2025 九年级数学下册相似三角形中对应角平分线比例验证课件

一、课程背景与学习目标演讲人04/严谨证明：从猜想走向定理03/提出猜想：对应角平分线比例等于相似比？02/温故知新：相似三角形的基本性质回顾01/课程背景与学习目标06/应用提升：解决实际几何问题05/实例验证：用具体数据检验结论目录07/总结与反思2025九年级数学下册相似三角形中对应角平分线比例验证课件01课程背景与学习目标课程背景与学习目标作为初中几何的核心内容之一，相似三角形的性质与应用贯穿于九年级下册的几何学习。在前期学习中，我们已经掌握了相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例）、判定定理（AA、SAS、SSS），以及对应高、对应中线的比例等于相似比的性质。今天，我们将沿着“从特殊到一般”的研究路径，聚焦一个新的问题：相似三角形中对应角平分线的长度比例是否也等于相似比？通过本节课的学习，同学们需要达成以下目标：理解相似三角形对应角平分线比例的性质；掌握从猜想、证明到验证的几何研究方法；能运用该性质解决简单的几何问题；体会“类比迁移”“转化思想”在几何探究中的价值。02温故知新：相似三角形的基本性质回顾温故知新：相似三角形的基本性质回顾为了顺利推进今天的探究，我们首先需要回顾相似三角形的核心性质。这部分内容是后续推导的“地基”，请同学们边思考边整理笔记。1相似三角形的定义与符号表示若△ABC与△A'B'C'满足∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k（k>0），则称△ABC∽△A'B'C'，k为相似比（或相似系数）。符号“∽”读作“相似于”，书写时需注意对应顶点的顺序，这是后续分析对应元素的关键。2已掌握的相似三角形性质在之前的学习中，我们通过测量、推理等方法验证了以下结论：对应角：所有对应角相等（由定义直接得出）；对应边：所有对应边的比等于相似比（定义核心）；对应高：若△ABC∽△A'B'C'，AD⊥BC于D，A'D'⊥B'C'于D'，则AD/A'D'=k（可通过△ABD∽△A'B'D'证明）；对应中线：若AD是BC边上的中线，A'D'是B'C'边上的中线，则AD/A'D'=k（可通过△ABD∽△A'B'D'证明，利用中点性质转化边的比例）。思考：高、中线都是与“边”相关的线段，而角平分线是与“角”相关的线段。既然前两者的比例等于相似比，角平分线是否也存在类似规律？这是我们今天要验证的核心问题。03提出猜想：对应角平分线比例等于相似比？提出猜想：对应角平分线比例等于相似比？数学探究往往始于观察与猜想。我们可以通过具体实例初步感知规律，再尝试一般性证明。1实例观察：从特殊到一般的初步验证案例1：取两个相似比为2:1的直角三角形。设△ABC为Rt△，∠C=90，AC=3cm，BC=4cm，则AB=5cm（勾股定理）；△A'B'C'∽△ABC，相似比k=2，故A'C'=6cm，B'C'=8cm，A'B'=10cm。作∠A的角平分线AD：根据角平分线定理（三角形内角平分线分对边成与邻边成比例的两段），AD交BC于D，则BD/DC=AB/AC=5/3。由于BC=4cm，可计算BD=4×(5/(5+3))=2.5cm，DC=1.5cm；再利用角平分线长度公式：AD=2ABACcos(∠A/2)/(AB+AC)。∠A的余弦值cos∠A=AC/AB=3/5，故cos(∠A/2)=√[(1+cos∠A)/2]=√[(1+3/5)/2]=√(4/5)=2/√5；1实例观察：从特殊到一般的初步验证1代入得AD=2×5×3×(2/√5)/(5+3)=(60/√5)/8=(12√5)/8=(3√5)/2≈3.354cm。