2025 九年级数学下册相似三角形位似图形放大后坐标计算示例课件

一、从相似到位似：概念的递进与核心要素演讲人从相似到位似：概念的递进与核心要素01典型例题与易错点分析02坐标系中的位似放大：从原理到公式03总结与升华：从计算到思维的跨越04目录2025九年级数学下册相似三角形位似图形放大后坐标计算示例课件各位同学、老师们，大家好。作为一线数学教师，我常思考如何让几何知识从抽象走向具体。相似三角形是初中几何的核心内容，而位似图形作为相似的特殊形式，不仅是相似理论的延伸，更是连接几何图形与坐标系的重要桥梁。今天，我们就围绕“相似三角形位似图形放大后坐标计算”展开深入探讨，从概念到操作，从理论到示例，一步步揭开位似图形在坐标系中的变换规律。01从相似到位似：概念的递进与核心要素1相似三角形的“升级”：位似图形的定义在学习相似三角形时，我们知道：对应角相等、对应边成比例的三角形是相似三角形。但相似图形的位置关系可以是任意的——它们可能“分散”在平面中，对应点连线没有规律。而位似图形则是相似的“特殊版本”：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点（位似中心），对应边互相平行（或共线），那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，相似比叫做位似比。举个我在教学中的例子：用投影仪将一张三角形图片放大投影到屏幕上，原图与投影图就是典型的位似图形——光线从投影仪的镜头（位似中心）出发，穿过原图各顶点，投射到屏幕上形成新顶点，对应边必然平行（因为光线是平行的），且所有顶点连线交于镜头。2位似图形的核心要素：中心、比、方向要准确描述一个位似变换，必须明确三个要素：位似中心（O）：所有对应顶点连线的交点，是位似变换的“支点”；位似比（k）：新图形与原图形对应边的比值，k>1时是放大，0<k<1时是缩小；位似方向：若位似中心在对应顶点连线的同侧（即原图形与新图形在位似中心的同一侧），则位似比为正；若在异侧（原图形与新图形在位似中心两侧），则位似比为负（k<0）。例如，若原图形顶点A与新图形顶点A'的连线经过O，且OA':OA=2:1，且A'与A在O的同侧，则k=2；若A'在O的另一侧，则k=-2（此时图形不仅放大，还关于O对称）。3位似与相似的联系与区别相似是更广泛的概念，位似是相似的“强约束版本”：联系：位似图形一定是相似图形，位似比等于相似比；区别：位似图形要求对应顶点连线共点（位似中心），对应边平行（或共线），而普通相似图形无此限制。这一区别使得位似图形在坐标系中具有可预测的坐标变换规律，这也是我们今天要重点研究的内容。02坐标系中的位似放大：从原理到公式1位似中心在原点时的坐标计算当位似中心O为坐标原点（0,0）时，位似变换的坐标规律最为简洁。假设原图形上一点P的坐标为(x,y)，位似比为k（k>1时放大），则新图形对应点P'的坐标为(kx,ky)。原理分析：位似中心在原点时，OP'与OP共线，且OP'=kOP。根据向量的数乘性质，若OP的坐标向量为(x,y)，则OP'的向量为k(x,y)=(kx,ky)，因此P'的坐标即为(kx,ky)。示例1：原三角形ABC的顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(5,1)，以原点为位似中心，位似比k=2放大，求放大后的三角形A'B'C'的坐标。1位似中心在原点时的坐标计算计算过程：A'(2×1,2×2)=(2,4)B'(2×3,2×4)=(6,8)C'(2×5,2×1)=(10,2)验证：连接OA与OA'，OB与OB'，OC与OC'，可见三条连线均过原点，且A'B'的斜率=(8-4)/(6-2)=1，原AB的斜率=(4-2)/(3-1)=1，说明A'B'∥AB，符合位似图形的性质。2位似中心不在原点时的坐标计算实际问题中，位似中心很少恰好是原点。此时需要分“两步走”：先将位似中心平移至原点，应用位似变换，再平移回原位置。设位似中心为O(h,k)，原图形上一点P(x,y)，位似比为k（放大时k>1），则新图形对应点P'(x',y')的坐标公式为：x'=h+k(x-h)y'=k+k(y-k)原理分析：第一步：将坐标系平移，使O(h,k)变为新原点O'(0,0)，则P在新坐标系中的坐标为(x-h,y-k)；2位似中心不在原点时的坐标计算第二步：以O'为中心进行位似变换，放大后的坐标为(k(x-h),k(y-k))；第三步：将坐标系平移回原位置，新坐标需加上O的原坐标(h,k)，因此P'(h+k(x-h),k+k(y-k))。示例2：原三角形DEF的顶点为D(2,3)、E(4,1)、F(1,5)，位似中心为O(1,2)，位似比k=3放大，求D'E'F'的坐标。