2025年高考数学大题试题及答案

2025年高考数学大题试题及答案

一、单项选择题（共10题，每题2分，共20分）

1.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则f(π/6)的值为（）

A.0

B.1/2

C.√3/2

D.1

2.在等差数列{an}中，a1=3，a5=11，则a7的值为（）

A.15

B.17

C.19

D.21

3.已知向量a=(2,3)，b=(1,-2)，则a·b的值为（）

A.-4

B.-2

C.2

D.4

4.函数f(x)=x³-3x+1的单调递增区间是（）

A.(-∞,-1)和(1,+∞)

B.(-1,1)

C.(-∞,0)和(1,+∞)

D.(0,1)

5.已知椭圆x²/4+y²/9=1，则其离心率为（）

A.1/2

B.1/3

C.√5/3

D.2/3

6.若复数z满足z(1+i)=2，则|z|等于（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

7.已知函数f(x)=e^x+e^{-x}，则f'(0)的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.e

8.在△ABC中，若a=3，b=4，c=5，则sinC的值为（）

A.3/5

B.4/5

C.1

D.5/4

9.已知集合A={x|x²-3x+2<0}，B={x|x²-4x+3>0}，则A∩B=（）

A.(1,2)

B.(1,3)

C.(2,3)

D.(1,2)∪(2,3)

10.已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，则P(X>4)等于（）

A.0.025

B.0.05

C.0.1587

D.0.3174

二、填空题（共6题，每题2分，共12分）

11.已知函数f(x)=log₂(x-1)，则f(5)的值为________。

12.在等比数列{an}中，a1=2，a3=8，则公比q=________。

13.已知向量a=(1,2)，b=(3,4)，则|a-b|=________。

14.已知函数f(x)=x²+2x+3，则f(x)的最小值为________。

15.已知圆的方程为x²+y²-4x+6y-12=0，则该圆的半径为________。

16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且f(0)=1/2，则φ的一个可能值为________。

三、判断题（共6题，每题2分，共12分）

17.函数f(x)=|x|在x=0处可导。（）

18.对于任意实数x，都有sin²x+cos²x=1。（）

19.若a>b>0，则logₐb>0。（）

20.向量a与b垂直的充要条件是a·b=0。（）

21.函数f(x)=x³在R上是单调递增的。（）

22.若事件A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（）

四、多项选择题（共2题，每题2分，共4分）

23.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的有（）

A.f(x)=x²

B.f(x)=e^x

C.f(x)=lnx

D.f(x)=1/x

24.下列命题中正确的有（）

A.若a>b，则ac>bc

B.若a>b>0，则1/a<1/b

C.若a>b，则a²>b²

D.若a>b>0，则a³>b³

五、简答题（共2题，每题5分，共10分）

25.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，求：

(1)函数的单调区间；

(2)函数的极值。

26.在△ABC中，已知a=5，b=6，C=60°，求：

(1)边c的长度；

(2)三角形的面积。

参考答案及解析

一、单项选择题

1.答案：B

解析：f(π/6)=sin(2×π/6+π/3)=sin(π/3+π/3)=sin(2π/3)=sin(π-π/3)=sin(π/3)=√3/2。

2.答案：B

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。由a5=a1+4d=3+4d=11，解得d=2。因此a7=a1+6d=3+6×2=15。

3.答案：A

解析：向量点积公式为a·b=a1b1+a2b2=2×1+3×(-2)=2-6=-4。

4.答案：A

解析：求导得f'(x)=3x²-3=3(x²-1)。令f'(x)>0，得x²-1>0，即x<-1或x>1。所以函数的单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞)。

5.答案：C

解析：椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1，其中a>b，离心率e=√(1-b²/a²)。由题意知a²=9，b²=4，所以a=3，b=2。因此e=√(1-4/9)=√(5/9)=√5/3。

6.答案：B

解析：由z(1+i)=2，得z=2/(1+i)=2(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2(1-i)/2=1-i。因此|z|=√(1²+(-1)²)=√2。

7.答案：A

解析：求导得f'(x)=e^x-e^{-x}。因此f'(0)=e^0-e^0=1-1=0。

8.答案：C

解析：由a=3，b=4，c=5，可知a²+b²=9+16=25=c²，所以△ABC是直角三角形，且C=90°。因此sinC=sin90°=1。

9.答案：C

解析：解不等式x²-3x+2<0，得(x-1)(x-2)<0，所以A=(1,2)。解不等式x²-4x+3>0，得(x-1)(x-3)>0，所以B=(-∞,1)∪(3,+∞)。因此A∩B=(1,2)∩[(-∞,1)∪(3,+∞)]=(2,3)。

10.答案：A

解析：X服从正态分布N(2,4)，即均值μ=2，方差σ²=4，标准差σ=2。P(X>4)=P[(X-2)/2>(4-2)/2]=P[Z>1]，其中Z服从标准正态分布。查标准正态分布表，P(Z>1)=1-P(Z≤1)=1-0.975=0.025。

二、填空题

11.答案：2

解析：f(5)=log₂(5-1)=log₂4=2，因为2²=4。

12.答案：2或-2

解析：等比数列的通项公式为an=a1·q^(n-1)。由a3=a1·q²=2·q²=8，得q²=4，所以q=2或q=-2。

13.答案：√8或2√2

解析：a-b=(1-3,2-4)=(-2,-2)，所以|a-b|=√[(-2)²+(-2)²]=√(4+4)=√8=2√2。

14.答案：2

解析：f(x)=x²+2x+3=(x²+2x+1)+2=(x+1)²+2。因为(x+1)²≥0，所以f(x)≥2，当且仅当x=-1时取等号。因此f(x)的最小值为2。

