代数式（中等类型）（原卷版）

03代数式

，思维导£*）

【专题过关】

类型一、不含某项、与某项无关

【解惑】若关于X与V的式子加/+3^-3-（-3,+2）与X取值无关，则机的值是（）

A.3B.-3C.2D.-2

【融会贯通】

1.（2023秋•云南昭通•七年级统考期末）若多项式6/+履〃-6与从-6时的差中不含刈项，则%的值

为（）

A.6B.3C.3D.6

2.（2023秋•重庆南岸•七年级校考期末）若关于x的多项式3/-2》-苏+（2〃-2b+1的值与字母x的取值

无关，则2"力=.

3.（2022秋•江苏盐城•七年级校联考期中）关于K,y的多项式f-3mxy-3_/+6卬，-8中不含V项，则常数

m的值是.

4（2022秋•湖南永州•七年级统考期中）已知:A=2a2-5ab+3b,8=4/+6"+8。

⑴若M+U+S-2『=（）,求24-8的值；

（2）若代数式的的值与。无关，求此时6的值.

5.12022秋・河南周口七年级统考期中）已知［=2/+如-2x-l，B=-x2+ax-\,且24-38H勺值不含x的

一次项，求。的值.

类型二、整体代入求值

【解惑】已知*=1+2%则2m2-4m的值为（）

A.0B.-1C.1D.2

【融会贯通】

1.（2022秋•福建福州•七年级校考期中）已知多项式2/_）,的值为6,则多项式4/一2歹+5的值等于.

2.12021春•广东深圳•七年级深圳中学校考开学考试）若多项式2/+3尤+7的值为10,则多项式6/+9x7

的值为.

3.（2022秋•湖北武汉•七年级校考期中）已知x+2y=3,则代数式-2x-4y+1的值是.

4.（2023秋•全国•七年级专题练E）若/一3°-3=0，贝l」6a-202+2010=_.

5.（2023秋•湖南岳阳•七年级统考期末）已知/+3。=2,则2/+6a+l的值为.

类型三、数字规律

【解惑】观察下列各式：3=3,32=9,33=27,34=81,3:243,36=729,37=2187,3s=6561......

根据上述算式中的规律，猜想3刈9的末位数字是（）

A.3B.9C.7D.1

【融会贯通】

1.（2023秋广东惠州七年级校考阶段练习）观察图中菱形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在

()

A.第504个菱形的左边B.第505个菱形的左边

C.第504个菱形的上边D.第505个菱形的下边

2.（2020秋•浙江宁波•七年级校考期中）观察算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256...,

根据上述算式的规律，那么2?。】8的个位数字是.

3.（2017秋•甘肃张掖•七年级校联考期末）下面每个图形中的数字都是按照相同规律填写的，根据此规律确

4.（2019春•七年级课时练习）如图所示，数轴被折成90。，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处

标上数字0,1,2,3.先让圆周上数字2所对•应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴

数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的数字重合.

5.（2020・安徽•九年级专题练习）杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年

的著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题:

（1）图中给出了七行数字，根据构成规律，第9行中从左边数第4个数是二

（2）第〃行中从左边数第2个数为」第〃行中所有数字之和为

类型四、算等规律

【解惑】算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡

献.在算筹计数法中，以“纵式〃和“横式〃两种方式来表示数字如图：

数字

123456789

形式

纵式1IIIII1111IIIIITTTTHTHT

横式—=三三XX

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，示例如图：

；厂£窝贝山表示的数是。

A.5123B.9167C.9176D.9163

【融会贯通】

1.（2022•湖南长沙•长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考二模）中国古代十进位制的算筹记数法在世界

数学史上是一个伟大的创造.据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年.1至9这9个数字的纵式和

横式的表示数码如卜图所示，算筹记数的方法为：个位用纵式，十位用横式，百位再用纵式，千位再用横

式…，以此类推，就可以用算筹表示出任意大的自然数了.

纵心|||III1111IIIIITnnr

横式：—===±±±上

123456789

根据上述材料，（-5）'的运算结果可用算等表示为()

l=lllllB.--------C.JL嗜D.T=lllll

2.（2020・浙江绍兴•统考二模）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外〃，其中的"筹”原意是指《孙子

算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹

的摆放形式有纵横两种，如图：

当表示一个多位数时，像阿拉伯数字一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横

相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推.例如6613用算筹

表示就是：±T-L则5288用算筹可表示为（）

-niii=TrxB.

c-muiiJ¥|^iii¥

3.（2023秋•山东滨州•七年级统考期末）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代

数学的发展做出了很大的跌献.在算筹计数法中，以“纵式和"“横式”两种方式来表示数字如图：

数字形式123456789

纵式1IIII1111muTTmTKT

横式————11i

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空.如“J_1T=TTT"

表示的数是6728,开'表示的数是6708.若已知一个用这种方式者示的四位数中含有叩、“上〃

和两个空位，则这个四位数是.

