《画法几何与机械制图(同济版)》教学课件-第五章立体表面的交线

第5章立体表面的交线掌握立体表面交线的形成、性质；学会截交线、相贯线的投影分析；掌握截交线、相贯线投影的基本作图方法。【学习目标】【学习重点】被截切几何体三视图画法、曲面立体与曲面立体相贯线的三视图画法。机器零件大多数是由一些基本体根据不同的要求叠加或切割而成的，因此，在立体的表面上就会出现一些交线。常见的交线可分为两类：一类是平面与立体表面相交产生的交线（截交线），另一类是两立体表面相交产生的交线（相贯线）。平面与基本立体相交5.1在工程上常常会遇到平面与立体相交的情形。平面与立体表面相交的交线称为截交线，如图5-1所示。在画图时，为了清楚地表达它们的形状，必须画出截交线的投影。本节将讨论截交线的作图方法。图5-1被截切的基本体平面与立体相交，即立体被平面所截切，如图5-2所示。截切立体的平面称为截平面。截平面与立体表面的交线称为截交线。由截交线所围成的平面图形称为截断面。截交线的形状取决于立体的表面形状及截平面与立体的相对位置；其投影的形状除取决于上述因素外，还取决于截平面与投影面的相对位置。任何截交线均具有以下性质：（1）封闭性。因为平面立体的表面有一定的范围，所以截交线通常是封闭的平面多边形。（2）共有性。截交线是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点是截平面与立体表面上的共有点。5.1.1截交线的概念与性质图5-2平面与立体相交5.1.2截切体投影的思路和步骤1.截切体投影的思路几何体被截平面截切后产生的截切体的投影同样遵循立体投影的方法，即对立体所有面进行投影，但该截切体与未截切之前的原有立体相比在投影上有两点变化：（1）在原有立体基础上新增加一个平面，即以截交线为边界的截断面。要对这个新增平面进行投影，只需对其边界（截交线）投影。（2）部分几何体被截切。在投影时，被截切的部分在原有立体投影上所对应的部分线条理应擦除。①对于平面立体，投影中的线条可以理解为棱线的投影，因此，截平面切掉的棱线所对应的投影要擦除。②对于曲面立体，投影中的线条可以理解为边的投影或曲面转向轮廓线的投影，因此，截平面切掉的平面的边或曲面转向轮廓线所对应的投影要擦除。上述线条是否擦除，还要看截切体上的投影和要删除的部分线条是否重合；若重合，则重合部分线条不仅不能删除，而且需要判断其可见性。5.1.2截切体投影的思路和步骤2.截切体投影的步骤（1）空间及投影分析。①截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状。②截平面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性。（2）画出未截切之前几何体的完整投影。（3）画出截交线的投影。（4）擦去多余部分并判断可见性。①判断截交线在三个视图上的可见性。②判断被截切的部分在原有立体投影上所对应的部分线条是否要擦除，不需要擦除的部分要判断其可见性。5.1.3平面与平面立体相交平面立体的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其形状取决于平面立体的形状及截平面在平面立体上的截切位置。该多边形的顶点是截平面与平面立体棱线的交点，该多边形各边是截平面与平面立体相应棱面的交线。要想求出平面立体上的截交线，只需求出平面立体棱线与截平面的交点即可，然后依次连接各点。5.1.3平面与平面立体相交【例5-1】试求正四棱锥被一个正垂面P截切后的投影，如图5-3所示。空间及投影分析：截平面P与正四棱锥相交，截交线为平面四边形。截平面为正垂面，因此，截交线在正立面上的投影为一条斜线，在其他两个面上的投影为类似形。平面四边形的四个顶点即为四棱锥的四条棱线与截平面P的交点。由此可以直接在主视图上找到1′、2′、3′、4′。图5-3平面与正四棱锥相交5.1.3平面与平面立体相交作图：（1）画出未截切之前正四棱锥的完整投影。（2）画出截交线的投影。根据平面立体截交线是平面多边形，其顶点是截平面与平面立体棱线的交点这一特点，从1′作“长对正”辅助线与俯视图中棱线SA的投影sa相交，交点即为1点，通过Ⅰ点的主、俯视图投影求出其侧面投影1″。同理可得出Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点的三视图投影。