金太阳辽宁省2026届高三上学期12月联考数学（26-162C）（含答案）

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、向

量、复数、数列、立体几何与空间向量、直线与圆、圆锥曲线。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合M={x|x²—x-2<0},N={-2,—1,0,1,2},则M∩N=

A.{0}B.{-1}C.{-1,1}D.{0,1}

2.已知复数z满足z(2—i)=3+i,则|z|=

A.1B.2C.√2D.√5

3.已知x∈R,则‘-”是“x”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.为了打造绿色校园，学校启动绿植培育项目.第一周培育了10盆绿植，之后每周比上一周多

培育5盆，按照这个规律持续培育8周，一共培育了绿植

A.210盆B.220盆C.230盆D.240盆

5.已知向量a=(3,2),b=(2,0),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为

A.(3,0)B.(4,0)C.(5,0)D.(6,0)

6.已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3,AB=√6,0为底面A₁B₁C₁D₁的中心，则直线

AO与平面ABCD所成的角为

A.BCD.

7.已知点M(0,3)以及抛物线y²=16x上一动点N(a,b),则a+|MN|的最小值为

A.4B.3C.2D.1

8.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、

垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后

人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(10,0),C(8,4),则△ABC的欧拉

线方程为

A.4x-3y-20=0B.x—6y+2=0C.2x-3y—8=0D.x-3y-2=0

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量a=(x,3),b=(5—x,2),下列结论正确的是

A.若a//b,则x=3B.若a//b,则x=-3

C.若a⊥b,则x=6或x=-1D.若a⊥b,则x=-6或x=1

10.已知函数的部分图象如图所示，将f(x)的图

象向左平移个单位长度得到函数y=g(x)的图象，则下列结论正确的是

A

B.f(x)图象的对称中心为)(k∈Z)

C.y=g(x)是偶函数

D.g(x)的单调递增区间(k∈Z)

11.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+98)≤f(x)+100,f(x+100)≥f(x)+102,且

f(2023)=100,则f(2025)的值可能为

A.101B.102

C.103D.104

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数f(x)=4lnx-x²+2x的极大值为▲.

13.已知{an}是单调递减的等比数列，其前n项和为Sn,若a3+a₆=9,a₄a5=8,则S₄=

14.已知f(x)=e²+ae⁻²为奇函数，若,则x的取值范围为▲.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知正项数列{an}满足(an+1+1)(an+1-2aπ)=0,且a₄=a₂a3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求数列{nan}的前n项和S.

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16.(15分)

已知函数的最小正周期为,且

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)在上的值域；

(3)设函数g(x)=f(x+t),t>0,若,求t的最小值.

17.(15分)

如图，已知平面BB₁C₁C⊥平面ABB₁N,四边形BB₁C₁C是矩形，BB₁//AN,∠BAN=

90°,AB=AN=1,CN⊥B₁N.

(1)求棱BB₁的长；

(2)若BC=1,求平面CC₁N与平面BC₁N所成角的大小.

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18.(17分)

已知椭圆E:过点,离心率为,右焦点为F.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点Q(4,0)的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k₁,

k₂,证明：k₁+k₂=0.

19.(17分)

已知函数

(1)讨论f(x)的单调性.

(2)已知m=1,函数+af(x),且g(x)仅有两个零点.

①求a的取值范围；

②证明：g(x)的两个零点之积小于1.

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数学试卷参考答案

1.D因为M={x|-1<x<2},N={-2,-1,0,1,2},所以M∩N={0,1}.

2.C因为,所以

3.A因为,所以,即,反之，不成立.故“”是“z²

’的充分不必要条件.

4.B每周培育的绿植盆数构成等差数列，设为{an},公差为d,则a₁=10,d=5,所以8周一共

培育了绿植盆

5.A向量a在向量b上的投影向量,则其坐标为(3,0).

6.C如图，连接AC,取AC的中点O₁,连接001.易证00₁⊥底面

ABCD,则直线AO与平面ABCD所成的角为∠OAO₁.易得AO₁=

,则；,得∠OAO₁

7.D易知抛物线y²=16x的焦点F的坐标为(4,0),因为|FN|=a+

A

4,所以a=|FN|—4,则a+|MN|=|MN|+|FN|-4≥|MF|-4,

因为|MF|=√4²+3²=5,所以a+|MN|的最小值为1.

,设由|

8.A设△ABC的外心、重心、垂心分别为W,G,H,易知(W(5,t),AW|²=

CWI²,得5²+t²=3²+(t—4)²,解得t=0,即W(5,0),则,所以△ABC的欧拉线

方程为即4x-3y—20=0.

9.AC若a//b,则2x=3(5-x),解得x=3,A正确，B错误.若a⊥b,则x(5-x)+3×2=0,

解得x=6或x=-1,C正确，D错误.