计算过程：对D(2,3)：x'=1+3×(2-1)=1+3×1=4；y'=2+3×(3-2)=2+3×1=5→D'(4,5)2位似中心不在原点时的坐标计算对E(4,1)：x'=1+3×(4-1)=1+9=10；y'=2+3×(1-2)=2-3=-1→E'(10,-1)对F(1,5)：x'=1+3×(1-1)=1+0=1；y'=2+3×(5-2)=2+9=11→F'(1,11)验证：连接OD与OD'，OD的向量为(2-1,3-2)=(1,1)，OD'的向量为(4-1,5-2)=(3,3)=3×(1,1)，符合位似比k=3；E'F'的斜率=(-1-11)/(10-1)=(-12)/9=-4/3，原EF的斜率=(1-5)/(4-1)=(-4)/3，说明E'F'∥EF，符合位似性质。3位似比为负数时的“反向放大”当位似比k为负数（如k=-2）时，新图形不仅放大（|k|>1），还会关于位似中心对称。此时坐标公式与k>0时一致，但结果会体现“反向”特征。示例3：原图形点G(3,2)，位似中心在原点，k=-2，求G'的坐标。计算：G'(-2×3,-2×2)=(-6,-4)。此时OG'的长度是OG的2倍，但方向相反，G'与G在原点两侧。教学提醒：学生常疑惑“负位似比”是否合理，需强调位似比的符号表示方向，绝对值表示缩放比例，这与向量的方向、坐标系的正负方向一致，是数学严谨性的体现。03典型例题与易错点分析1基础题：位似中心在原点的放大题目：已知四边形ABCD的顶点坐标为A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)、D(0,1)，以原点为位似中心，位似比k=3放大，求A'B'C'D'的坐标，并判断其形状。解答：A'(0×3,0×3)=(0,0)（注：原点作为顶点时，放大后仍为原点）B'(2×3,0×3)=(6,0)C'(2×3,1×3)=(6,3)D'(0×3,1×3)=(0,3)形状：原四边形是矩形，放大后的四边形也是矩形（对应边平行，角为直角），边长为原图形的3倍。1基础题：位似中心在原点的放大关键提醒：若原图形的顶点恰好是位似中心（如A(0,0)），则放大后该点位置不变，因为OA=0，OA'=k×0=0。3.2提升题：位似中心在非原点的综合应用题目：如图（想象坐标系），△PQR中，P(1,1)、Q(3,2)、R(2,4)，以O(0,1)为位似中心放大，得到△P'Q'R'，其中Q'(6,3)。求位似比k及P'、R'的坐标。解答：1基础题：位似中心在原点的放大第一步：利用Q和Q'求k。Q到O的坐标差为(3-0,2-1)=(3,1)，Q'到O的坐标差为(6-0,3-1)=(6,2)。因为位似变换中，坐标差应满足(k×3,k×1)=(6,2)，解得k=2（验证：3×2=6，1×2=2，符合）。第二步：求P'的坐标。P到O的坐标差为(1-0,1-1)=(1,0)，放大后的坐标差为(2×1,2×0)=(2,0)，因此P'=O+放大后的坐标差=(0+2,1+0)=(2,1)。1基础题：位似中心在原点的放大第三步：求R'的坐标。R到O的坐标差为(2-0,4-1)=(2,3)，放大后的坐标差为(2×2,2×3)=(4,6)，因此R'=(0+4,1+6)=(4,7)。易错点：部分学生直接用Q'的坐标除以Q的坐标求k（如6/3=2，3/2=1.5），导致矛盾。需明确：位似变换的比例是相对于位似中心的“距离差”，而非绝对坐标的比值。3.3拓展题：位似与相似三角形的综合应用题目：△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O，AB=2，A'B'=6，且点A的坐标为(1,2)，点A'的坐标为(4,8)。求位似中心O的坐标。解答：1基础题：位似中心在原点的放大位似比k=A'B'/AB=6/2=3。设O的坐标为(x,y)，根据位似中心的定义，O、A、A'共线，且OA':OA=3（或-3，需判断方向）。1向量OA=(1-x,2-y)，向量OA'=(4-x,8-y)，因为OA'=kOA，所以：24-x=3(1-x)→4-x=3-3x→2x=-1→x=-0.538-y=3(2-y)→8-y=6-3y→2y=41基础题：位似中心在原点的放大-2→y=-1验证：若k=-3，则4-x=-3(1-x)→4-x=-3+3x→4x=7→x=1.75；8-y=-3(2-y)→8-y=-6+3y→4y=14→y=3.5。此时需检查A'是否在O的另一侧：原OA向量为(1-1.75,2-3.5)=(-0.75,-1.5)，OA'向量为(4-1.75,8-3.5)=(2.25,4.5)=-3×(-0.75,-1.5)，符合k=-3。但题目中A'B'=6>AB=2，通常默认k>0（放大），因此O(-0.5,-1)更合理。关键思路：位似中心必在对应顶点的连线上，利用向量的数乘关系列方程求解，需考虑k的正负两种情况。04总结与升华：从计算到思维的跨越1核心知识回顾位似图形：相似且对应顶点连线共点（位似中心），对应边平行；坐标计算：位似中心在原点时，P'(kx,ky)；位似中心在(h,k)时，P'(h+k(x-h),k+k(y-k))；位似比符号：正号表示同侧放大，负号表示异侧放大（含对称）。2思维能力提升通过位似图形的坐标计算，我们不仅掌握了具体的代数操作，更深化了“几何变换与代数表示”的联系——这是解析几何的核心思想。从“看图形”到“算坐标”，从“直观感知”到“定量分析”，这是数学思维从形象到抽象的重要跨越。3学习建议动手画图：每做一道题，先在坐标系中画出原图形和位似中心，标出对应点，直观感