2作∠A'的角平分线A'D'：同理，△A'B'C'中，∠A'=∠A，相似比k=2，故A'D'的计算过程与AD类似，仅需将边长替换为2倍：3A'B'=10cm，A'C'=6cm，B'C'=8cm；4B'D'/D'C'=A'B'/A'C'=10/6=5/3，B'C'=8cm，故B'D'=8×(5/8)=5cm，D'C'=3cm；5角平分线长度公式中，cos∠A'=cos∠A=3/5，cos(∠A'/2)=2/√5；1实例观察：从特殊到一般的初步验证A'D'=2×10×6×(2/√5)/(10+6)=(240/√5)/16=(15√5)/2≈16.77cm（实际应为AD的2倍，这里计算可能存在误差，需重新核对）。修正计算：更简便的方法是利用相似三角形的对应角相等，∠BAD=∠B'A'D'（均为原角的一半），且AB/A'B'=AC/A'C'=k，因此△ABD∽△A'B'D'（SAS相似），故AD/A'D'=AB/A'B'=k。这说明实例中角平分线比例确实等于相似比。2猜想形成通过实例观察和初步推理，我们可以提出猜想：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和A'D'分别是∠A和∠A'的角平分线，则AD/A'D'=k。04严谨证明：从猜想走向定理严谨证明：从猜想走向定理猜想需要严谨的数学证明才能成为定理。接下来，我们将分步骤完成这一过程。1明确已知与求证STEP4STEP3STEP2STEP1已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k（即AB/A'B'=BC/B'C'=CA/C'A'=k）；AD平分∠BAC，交BC于D；A'D'平分∠B'A'C'，交B'C'于D'。求证：AD/A'D'=k。2证明思路分析要证明两条线段的比例等于相似比，通常的方法是证明包含这两条线段的三角形相似。由于AD和A'D'是角平分线，我们可以利用角平分线的性质（角平分线定理）找到边的比例关系，再结合相似三角形的对应角相等，构造相似三角形。3详细证明过程利用角平分线定理，建立边的比例关系角平分线定理指出：在△ABC中，AD平分∠BAC，则BD/DC=AB/AC。同理，在△A'B'C'中，A'D'平分∠B'A'C'，则B'D'/D'C'=A'B'/A'C'。由于△ABC∽△A'B'C'，AB/A'B'=AC/A'C'=k，因此AB/AC=(kA'B')/(kA'C')=A'B'/A'C'，即BD/DC=B'D'/D'C'。步骤2：证明△ABD∽△A'B'D'由△ABC∽△A'B'C'，得∠B=∠B'；由AD、A'D'是角平分线，得∠BAD=∠BAC/2，∠B'A'D'=∠B'A'C'/2；3详细证明过程利用角平分线定理，建立边的比例关系又∠BAC=∠B'A'C'（相似三角形对应角相等），故∠BAD=∠B'A'D'；因此，△ABD与△A'B'D'满足“两角对应相等”（∠B=∠B'，∠BAD=∠B'A'D'），根据AA相似判定定理，△ABD∽△A'B'D'。步骤3：推导AD与A'D'的比例由△ABD∽△A'B'D'，相似比等于对应边的比，即AB/A'B'=k，因此AD/A'D'=AB/A'B'=k。结论：相似三角形对应角平分线的比等于相似比。4证明方法的拓展思考除了上述方法，我们还可以通过“面积法”或“余弦定理”进行证明，以加深对结论的理解。例如，利用余弦定理计算角平分线长度：在△ABC中，角平分线AD的长度公式为：AD=2ABACcos(∠BAC/2)/(AB+AC)由于△ABC∽△A'B'C'，∠BAC=∠B'A'C'，故cos(∠BAC/2)=cos(∠B'A'C'/2)；又AB=kA'B'，AC=kA'C'，代入得：AD=2(kA'B')(kA'C')cos(∠B'A'C'/2)/(kA'B'+kA'C')=k[2A'B'A'C'cos(∠B'A'C'/2)/(A'B'+A'C')]=kA'D'4证明方法的拓展思考这同样证明了AD/A'D'=k。不同的证明方法殊途同归，体现了几何知识的内在联系。05实例验证：用具体数据检验结论实例验证：用具体数据检验结论为了让同学们更直观地感受结论的正确性，我们通过一组具体数据进行验证。