二次根式的加减运算课件湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第3章

二次根式3.3.1二次根式的加减运算1.理解和掌握二次根式加减的运算法则及能正确地对二次根式进行加减运算；（重点、难点）2.通过实例分析，从中正确地掌握二次根式加减运算的基本步骤．#3.3.1二次根式的加减运算（八年级数学课件）##幻灯片1：封面-标题：3.3.1二次根式的加减运算-副标题：八年级上册数学-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻灯片2：学习目标1.理解同类二次根式的定义，能准确判断几个二次根式是否为同类二次根式；2.掌握二次根式加减运算的法则，能熟练进行二次根式的加减运算；3.经历“化简—识别同类—合并”的运算过程，体会转化思想在二次根式运算中的应用；4.能解决与二次根式加减相关的简单实际问题。##幻灯片3：复习回顾（衔接旧知）###1.核心基础：-最简二次根式的两个条件：①不含能开得尽方的因数/因式；②不含分母；-二次根式化简的方法：利用$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$和$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$分解因数、去分母；###2.类比旧知：-整式加减的核心：合并同类项（字母及指数相同的项才能合并）；-思考：二次根式的加减能否类比整式加减？什么样的二次根式才能相加？（引出同类二次根式）###3.化简热身：-化简下列二次根式：$\sqrt{12}$、$\sqrt{27}$、$\sqrt{\frac{1}{3}}$、$\sqrt{8}$、$\sqrt{18}$-答案：$2\sqrt{3}$、$3\sqrt{3}$、$\frac{\sqrt{3}}{3}$、$2\sqrt{2}$、$3\sqrt{2}$##幻灯片4：情境导入（探究同类二次根式）###问题1：-现有两根木棒，长度分别为$\sqrt{12}$米和$\sqrt{27}$米，若想拼接成一根更长的木棒，总长度是多少？-化简后：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，总长度为$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$；-思考：$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$能合并吗？结果是多少？（类比$2x+3x=5x$，推测结果为$5\sqrt{3}$）###问题2：-若木棒长度为$\sqrt{12}$米和$\sqrt{8}$米，能否直接相加？为什么？-化简后：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$是不同的“根式单位”，无法直接合并。###核心发现：-只有化简后被开方数相同的二次根式，才能像同类项一样合并。##幻灯片5：同类二次根式的定义###定义：-几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。###关键词解读：1.前提条件：必须先化为最简二次根式；2.判断标准：被开方数完全相同（与根号外的系数无关）。###举例：-同类二次根式：-$\sqrt{3}$、$2\sqrt{3}$、$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$（化简后被开方数均为3）；-$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$、$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$（化简后被开方数均为2）；-非同类二次根式：-$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$（被开方数不同）；-$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$和$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$（是同类，反例对比）；-$\sqrt{5}$和$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$（是同类，强调化简的重要性）。##幻灯片6：即时练习1（判断同类二次根式）###下列各组二次根式中，哪些是同类二次根式？为什么？1.$\sqrt{6}$与$\sqrt{24}$2.$\sqrt{18}$与$\sqrt{\frac{1}{2}}$3.$\sqrt{27}$与$\sqrt{12}$4.$\sqrt{5}$与$\sqrt{10}$5.$\sqrt{4a}$与$\sqrt{a}$（$a\geq0$）###答案解析：-是同类二次根式的有：1、2、3、5-1：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{6}$化简后被开方数均为6；-2：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数均为2；-3：$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，被开方数均为3；-5：$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，与$\sqrt{a}$被开方数均为$a$；-不是同类二次根式的有：4-4：$\sqrt{5}$和$\sqrt{10}$化简后被开方数分别为5和10，不同。##幻灯片7：二次根式加减法则###法则：-二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项类似（系数相加，被开方数及根指数不变）。###口诀：-先化简，再找同类，最后合并。###符号表示：-$m\sqrt{a}+n\sqrt{a}=(m+n)\sqrt{a}$（$a\geq0$）；-$m\sqrt{a}-n\sqrt{a}=(m-n)\sqrt{a}$（$a\geq0$）。###注意事项：1.非同类二次根式不能合并（如$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，结果就是$\sqrt{2}+\sqrt{3}$，不能再化简）；2.合并时仅系数相加，被开方数和根指数保持不变；3.运算结果仍需为最简二次根式。##幻灯片8：例题1（不含字母的二次根式加减）###计算下列各式：1.$\sqrt{12}+\sqrt{27}$-解：①化简：$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；

②找同类：均为同类二次根式（被开方数3）；

③合并：$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(2+3)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$；2.$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{18}$-解：①化简：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；