在三个视图中依次连接各顶点投影，即得到截交线的三面投影。（3）擦除多余的线条并判断可见性。①截交线在三个视图中均可见，应该用粗实线表达。②在截平面P截切四棱锥之后，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ点到锥顶点之间的棱线均被切掉，因此线段SⅠ、SⅡ、SⅢ、SⅣ在三视图中所对应的投影应该被擦除，但是在左视图中拟擦除的部分棱线SⅠ和截切体中的棱线SC在线段3″1″之间投影重合，因此，线段3″1″不能被擦除，且因为棱线SC不可见，所以，线段3″1″应改为细虚线表达。5.1.3平面与平面立体相交【例5-2】试求正四棱台被侧平面P和水平面Q截切后的投影，如图5-4所示。空间及投影分析：图中正四棱台被三个平面截切，其投影的作图步骤与单个面截切立体的作图步骤相同，有多少个截平面即需要求解几部分截交线的投影。（1）截平面P截正四棱台的截交线。侧平面P与正四棱台相交，产生的截交线为侧平面梯形。以一个截面为例，截交线在主视图中的投影为一条竖线，在俯视图中的投影为一条竖线，在左视图中反映实形，如图5-4（c）所示。因为顶点是截平面与平面立体棱线的交点，所以其投影在主视图上可直接找出。（2）水平面Q截正四棱台的截交线。水平面Q与正四棱台相交，产生的截交线为水平面矩形，截交线在主视图中的投影为一条横线，在左视图中的投影同样为一条横线，在俯视图中的投影为实形。其顶点的投影在主视图上可直接找出。5.1.3平面与平面立体相交作图：（1）画出未截切之前正四棱台的完整投影，如图5-4（b）所示。（2）画出截交线的投影。①确定截平面P截正四棱台的截交线的各顶点投影，如图5-4（c）所示。②确定水平面Q截正四棱台的截交线的各顶点投影，如图5-4（d）所示。③依次连接各顶点的投影，便可得出各部分截交线的投影。（3）擦除多余的线条并判断可见性，如图5-4（e）所示。图5-4平面与正四棱台相交的作图过程5.1.4平面与曲面立体相交1.曲面立体截交线的形状平面与曲面立体相交，截交线的形状为下列三种情况：（1）完全由直线组成的平面多边形，见表5-1中（a）类情况。（2）由一条封闭的平面曲线组成的平面图形，见表5-1中（c）类情况。（3）由平面曲线和直线共同组成的平面图形，见表5-2中（d）类情况。5.1.4平面与曲面立体相交5.1.4平面与曲面立体相交2.曲面立体截交线的求解方法与步骤曲面立体截交线的求解方法与步骤如下：（1）空间及投影分析。①确定截交线的形状。分析回转体的形状、截平面与立体的相对位置，从而判断出截交线的形状。②确定截交线的投影特性。分析截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性（积聚性、类似性等）。截交线是平面多边形的，其求解方法与平面立体截交线的求解方法一致，即求出多边形各顶点的投影，然后依次连接各顶点。截交线含有曲线的，若是圆或圆弧和直线共同组成的平面图形，则只需判断出圆心位置和半径（或直径），用圆规和直尺作图即可。若是非圆曲线或非圆曲线和直线共同组成的平面图形，则只能用描点的方法。5.1.4平面与曲面立体相交（2）画出未截切之前几何体的完整投影。（3）画出截交线的投影。描点法具体作图步骤如下：①根据截平面和回转体的相对位置，分析截交线的形状及其投影特点。②根据截交线上的点是截平面与立体表面的共有点这一性质求截交线上的点。其基本方法有素线法和纬圆法，通过上述方法，先求特殊位置点（最高、最低、最左、最右、最前、最后点，用于确定曲线的范围），后求一般位置点。③用曲线板依次且光滑地连接各点的同面投影并判断可见性。（4）擦去多余部分并判断可见性。3.平面与圆柱相交当平面与圆柱相交时，根据平面与圆柱体轴线的相对位置，圆柱体的截交线可以分为表51中所列的三种情况。5.1.4平面与曲面立体相交【例5-3】如图5-5（a）所示，求正垂面P与圆柱体的截交线。图5-5圆柱体的截交线5.1.4平面与曲面立体相交空间及投影分析：截平面P是与圆柱轴线倾斜相交的正垂面，则截交线应是椭圆。由于积聚性的因素，截交线有以下特点：（1）截交线和P面的主视图投影为主视图中的斜线，因此，在相贯线上的点的主视图投影应该在该斜线上。（2）截交线和圆柱体圆柱面的水平投影为俯视图中的圆，因此，在相贯线上的点的俯视图投影应该在该圆上。