1实例1：等边三角形的角平分线△ABC：边长为6cm的等边三角形，每个内角为60，角平分线AD同时也是中线和高，长度AD=√(6²-3²)=3√3≈5.196cm；1△A'B'C'：与△ABC相似，相似比k=1/2，故边长为3cm，角平分线A'D'=√(3²-1.5²)=(3√3)/2≈2.598cm；2比例计算：AD/A'D'=3√3/(3√3/2)=2=k，符合结论。32实例2：任意锐角三角形的角平分线△ABC：AB=4cm，AC=6cm，∠BAC=60，作角平分线AD；根据角平分线定理，BD/DC=AB/AC=4/6=2/3，设BC=a，则BD=2a/5，DC=3a/5；利用余弦定理计算BC：BC²=AB²+AC²-2ABACcos60=16+36-2×4×6×0.5=52-24=28，故BC=2√7cm，BD=4√7/5cm，DC=6√7/5cm；再用角平分线长度公式：AD=2×4×6×cos30/(4+6)=48×(√3/2)/10=24√3/10=12√3/5≈4.157cm；△A'B'C'：与△ABC相似，相似比k=3，故AB'=12cm，AC'=18cm，∠B'A'C'=60，角平分线A'D'；2实例2：任意锐角三角形的角平分线同理，B'D'/D'C'=AB'/AC'=12/18=2/3，B'C'=3×2√7=6√7cm，B'D'=12√7/5cm，D'C'=18√7/5cm；01A'D'=2×12×18×cos30/(12+18)=432×(√3/2)/30=216√3/30=36√3/5≈12.471cm；02比例计算：AD/A'D'=(12√3/5)/(36√3/5)=1/3=1/k（注意这里相似比k=3，故A'D'/AD=3=k，符合结论）。03通过以上实例，同学们可以直观看到，无论三角形是特殊（等边）还是任意（锐角），对应角平分线的比例始终等于相似比，验证了结论的普适性。0406应用提升：解决实际几何问题应用提升：解决实际几何问题掌握了相似三角形对应角平分线的性质后，我们可以利用它解决更复杂的几何问题，提升综合应用能力。1基础应用：直接求角平分线长度例1：已知△ABC∽△DEF，相似比为2:1，△ABC中∠A的角平分线长为8cm，求△DEF中∠D的角平分线长度。分析：根据性质，对应角平分线的比等于相似比，即AD/DG=2/1（设DG为△DEF中∠D的角平分线），故DG=AD/2=8/2=4cm。2综合应用：结合其他几何性质例2：如图，△ABC∽△ADE，相似比为3:2，AM平分∠BAC交BC于M，AN平分∠DAE交DE于N。若AM=9cm，DE=4cm，求BC的长度及AN的长度。分析：由相似比3:2，BC/DE=3/2，DE=4cm，故BC=4×(3/2)=6cm；对应角平分线AM/AN=3/2，AM=9cm，故AN=9×(2/3)=6cm。3拓展应用：探究角平分线与面积的关系思考：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的面积比为k²。结合角平分线比例k，能否推导出角平分线与面积的关系？提示：面积比等于相似比的平方，而角平分线比等于相似比，因此面积比等于角平分线比的平方。这一关系可用于解决涉及面积与角平分线的综合问题。07总结与反思总结与反思本节课我们沿着“回顾旧知—提出猜想—严谨证明—实例验证—应用提升”的路径，探究了相似三角形对应角平分线的比例性质。1核心结论重现相似三角形对应角平分线的比等于相似比。即若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，AD和A'D'分别是∠A和∠A'的角平分线，则AD/A'D'=k。2数学思想提炼类比迁移：从对应高、中线的比例规律，类比猜想角平分线的比例，体现了“由特殊到一般”的研究思路；01转化思想：通过构造相似三角形（△ABD∽△A'B'D'），将角平分线的比例转化为对应边的比例，实现了复杂问题的简单化；02实证精神：通过实例验证和严谨证明，确保结论的