②找同类：均为同类二次根式（被开方数2）；

③合并：$2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}=(2-\frac{1}{2}+3)\sqrt{2}=\frac{9}{2}\sqrt{2}$；3.$\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{10}$-解：①化简：$\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$保持不变；

②找同类：$2\sqrt{5}$和$3\sqrt{5}$是同类，$\sqrt{10}$无同类；

③合并：$(2\sqrt{5}+3\sqrt{5})+\sqrt{10}=5\sqrt{5}+\sqrt{10}$（非同类不合并）。###方法总结：-三步法：化简→归类→合并。##幻灯片9：即时练习2（不含字母的加减运算）###计算下列各式：1.$\sqrt{27}+\sqrt{12}-\sqrt{48}$2.$\sqrt{18}-\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{24}$3.$\sqrt{50}+\sqrt{32}-\sqrt{72}$4.$\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{8}-\sqrt{32}$###答案：1.$3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\sqrt{3}$；2.$3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}+2\sqrt{6}$（非同类不合并）；3.$5\sqrt{2}+4\sqrt{2}-6\sqrt{2}=3\sqrt{2}$；4.$\frac{\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。##幻灯片10：例题2（含字母的二次根式加减）###计算下列各式（字母均为非负数）：1.$\sqrt{4a}+\sqrt{a}-\sqrt{9a}$-解：①化简：$\sqrt{4a}=2\sqrt{a}$，$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$；

②合并：$2\sqrt{a}+\sqrt{a}-3\sqrt{a}=(2+1-3)\sqrt{a}=0$；2.$\sqrt{12x^3}+\sqrt{3x}-\sqrt{27x}$-解：①化简：$\sqrt{12x^3}=2x\sqrt{3x}$，$\sqrt{27x}=3\sqrt{3x}$；

②合并：$2x\sqrt{3x}+(1-3)\sqrt{3x}=2x\sqrt{3x}-2\sqrt{3x}=(2x-2)\sqrt{3x}$；3.$\sqrt{\frac{y}{4}}-\sqrt{9y}+\sqrt{16y}$-解：①化简：$\sqrt{\frac{y}{4}}=\frac{\sqrt{y}}{2}$，$\sqrt{9y}=3\sqrt{y}$，$\sqrt{16y}=4\sqrt{y}$；

②合并：$\frac{\sqrt{y}}{2}-3\sqrt{y}+4\sqrt{y}=(\frac{1}{2}-3+4)\sqrt{y}=\frac{3\sqrt{y}}{2}$；4.$\sqrt{2a^3b}+\sqrt{8ab^3}$（$a>0$，$b>0$）-解：①化简：$\sqrt{2a^3b}=a\sqrt{2ab}$，$\sqrt{8ab^3}=2b\sqrt{2ab}$；

②合并：$a\sqrt{2ab}+2b\sqrt{2ab}=(a+2b)\sqrt{2ab}$。###注意事项：-字母取值范围需保证被开方数非负，化简时注意字母因式的次数；-合并同类二次根式时，系数相加要注意符号和分数运算。##幻灯片11：即时练习3（含字母的加减运算）###计算下列各式（字母均为非负数）：1.$\sqrt{16x}-\sqrt{9x}+\sqrt{25x}$2.$\sqrt{27a^3}-\sqrt{48a}+\sqrt{a^3}$3.$\sqrt{\frac{3m}{4}}+\sqrt{12m}-\sqrt{27m}$4.$\sqrt{50xy^3}+\sqrt{32xy}$（$x>0$，$y>0$）###答案：1.$4\sqrt{x}-3\sqrt{x}+5\sqrt{x}=6\sqrt{x}$；2.$3a\sqrt{3a}-4\sqrt{3a}+a\sqrt{3a}=(4a-4)\sqrt{3a}$；3.$\frac{\sqrt{3m}}{2}+2\sqrt{3m}-3\sqrt{3m}=-\frac{\sqrt{3m}}{2}$；4.$5y\sqrt{2xy}+4\sqrt{2xy}=(5y+4)\sqrt{2xy}$。##幻灯片12：例题3（二次根式加减的混合运算）###计算下列各式：1.$(\sqrt{24}-\sqrt{\frac{1}{2}})+(\sqrt{\frac{1}{8}}+\sqrt{6})$-解：①去括号（括号前是“+”，括号内符号不变）：$\sqrt{24}-\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{8}}+\sqrt{6}$；