（3）相贯线的侧面投影为椭圆。作图：（1）画出未截切之前圆柱体的完整投影。（2）求特殊点的投影。如图5-5（b）所示，该截交线上的特殊点如最左、最右、最前、最后的点即圆柱最左、最右、最前、最后的素线与P面的交点A、C、B、D，求出这些点的投影。（3）求一般点的投影，即点E、F、G、H的投影。（4）在左视图中，用光滑的曲线依次连接各点成椭圆曲线，即为截交线的左视图投影。（5）擦除多余的线条并判断可见性。5.1.4平面与曲面立体相交4.平面与圆锥相交当平面与圆锥相交时，根据平面与圆锥轴线的相对位置，圆锥体的截交线可以分为表5-2中的所列五种情况。5.1.4平面与曲面立体相交【例5-4】如图5-6所示，求正平面P与圆锥体的截交线。图5-6圆柱体的截交线5.1.4平面与曲面立体相交【例5-4】空间及投影分析：由图5-6（a）可以看出，截平面P是平行于圆锥轴线的正平面，所以，与圆锥面的截交线是一平行于正立面的双曲线，与圆锥底面的截交线为直线，截交线的水平投影与P面重合，求作的是双曲线的正面投影。作图：（1）求特殊点。圆锥底圆上的点是双曲线的最低点，即Ⅱ、Ⅲ两点，其水平投影为2，3两点，可由此直接确定它们的正面投影2′、3′，以及左视图投影2″、3″；双曲线上离锥顶最近的点是双曲线的最高点，即Ⅰ点，左视图投影1″可直接确定，正面投影1′可通过点的二求三的方法求出。（2）求一般点。在水平投影上的三个特殊点之间取一般点4，5（两点关于底面圆中心左右对称），再通过纬圆法求解两点的主视图投影4′、5′，以及左视图投影4″、5″。5.1.4平面与曲面立体相交【例5-4】具体做法如下：①在圆锥面上作通过Ⅳ、Ⅴ两点的纬圆，先画该纬圆的水平投影，投影为实形圆（该投影圆圆心为底面圆的圆心，并且圆经过4、5两点）。②该圆积聚为直线的正面投影，在主视图中是一条横线，4′、5′两点必然在该横线上，利用“长对正”的三视图投影规律求出4′、5′两点。③截平面P在左视图中为一条竖线，投影4″、5″必然在该竖线上，利用“高平齐”的三视图投影规律求出4″、5″两点。也可以用在圆锥面上作辅助素线的方法求上述各点的投影。（3）连曲线。如图5-6（b）所示，将上述各点的正面投影按顺序连成光滑的曲线，即得双曲线的正面投影。（4）擦除多余线条并判别可见性。5.1.4平面与曲面立体相交5.平面与圆球相交当平面与圆球相交时，根据平面与圆球的相对位置，圆球的截交线可以分为表5-3所列的两种情况。5.1.4平面与曲面立体相交【例5-5】如图5-7（a）所示，已知一开槽半球的主视图，求其水平投影和侧面投影。空间及投影分析：半球被两个对称的侧平面和一个水平面截切。两个侧平面与球面的截交线各为一段平行于侧立面的圆弧和直线，其侧面投影反映实形，主、俯视图投影各积聚为一竖线。水平面与球面的截交线为两段圆弧和直线，其水平投影反映实形，主、左视图投影各积聚为一条横线。图5-7(a)5.1.4平面与曲面立体相交【例5-5】作图：（1）画出未截切之前半球的完整投影。（2）分别画出两个侧平面产生的截交线的投影[图5-7（b）]和水平面产生的截交线的投影[图5-7（c）]。（3）擦除多余的线条并判断可见性，如图5-7（d）所示。图5-7开槽半球的投影两基本立体相交5.2

5.2两基本立体相交两立体相交时的表面的交线称为相贯线。如图5-8所示，两立体相交按其立体表面的性质可分为三种。（1）两平面立体相交。如图5-8(a)所示，其所产生的相贯线是空间折线，折线的每段可以认为是平面立体三棱锥的一个锥面与三棱柱的棱面产生的截交线。（2）平面立体与曲面立体相交。如图5-8(b)所示，其所产生的相贯线由若干段平面曲线和直线组成，每段线条可以认为是平面立体三棱柱的一个棱面与半球的球面产生的截交线。（3）两曲面立体相交。如图5-8(c)所示，当曲面和曲面相交时，其所产生的相贯线一般为空间曲线，不能按照上述方法求解，因此,这类相贯线是研究的重点。本节只讨论两曲面立体相交时相贯线的性质和作图方法。图5-8两立体相交的相贯线

