①求证；②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由.（1）证明：由勾股定理计算得，所以，故三角形为等腰直角三角形，可得.因为平面平面，所以.又因为平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）①证明：因为，而平面，所以平面，面与平面交线为，所以，而，所以.②解：依题意，建立空间直角坐标系，可得，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，因为点在上，所以设点，设平面的一个法向量为，则，可得，即，取，则.因为，，所以，解得，故.19.已知和为椭圆上两点.（1）求的离心率；（2）若过点的直线交于另一点，且的面积为12，求直线的方程；（3）设过点的动直线与椭圆有两个交点、，试判断在轴上是否存在点使得向量所成角恒成立，若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）由题意，解得，所以.（2）当的斜率不存在时，，，，到距离，此时不满