②化简：$2\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\sqrt{6}$；

③合并同类：$(2\sqrt{6}+\sqrt{6})+(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4})=3\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{4}$；2.$(\sqrt{18}-\sqrt{32})-(\sqrt{0.5}-\sqrt{72})$-解：①去括号（括号前是“-”，括号内符号改变）：$\sqrt{18}-\sqrt{32}-\sqrt{0.5}+\sqrt{72}$；

②化简：$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+6\sqrt{2}$；

③合并同类：$(3-4-\frac{1}{2}+6)\sqrt{2}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$。###技巧总结：-有括号先去括号（注意符号变化），再按“化简—合并”步骤运算；-多个非同类二次根式并存时，按被开方数从小到大排列结果更规范。##幻灯片13：即时练习4（混合运算）###计算下列各式：1.$(\sqrt{48}+\sqrt{3})-(\sqrt{27}-\sqrt{12})$2.$\sqrt{\frac{1}{2}}+(\sqrt{18}-\sqrt{24})-\sqrt{\frac{1}{8}}$###答案：1.$(4\sqrt{3}+\sqrt{3})-(3\sqrt{3}-2\sqrt{3})=5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$；2.$\frac{\sqrt{2}}{2}+(3\sqrt{2}-2\sqrt{6})-\frac{\sqrt{2}}{4}=(\frac{\sqrt{2}}{2}+3\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{4})-2\sqrt{6}=\frac{13\sqrt{2}}{4}-2\sqrt{6}$。##幻灯片14：实际应用例题###例4：-一个等腰三角形的两边长分别为$2\sqrt{3}$cm和$3\sqrt{2}$cm，求它的周长（结果化为最简二次根式）。-解：1.分两种情况讨论：-情况一：腰长为$2\sqrt{3}$cm，底边长为$3\sqrt{2}$cm；-周长：$2\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{2}=4\sqrt{3}+3\sqrt{2}$（cm）；-情况二：腰长为$3\sqrt{2}$cm，底边长为$2\sqrt{3}$cm；-周长：$3\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}=6\sqrt{2}+2\sqrt{3}$（cm）；2.验证三角形三边关系：两种情况均满足“两边之和大于第三边”；3.答：该等腰三角形的周长为$(4\sqrt{3}+3\sqrt{2})$cm或$(6\sqrt{2}+2\sqrt{3})$cm。###例5：-如图，长方形的长为$\sqrt{72}$cm，宽为$\sqrt{27}$cm，求它的周长（结果化为最简二次根式）。-解：1.长方形周长公式：$C=2(长+宽)$；2.代入数值：$C=2(\sqrt{72}+\sqrt{27})$；3.化简：$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$；4.计算：$C=2(6\sqrt{2}+3\sqrt{3})=12\sqrt{2}+6\sqrt{3}$（cm）；5.答：长方形的周长为$(12\sqrt{2}+6\sqrt{3})$cm。##幻灯片15：易错点提醒与辨析###易错点1：未化简直接合并-错误：$\sqrt{12}+\sqrt{27}=\sqrt{12+27}=\sqrt{39}$（原因：直接将被开方数相加，忽略化简步骤）；-纠正：先化简为$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$。###易错点2：同类二次根式合并时改变问题2化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?问题1满足什么条件的根式是最简二次根式?（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式).化简后被开方数相同问题3

有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？

aaaaaaaaaa=+在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.由上图，易得2a+3a=5a.当

a=时，分别代入左右得;当

a=时，分别代入左右得;......你发现了什么？

在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式1a2a+3bb=+bba这两个二次根式可以合并吗？前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：因为，由前面知两者可以合并.

你又有什么发现吗?

当

a=，

b=时，得

2a+3b=.将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并.

注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.如：归纳总结例1

若最简二次根式

与可以合并，求

的值.解：由题意得解得即

确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，根指数都为2，列关于待定字母的方程或方程组求解即可.归纳典例精析1.下列各式中，与是同类二次根式的是（

）A.B.C.D.D2.与最简二次根式

能合并，则

m=____.13.下列二次根式，不能与

合并的是_______(填序号）.②⑤练一练想一想：

计算：二次根式的加减及其应用

2解：

······加法结合律

······乘法对加法的分配律······加法交换律和结合律，

乘法对加法的分配律

基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题．思考

分析：对于被开方数不相同的二次根式的加法和减法运算，一般先将每个二次根式化成最简二次根式，再对被开方数相同的二次根式进行运算.

例2

计算:

与能合并吗？二次根式的加减法法则：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简；加减法的运算步骤：(2)找——找出同类二次根式；(3)并——把同类二次根式合并.

“一化简二判断三合并”归纳总结做一做先计算

，再将你的结果与同学比较.

2.

计算：解：练一练例5下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和1