15.答案：5

解析：将圆的方程化为标准形式：x²-4x+y²+6y=12，配方得(x²-4x+4)+(y²+6y+9)=12+4+9，即(x-2)²+(y+3)²=25。因此圆心为(2,-3)，半径为5。

16.答案：π/6（答案不唯一）

解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/ω=π，所以ω=2。又f(0)=sin(2×0+φ)=sinφ=1/2，所以φ=π/6+2kπ或φ=5π/6+2kπ，k∈Z。因此φ的一个可能值为π/6。

三、判断题

17.答案：×

解析：函数f(x)=|x|在x=0处的左导数为lim(h→0⁻)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0⁻)(|h|-0)/h=lim(h→0⁻)(-h)/h=-1；右导数为lim(h→0⁺)[f(0+h)-f(0)]/h=lim(h→0⁺)(|h|-0)/h=lim(h→0⁺)h/h=1。因为左导数不等于右导数，所以f(x)=|x|在x=0处不可导。

18.答案：√

解析：根据三角恒等式，对于任意实数x，都有sin²x+cos²x=1。这是基本的三角恒等式，可以通过单位圆定义证明。

19.答案：×

解析：对数函数logₐb的性质：当a>1时，若b>1，则logₐb>0；若0<b<1，则logₐb<0。当0<a<1时，若b>1，则logₐb<0；若0<b<1，则logₐb>0。题目中a>b>0，但没有说明a和b的具体大小关系，所以不能确定logₐb的符号。例如，当a=2，b=1/2时，log₂(1/2)=-1<0。

20.答案：√

解析：根据向量点积的性质，两个非零向量a与b垂直的充要条件是它们的点积a·b=0。如果a或b为零向量，则它们与任何向量都垂直，且点积也为0。因此，向量a与b垂直的充要条件是a·b=0。

21.答案：√

解析：求导得f'(x)=3x²。对于任意实数x，都有x²≥0，所以f'(x)=3x²≥0，且f'(x)=0仅在x=0时成立。因此f(x)=x³在R上是单调递增的。

22.答案：√

解析：根据概率的基本性质，如果事件A与B互斥（即A∩B=∅），则P(A∪B)=P(A)+P(B)。这是概率的加法公式。

四、多项选择题

23.答案：A、B、C

解析：A.f(x)=x²，f'(x)=2x>0（当x>0时），所以在(0,+∞)上单调递增。

B.f(x)=e^x，f'(x)=e^x>0，所以在(0,+∞)上单调递增。

C.f(x)=lnx，f'(x)=1/x>0（当x>0时），所以在(0,+∞)上单调递增。

D.f(x)=1/x，f'(x)=-1/x²<0（当x>0时），所以在(0,+∞)上单调递减。

因此，正确答案为A、B、C。

24.答案：B、D

解析：A.不正确。当c>0时，若a>b，则ac>bc；但当c<0时，若a>b，则ac<bc；当c=0时，ac=bc。

B.正确。因为a>b>0，所以1/a和1/b都为正数，且1/a-1/b=(b-a)/(ab)<0（因为b-a<0，ab>0），所以1/a<1/b。

C.不正确。例如，当a=1，b=-2时，a>b，但a²=1<4=b²。

D.正确。因为a>b>0，所以a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)>0（因为a-b>0，a²+ab+b²>0），所以a³>b³。

因此，正确答案为B、D。

五、简答题

25.答案：

(1)求导得f'(x)=3x²-6x+2。

令f'(x)=0，得3x²-6x+2=0，解得x=(6±√(36-24))/6=(6±√12)/6=(6±2√3)/6=1±(√3)/3。

设x₁=1-(√3)/3，x₂=1+(√3)/3。

当x<x₁时，f'(x)>0；当x₁<x<x₂时，f'(x)<0；当x>x₂时，f'(x)>0。

因此，函数的单调递增区间为(-∞,1-(√3)/3)和(1+(√3)/3,+∞)，单调递减区间为(1-(√3)/3,1+(√3)/3)。

(2)由(1)可知，当x=1-(√3)/3时，函数取得极大值；当x=1+(√3)/3时，函数取得极小值。

极大值f(1-(√3)/3)=(1-(√3)/3)³-3(1-(√3)/3)²+2(1-(√3)/3)+1

=1-√3+(√3)²/3-(√3)³/27-3(1-2(√3)/3+(√3)²/9)+2-2(√3)/3+1

=1-√3+1/3-(3√3)/27-3+2√3-1+2-2(√3)/3+1

=1-√3+1/3-√3/9-3+2√3-1+2-2(√3)/3+1

=(1+1/3-3-1+2+1)+(-√3-√3/9+2√3-2(√3)/3)

=7/3+(-9√3/9-√3/9+18√3/9-6√3/9)

=7/3+2√3/9

=(21+2√3)/9

极小值f(1+(√3)/3)=(1+(√3)/3)³-3(1+(√3)/3)²+2(1+(√3)/3)+1

=1+√3+(√3)²/3+(√3)³/27-3(1+2(√3)/3+(√3)²/9)+2+2(√3)/3+1

=1+√3+1/3+(3√3)/27-3-2√3-1+2+2(√3)/3+1

=1+√3+1/3+√3/9-3-2√3-1+2+