10.ACD显然A=2,由,得a=2.由,得φ=

.因为|,所以,则,A正确.令

=kπ(k∈Z),得(k∈Z),f(x)图象的对称中心为)(k∈Z),B错误

因为g(x)=2cos2x,所以y=g(x)是偶函数，C正确.令2kπ-π≤2x≤2kπ(k∈Z),得kπ

,g(x)的单调递增区间(k∈Z),D正确。

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11.BCD由f(x+100)≥f(x)+102,得f(x)≤f(x+100)-102,则f(x+98)≤f(x)+

100≤f(x+100)—2,得f(x)≤f(x+2)-2,所以f(x+2)≥f(x)+2.因为f(x)+100

≥f(x+98)≥f(x+96)+2≥f(x+94)+4≥…≥f(x+2)+96,所以f(x+2)≤f(x)+

4,所以f(x)+2≤f(x+2)≤f(x)+4.当x=2023时，102=f(2023)+2≤f(2025)≤

f(2023)+4=104.

12.41n2f(x)的定义域为(0,十∞),.当0<x<2时，f'(x)>0,

当x>2时，f'(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+∞)上单调递减，则f(x)的

极大值为f(2)=41n2.

13.60因为a₃a₆=a4a5=8,a3+a₆=9,所以a3,a6是方程x²—9x+8=0的两个根.又a₃>

a6,所以a₃=8,a₆=1,所以公比,a₁=32,从而

14.1因为f(x)=e²+ae⁻¹为奇函数，所以f(x)+f(一x)=0,解得a=-1,即

f(x)=e=e⁻.又等价于,易知函数

f(x)=e-e⁻ᵗ在R上单调递增，所以2—3x<-3,解得

15.解：(1)因为(an+1+1)(an+1-2an)=0,an>0,所以an+1=2an,则{an}是公比为2的等比数

列.…………2分

又a₄=a₂a3,an>0,所以a₁·2³=2a1·a₁·2²,解得a₁=1,5分

所以an=2”-1.…………6分

(2)因为nan=n·2”-¹,所以Sn=1×2°+2×2¹+3×2²+…+n×2”-1,

所以2S,=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2”,…………………9分

所以S=(n-1)·2”+1.………………13分

16.解：(1)因为最小正周期,所以,解得……………2分

因为.

所以,……………4分

解得,k∈Z.………………5分

由,得,从而……………6分

(2)因,所1……8分

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所,即f(x)在上的值域为[-1,1].……………10分

(3)由(1)知.…………11分

因为,所以1,………………12分

,k∈Z,,……………………13分

解得,k∈Z.………………14分

因为t>0,所以当k=1时，t的最小值为………15分

17.解：(1)因为平面BB₁C₁C⊥平面ABB₁N,BC⊥BB₁,

所以BC⊥平面ABB₁N,

所以BC⊥B₁N.……………………2分

又CN⊥B₁N,BCNCN=C,所以B₁N⊥平面BCN,

所以BN⊥B₁N.………………4分

又AB=AN=1,∠BAN=90°,

所以BN=√2,∠ABN=∠ANB=45°,

所以∠NBB₁=45°.………………………6分

因为BN⊥B₁N,所以∠NB₁B=45°,

所以△BB₁N为等腰直角三角形，所以B₁B=√2×√2=27分

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),C(0,0,1),

C₁(0,2,1),N(1,1,0),所以BŃ=(1,1,0),CC₁=(0,2,0),CŇ=

(1,1,-1),C₁Ň=(1,-1,-1)9分

设平面BC₁N的法向量为m=(x1,y₁,z1),则

所以

令x₁=1,得y₁=-1,z₁=2,所以m=(1,—1,2).…………11分

设平面CC₁N的法向量为n=(x2,y2,≈2),则

所以

令x₂=1,得y₂=0,z2=1,所以n=(1,0,1).…………13分

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则平面CC₁N与平面BC₁N所成角的大小为………………15分

18.(1)解：因为椭圆E:,所以…………1分

由,得4b²=3a²,…………………3分

由得所以椭圆E的方程…………5分

(2)证明：设直线AB的方程为y=k(x-4).分

,消去得(3+4

联立y=k(z-4)与yk²)x²—32k²x+64k²—12=0,

△=32²k⁴—4(3+4k²)(64k²—12)=-48(12k²—3)>0,即…·9分

设A(x1,y1),B(x2,y2),则……10分

因为y₁=k(x₁-4),y₂=k(x₂-4),F(1,0),

……………13分

,…………………16分

所以k₁+k₂=0.………17分

19.(1)解：由题意得f(x)的定义域为(0,+∞),.……

……………1分

当m≤0时，f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.……………2分

当m²—4≤0且m>0,即0<m≤2时，f'(x)≤0,f(x)在(0,十∞)上单调递减.……3分

当m>2时，令-x²+mx-1=0,得

当)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；

当时，f'(x)>0,f(x)单调递增；

当时，f'(x)<0,f(x)单调递减.…………4分

综上，当m≤2时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当m>2时，f(x)在

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上单调递减，在上单调递增.……5分

(2)①解：由题意得,z∈(0,+∞).

设.当0<x<1时，t'(x)<0,t(x)在(0,1)上单调递减，当

x>1时，t′(x)>0,t(x)在