4.（2020秋・山西晋城七年级统考期中）成语”运筹帷幄〃中“筹勺勺原意是指《孙子算经》中记载的算号.算

筹是中国占代进行计算的工具，它是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算的，算筹的摆放有纵、横两种

形式（如图），当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算

筹需要纵、横相间：个位，百位，万位数用纵式表示：十位，千位，十万位数用横式表示；"0〃用空位来代

替,以此类推.如I：算筹"三IIIT"表示的数是3306,则算筹“_LIII=■〃表示的数为.

123456789

IIIIIIIlliHillTIT纵式

__=三三I_L工横式

中国古代的算筹数码

5.（2022秋・浙江金华•七年级校考期中）我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算号计数法可追溯到公元前

五世纪.算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种（如图）.它计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，

百位为纵，千位为横......这样纵横依次交替，零以空格表示.如3123,表示为亘山巨皿］.

纵式IIIIIIIlliHillTT¥HIT

横式一=三亘玄_L=L上白

（1）请用算筹表示数721（在答题卷的图1中画出）：

（2）用三根算筹表示一个两位数（用完三根算筹，且十便不凿为零），在答题卷图2的双方框中把所有可

能的情况都画出来，并在下方的横线上填上所表示的数（注：图中的双方框仅供选用，不一定用完）.

图2

类型五、图形规律

【解惑】利用如图①的二维码可以进行身份识别.某校建立r一个身份识别系统，图②是某个学生的识别

图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0,将第一行小正方形表示的数字从左到右依次记为方，

c,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为〃x23+bx22+cx2i+dx2”,如图②第一行小正方形

表示的数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0x2,+1x2?+0x2+1x20=5,表示该生为5班学生.表

【触会贯通】

1.（2023春•河北唐山•八年级统考期末）如图是一组密码的一部分，为了保密，不同的情况下可以采用不同

的密码.若输入数字密码（7,7）,（8,5）,对应中转口令是"数学"，最后输出口令为“文化"：按此方法，若输

入数字密码（2,7）,（3,4）,则最后输出口令为（）

邻补垂同人务教版

直平线分义W数爱

=

次根语物角理

相木条可问文位学

流程行发现过程点

素养以重难目化标

模交互心中特殊情

况型描图即为所求

12345678

A.垂直B.平行C.素养D.相交

2.（2023・重庆•九年级专题练习）某班举行拼汉字比赛，小梅用•排列成数字“上"，图①共用13个・，图②

共用13个・，图③共用16个・，......按此规律排列下去，则第⑥个图共用•的个数是（）

3.（2022秋•河南郑州•七年级郑州一中经开区实验学校校考阶段练习）有一个正六面体骰子放在桌面上，将

骰子按如图所示顺时针方向滚动，每滚动90。算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的数字是（）

4.（2023秋•山东济南•七年级校考期末）如图，给正五边形的顶点依次编号为1,2,3,4,5,若从某一个

顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行起，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这利走法为一次“移

位"，如：小明在编号为2的顶点比时，那么他应走2个边长，即从2T3f4为第一次“移位”，这时他到达

编号为4的顶点，接下来他应走4个边长后从4玲5-1-233为第二次移位”若小明从编号1的顶点开始，

第2022次“移位〃后，则他所处顶点的编号为.

5.12022秋•江苏淮安•七年级统考期中）八一中学利用二维码进行学生学号统一编排.黑色小正方形表示1,

白色小正方形表示0,将每一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么利用公式+计

算出每一行的数据.第一行表示年级，第二行表示班级，如图1所示，第一行数字从左往右依次是1,0,0,

1,则表示的数据为1X23+0X22+0X2、1=9,计作09,第二行数字从左往右依次是1,0,1,0,则表示

的数据为1x23+0x22+1x21+0=10,计作10，以此类推，图1代表的统一学号为091034,表示9年级10

班34号.小明所对应的二维码如图2所示，则他的编号是.