5.2.1相贯线的性质（1）在两曲面立体相交时，相贯线通常是封闭的空间曲线，在特殊情况下,为平面曲线或直线。（2）在两曲面立体相交时，相贯线是两曲面立体表面的共有线，相贯线上的点是两曲面立体表面的共有点。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法根据相贯线的性质求两曲面立体相贯线的投影，实质是求相交的两曲面立体表面的共有点，然后用描点法将这些点光滑地连接起来，即得相贯线的投影。其作图方法主要有表面取点法（积聚性法）和辅助平面法两种。1.相贯线的一般作图步骤相贯线的一般作图步骤如下：（1）空间及投影分析。根据相贯体的投影图，想象出相贯体的形状、大小和相对位置，分析出其对投影面的相对位置，然后分析相贯线的形状和范围。（2）求特殊点。特殊点是能确定相贯线投影范围和变化趋势的点，为相贯线的最前、最后、最左、最右、最上、最下点及回转体的转向轮廓线上的点。（3）求一般点。为保证作出的相贯线的准确性，需要在特殊点之间求出若干个一般点。（4）判别可见性。对相贯线的各投影应分别进行可见性判别。（5）依次光滑地连接各点的同面投影。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法2.表面取点法表面取点法也称为积聚性法。两曲面相交，若一个曲面在某个投影面上的投影具有积聚性，则相贯线在该投影面上的投影必位于曲面积聚投影上。利用投影具有积聚性的特点，确定两回转体表面上若干共有点的已知投影，然后采用回转体表面上找点的方法求出它们的未知投影，从而画出相贯线的投影。【例5-6】如图5-9（a）所示，求作轴线正交两圆柱的相贯线的投影。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法【例5-6】如图5-9（a）所示，求作轴线正交两圆柱的相贯线的投影。空间及投影分析：由于两圆柱正交，因此相贯线为前后、左右均对称的空间曲线。根据相贯线是两圆柱面共有线和圆柱面投影的积聚性可知，相贯线的俯视图、左视图都积聚在两圆柱体的圆周上，相贯线的投影为两圆柱面投影的公共部分，因此,相贯线的俯视图为一个完整的圆，左视图为两圆柱面投影的公共部分，即圆弧段（1″2″3″）。即已知相贯线的两个视图，可根据表面取点法（积聚性法）求出相贯线的第三面投影。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法【例5-6】如图5-9（a）所示，求作轴线正交两圆柱的相贯线的投影。

作图：（1）求特殊点。从水平投影和侧面投影可以看出，相贯线的最左点（2、2′、2″）和最右点(4、4′、4″）同时又是最高点。从水平投影中可以直接得到最前点（1、1′、1″）和最后点(3、3′、3″），同时它们又是最低点。（2）求一般点。由于相贯线的水平投影具有积聚性，且已知相贯线前后、左右都对称，在水平投影上取前后对称5，6两点；由于水平圆柱的侧面投影具有积聚性，可作出其侧面投影5″（6″）；最后由水平投影、侧面投影求得其正面投影5′、6′。（3）判别可见性。相贯线正面投影的可见部分与不可见部分重合，故画成粗实线。（4）依次光滑地连接各点主视图投影，即为相贯线在主视图上的投影。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法圆柱面可以是圆柱体的外表面，也可以是圆柱孔的内表面，因此两圆柱轴线垂直相交可以有三种形式，见表5-4。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法3.辅助平面法辅助平面法是用辅助平面同时截切相贯的两曲面立体，在两曲面立体表面得到两条截交线，这两条截交线的交点既在辅助平面上，又在相贯两立体的表面上，因此，这些点即为相贯线上的点，用若干个辅助平面求出相贯线上一系列共有点即可求得相贯线。

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法【例5-7】如图5-10（a）所示，求作半球和圆柱相交时相贯线的投影。空间及投影分析：圆柱体的曲面（圆柱面）在左视图中具有积聚性，可以判断出左视图中的整圆就是其投影。半球的曲面（球面）在三视图中均无积聚性，要求其相贯线的主、俯视图投影，需用辅助平面法。图5-10半球和圆柱相贯线的辅助平面法求解过程

5.2.2相贯线的一般作图步骤和求解方法【例5-7】如图5-10（a）所示，求作半球和圆柱相交时相贯线的投影。作图：（1）求特殊点。左视图中的圆就是相贯线在左视图中的投影，在其中找出相贯线上最高点1″点、最低点2″点、最前点3″点和最后点4″点，通过