河北省石家庄二中雄安校区2026届高三上数学期末教学质量检测模拟试题含解析

河北省石家庄二中雄安校区2026届高三上数学期末教学质量检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．2．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（）A． B． C． D．3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：，，，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（）A． B． C． D．4．在中，，，，则边上的高为（）A． B．2 C． D．5．中，，为的中点，，，则（）A． B． C． D．26．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（）A．， B．，C．， D．，7．在中，，，，点满足，则等于（）A．10 B．9 C．8 D．78．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．9．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（）A．56383 B．57171 C．59189 D．6124210．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是A．在内总存在与平面平行的线段B．平面平面C．三棱锥的体积为定值D．可能为直角三角形11．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567种子数43352210A．2 B．3 C．3.5 D．412．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，则______.14．已知函数在上单调递增，则实数a值范围为_________.15．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．16．已知数列的各项均为正数，满足，．，若是等比数列，数列的通项公式_______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）求函数在处的切线方程（2）设函数，对于任意，恒成立，求的取值范围.18．（12分）设函数（）的最小值为.（1）求的值；（2）若，，为正实数，且，证明：.19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，∠ACB＝90°，AC＝CB＝C1C＝1，M，N分别是AB，A1C的中点.（1）求证：直线MN⊥平面ACB1；（2）求点C1到平面B1MC的距离.20．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，平面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=2BC，点Q为AE的中点.（1）求证：AC//平面DQF；（2）若∠ABC=60°，AC⊥FB，求BC与平面DQF所成角的正弦值.21．（12分）如图，在四棱柱中，底面为菱形，.（1）证明：平面平面；（2）若，是等边三角形，求二面角的余弦值.22．（10分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为.（1）求抛物线的方程；（2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．2、D【解析】

由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解【详解】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解，令，则，则当时，；当时，，故时取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件．故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.3、B【解析】

先求出从不超过18的素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求.【详解】解：不超过18的素数有2，3，5，7，11，13，17共7个，从中随机选取两个不同的数共有，其和等于16的结果，共2种等可能的结果，故概率.故选：B.【点睛】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题不可以列举出所有事件但可以用分步计数得到，属于基础题.4、C【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.【详解】过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.5、D【解析】

在中，由正弦定理得；进而得，在中，由余弦定理可得.【详解】在中，由正弦定理得，得，又，所以为锐角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.6、B【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.【详解】可能的取值为；可能的取值为，，，，故，.，，故，,故，.故选B.【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.7、D【解析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．【详解】在中，，，，点满足，可得则==【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．8、D【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【详解】，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.9、C【解析】

根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为的等差数列，记数列则令，解得.故该数列各项之和为.故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。10、D【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.11、C【解析】

根据表中数据，即可容易求得中位数.【详解】由图表可知，种子发芽天数的中位数为，故选：C.【点睛】本题考查中位数的计算，属基础题.12、B【解析】

人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，则，解得，从而可得，故.故选：.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、121【解析】

在所给的等式中令，,令，可得2个等式，再根据所得的2个等式即可解得所求.【详解】令，得，令，得，两式相加，得，所以.故答案为:.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,考查学生分析问题的能力,属于基础题,难度较易.14、【解析】

由在上恒成立可求解．【详解】，令，∵，∴，又，，从而，令，问题等价于在时恒成立，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．15、【解析】

记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．16、【解析】

利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果.【详解】因为，所以，因为是等比数列，所以数列的公比为1．又，所以当时，有．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）求出，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；（2）的取值范围满足，，求出，当时求出，的解，得到单调区间，极小值最小值即可.【详解】（1）由于，此时切点坐标为所以切线方程为.（2）由已知，故.由于，故，设由于在单调递增同时时，，时，，故存在使得且当时，当时，所以当时，当时，所以当时，取得极小值，也是最小值，故由于，所以，.【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.18、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）分类讨论，去绝对值求出函数的解析式，根据一次函数的性质，得出的单调性，得出取最小值，即可求的值；（2）由（1）得出，利用“乘1法”，令，化简后利用基本不等式求出的最小值，即可证出.【详解】（1）解：当时，单调递减；当时，单调递增.所以当时，取最小值.（2）证明：由（1）可知.要证明：，即证，因为，，为正实数，所以.当且仅当，即，，时取等号，所以.【点睛】本题考查绝对值不等式和基本不等式的应用，还运用“乘1法”和分类讨论思想，属于中档题.19、（1）证明见解析.（2）【解析】

（1）连接AC1，BC1，结合中位线定理可证MN∥BC1，再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证AC⊥BC1，BC1⊥B1C，即可求证直线MN⊥平面ACB1；（2）作交于点，通过等体积法，设C1到平面B1CM的距离为h，则有，结合几何关系即可求解【详解】（1）证明：连接AC1，BC1，则N∈AC1且N为AC1的中点；∵M是AB的中点.所以：MN∥BC1；∵A1A⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1A⊥AC，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1∥CC，∴AC⊥CC1，∵∠ACB＝90°，BC∩CC1＝C，BC⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，∴AC⊥平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，∴AC⊥BC1；又MN∥BC1∴AC⊥MN，∵CB＝C1C＝1，∴四边形BB1C1C正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C，而AC∩B1C＝C，且AC⊂平面ACB1，CB1⊂平面ACB1，∴MN⊥平面ACB1，（2）作交于点，设C1到平面B1CM的距离为h，因为MP，所以•MP，因为CM，B1C；B1M，所以所以：CM•B1M.因为，所以，解得所以点，到平面的距离为【点睛】本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距离常用体积转化来求，属于中档题20、（1）见解析（2）【解析】

（1）连接交于点，连接，通过证明，证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，因为四边形为正方形，所以点为的中点，又因为为的中点，所以；平面平面，平面.（2）解：，设，则，在中，，由余弦定理得：，．又，平面．．平面．如图建立的空间直角坐标系．在等腰梯形中，可得．则．那么设平面的法向量为，则有，即，取，得．设与平面所成的角为，则．所以与平面所成角的正弦值为．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据面面垂直的判定定理可知，只需证明平面即可．由为菱形可得，连接和与的交点，由等腰三角形性质可得，即能证得平面