类型六、算法程序

【解惑】如图所示的运算程序中，如果开始输入的X值为T8,我们发现第1次输出的结果为-24,第2次

输出的结果为T2,……，第2023次输出的结果为（）

A.-3B.-6C.-12D.-24

【融会贯通】

1.（2023•重庆渝中•重庆巴蜀中学校考一模）根据如图所示的程序计算y的值，若输入x的值为3时，输出

y的值为4,则输入x的值为6时,输出y的值为（）

2.（2023秋•广西桂林•八年级统考期末）《九章算术》是中国古代数学专著，它的出现标志着中国古代数学

体系的形成.程序框图的算法思路源于《九章算术》，它在计算机编程中应用广泛.如图所示为一个循环编

程部分的程序框图，当输入。的值是2时•，根据程序循环计算，第1次计算输出的结果是第2次计算输

出的结果是3,……，那么第2023次计算输出的结果是.

3.（2022秋•江苏淮安•七年级洪泽外国语中学校考期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48,

我们发现第1次输出的结果为24,第2次输出的结果为12，……第2017次输出的结果为.

4.（2022秋•陕西咸阳•七年级统考期中）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为125,第1次

输出的结果为25,再将25继续输入，......,则第2022次输出的结果为.

5.（2022秋•陕西榆林•七年级校考期中）如图所示是王老师设计的一个运算程序.

输入X乘以2

相加输出

开始

*刖入y.4乘以一1

⑴这个运算程序所表示的式子为（用含工、V的代数式表示）;

（2）当工=-1,歹=2022时、求这个程序输出的结果.

类型七、代数规律

【解惑】一列单项式按以下规律排列：x,-3/,5x2,-7X,9X2,-1lx2,13x,L，则第2023个单项式

是（）

A.4045xB.-4045A2C.4045X2D.-4045X

【融会贯通】

1.12023春•云南楚雄•七年级统考期末）按一定规律排列的单项戈3x,4/,5/,6『,7/,...,第〃（〃之为

正整数）个单项式是（）

A.（〃+2）/向B.3nx"C.（/7+2）x2n-,D.3/LV2W+,

2.（2022秋•广东汕头.七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）按一定规律排列的单项式：-丁，

-X".........第〃个单项式是（）

A.（-1广"|B.（-If?"-1C.（-ifx2w+,D.（--l)nx2n+,

3.（2023秋•全国•七年级专题练习）观察这一系列单项式的特点：~~7xy，QXy»TJXy，

48~16…

那么第8个单项式为（）

A.出）1.B.（ipY&-I}"*D-0

4.（2023・云南楚雄•统考二模）按一定规律排列的单项式：多，-,，…，第〃个单项式是()

35917

A.B.HRC.D.L-i)”7

2"+l2n+,+l2"+l:2向+1

5.（2023春•云南昭通•八年级校联考期中）观察下列式子:

x-1，x2+4»x3-9»x4+16....

请你找出其中规律，并将第〃个式子写出来：.

类型八、浓度问题

【解惑】把浓度为9。%的酒精150升加水工升稀释为75%的酒精，下列所列方程中，不正确的是（）

A.（150+A-）X75%=150X90%B.（150+x）x90%=150x75%

C.（150+x）x25%-x+150x10%D.（150x90%）:（150+x）-75:100

【融会贯通】

1.（2018秋•七年级单元测试）两瓶酒精，甲瓶有15升，浓度未知；乙瓶有10升，浓度30%,从甲瓶中倒

入乙瓶10升酒精，摇匀后倒回一部分给甲瓶，此时甲瓶浓度为37.5%,乙瓶浓度为35%,此时乙瓶中有酒

精（）升.

A.5B.6.3C.5.25D.5.6

2.（2022秋•上海•七年级校联考期末）在装有150克盐的容器中加入一些水后可以得到浓度为30%的盐水，

那么所加入的水有克.

3.（2019秋•上海•七年级上外附中校考期末）有10%的盐水40克，若要使盐水浓度变为20%,则需要再加

入盐克.

4.（2019春・浙江杭州•九年级期末）今有浓度分别为3%、8%、11%的甲、乙、丙三种盐水50千克、70千

克、60千克，现要用甲、乙、丙这三种盐水配制浓度为7%的盐水100千克，则丙种盐水最多可用

千克.

类型九、绝对值数轴化简

【解惑】已知a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则代数式也一4一卜+4+,一°1化简后的结果为.

IIII此

ab0c

【融会贯通】

1.（2023秋•广西河池•七年级统考期末）有理数a,b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简

卜一同+,-0-.

♦,•・・.一・一'I.

Ca0b

2.（2023秋河南濮阳•七年级统考期末）人教版《七年级上册》教材，第11页，我们本学期学习了绝对值

的概念：

一般地，数轴上表示数〃的点与原点的距离叫做数。的绝对值（而S。/，〃。阳加。），记作时.

【定义应用】

计算：除：I。卜­H=，

【学习总结】

当“20时，同=:当。时，M=-«.

【学以致用】

”,力在数轴上的位置如图所示，化简卜列各式：

①|。-2|=；

②]"+3|=：

③计算:\a+h\-\a-h\.

ba

II・1I1I・11」>

-4-3-2-101234

3.（2023秋•江西吉安•七年级统考期末）已知有理数。，h,。在数轴上对应点的位置如图;

IIII.

a0bc

（1）D-C0,a+b0,…0.（填“>"或"<"）

（2）化简:|Z>—c|-2|a+Z>|—|c—a|

4.（2022秋•陕西西安七年级统考期末）如图，数轴上有小b,c三点，化简：卜-4-卜-4+k-1|.

J------------------1-----•------•——L

-10\ab2

S.（2022秋•贵州黔南•七年级统考期中）如图，数轴上的三点4B,。分别表示有理数a,b,c

(1))一a0,a-c0,b+c0.(用或"="填空)

(2)化简：\b-a\-\a-c\+\b+c\.

类型十、初识完全平方、平方差

【解惑】图1是一个长为4力，宽为““>3的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按

如图2所示的形状拼成一个大正方形.

图2

⑴图2中的阴影部分正方形的边长是_(用含小6的代数式表示);

(2)观察图1,图2,能验证的等式是：_(请选择正确的一个);

A.(a+b)~=a~+2ab+b2

B.(a-by=a2-2ab+h2

C.(a+力7一加力=(a一8J

(3)如图3,。是线段/也上的一点，以力C,8C为边向上分别作正方形力COE和正方形3c/G,连结/F.若

AB=\\,DF=5,求△力产。的面积.

【融会贯通】

1.（2022秋•河南新乡•七年级统考期中）探索发现：

①当。、6取不同数值时，计算代数式/-从与代数式的值，请同学们将正确结果填入下表:

。、〃的取值当a=3,6=2时当a=-5,b=l时当a=-2,6=-5时

a2-b2

(a+b)(a-b)

②根据上表计算，对于任意给。、6各取一个数值计算，^一尸与代数式S+的值时，蕴含着一个

规律，写出你的发现：

③用你发现的规律计算：20232-20222

2.（2023春•安徽亳州•七年级统考期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可

将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们进行推理，获得结论.初中数学里

的一些代数恒等式，很多都可以借助几何图形进行直观推导和解释.请结合相关知识，解答下列问题:

⑴如图1是由4个大小相同，长为人宽为6的长方形围成的边长为（。+〃）的正方形，用含字母a,b的代

数式表示出阴影部分的面积.

①通过计算阴影部分正方形的功长，求阴影部分的面积，可列代数式：：

②通过用较大正方形的面枳减去4个小长方形的面积，求阴影部分的面积，可列代数式:

（2）根据图1中的阴影部分的面积关系写出一个代数恒等式：;

（3）若a+8=6,ab=S,求图2中阴影部分的面积.

3.（2021春•山东青岛•七年级校考期中）问题再现:

数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具

有可操作性，从而可以帮助我们快速解题.初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面

积的方法进行直观推导和解释.例如：利用图形的几何意义推证完全平方公式.将•个边长为。的正方形

的边长增加从形成两个矩形和两个正方形，如图1,这个图形的面积可以表示成：(4+6)2或/+2,力+从,

・••(a+b)2=f+2ab6,这就验证了两数和的完全平方公式.

问题提出：

如何利用图形几何意义的方法推证：/+23=32,如图2,4表示1个1x1的正方形，即：ixlxlup,B表

示1个2x2的正方形，。与。恰好可以拼成1个2x2的正方形，因此：B、C、。就可以表示2个2x2的正

方形，即：2x2x2=23而力、B、C、。恰好可以拼成一个(l+2)x(l+2)的大正方形，由此可得：

尸+23=(1+2>=3?.

⑴尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证：F+23+33-(要求自己构

造图形并写出推证过程).

(2)类比归纳：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：r+2'+33+…+/=(要求直接写出

结论，不必写出解题过程)